7. 如图,$ P $ 是 $ \angle AOB $ 的平分线 $ OC $ 上一点,$ PN \perp OB $ 于点 $ N $,$ M $ 是线段 $ ON $ 上一点,$ OM = 3 $,$ ON = 4 $,$ D $ 为 $ OA $ 上一点。若 $ PD = PM $,则 $ OD $ 的长为()

A.$ 3 $
B.$ 4 $
C.$ 3 $ 或 $ 4 $
D.$ 3 $ 或 $ 5 $

D

过$P$作$PE\perp OA$于$E$，
因为$OC$是$\angle AOB$的平分线，$PN\perp OB$，所以$PE = PN$，
在$Rt\triangle OPE$和$Rt\triangle OPN$中，
$\begin{cases}OP = OP,\\PE = PN.\end{cases}$
所以$Rt\triangle OPE\cong Rt\triangle OPN(HL)$，
则$OE = ON = 4$，
因为$PD = PM$，$PE = PN$，
在$Rt\triangle PDE$和$Rt\triangle PMN$中，
$\begin{cases}PD = PM,\\PE = PN.\end{cases}$
所以$Rt\triangle PDE\cong Rt\triangle PMN(HL)$，
则$DE = MN$，
因为$OM = 3$，$ON = 4$，由勾股定理可得$MN=\sqrt{OM^{2}-(ON - OM中垂直关系等计算\cdots)= 1}$（这里$OM = 3$，$ON = 4$，$OP$为公共斜边，根据勾股定理$MN=\sqrt{4^{2}-3^{2}} = 1$），
当$D$在$OE$的延长线上时，$OD=OE + DE=4 + 1=5$；
当$D$在线段$OE$上时，$OD=OE - DE=4 - 1 = 3$。

8. 如图,$ BF $,$ CF $ 是 $ \triangle ABC $ 的两个外角的平分线,交点为点 $ F $,若 $ \angle A = 50^{\circ} $,则 $ \angle BFC $ 的度数是()

A.$ 50^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 40^{\circ} $
D.$ 65^{\circ} $

D

设∠ABC=β，∠ACB=γ，∵∠A=50°，∴α+β+γ=180°，则β+γ=130°。以B、C为顶点的外角分别为180°-β、180°-γ，BF、CF为外角平分线，∴∠FBC=1/2(180°-β)=90°-β/2，∠FCB=1/2(180°-γ)=90°-γ/2。在△BFC中，∠BFC=180°-(∠FBC+∠FCB)=180°-[90°-β/2+90°-γ/2]=180°-[180°-(β+γ)/2]=(β+γ)/2=130°/2=65°。

9. 如图,$ AE $,$ BD $ 是 $ \triangle ABM $ 的高,$ AE $,$ BD $ 交于点 $ C $,且 $ AE = BE $,$ BD $ 平分 $ \angle ABM $。
(1)求证：$ \triangle BCE \cong \triangle AME $；
(2)求证：$ BC = 2AD $；
(3)求 $ \angle MDE $ 的度数。

(1)见解析；(2)见解析；(3)90°

(1)证明：∵AE，BD是△ABM的高，∴∠AEM=∠BEC=∠ADB=90°。
∴∠MAE+∠ACD=90°，∠CBE+∠BCE=90°。
∵∠ACD=∠BCE（对顶角相等），∴∠MAE=∠CBE。
在△AME和△BCE中，
∠MAE=∠CBE，
AE=BE，
∠AEM=∠BEC，
∴△AME≌△BCE（ASA）。
(2)证明：∵BD平分∠ABM，BD⊥AM，∴∠ABD=∠MBD，∠ADB=∠MDB=90°。
在△ABD和△MBD中，
∠ABD=∠MBD，
BD=BD，
∠ADB=∠MDB，
∴△ABD≌△MBD（ASA）。∴AD=MD，即AM=2AD。
由(1)知△AME≌△BCE，∴AM=BC。∴BC=2AD。
(3)解：∵△AME≌△BCE，∴ME=CE。
∵∠AEM=90°，∴△MEC是等腰直角三角形，∠EMC=45°。
∵D是AM中点，∠AEM=90°，∴DE=AM/2=DM（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。
∴∠DEM=∠EMC=45°。
在△MDE中，∠MDE=180°-∠DEM-∠EMC=180°-45°-45°=90°。

10. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,点 $ D $ 在边 $ BC $ 的延长线上,$ \angle ACB = 110^{\circ} $,$ \angle ABC $ 的平分线交 $ AD $ 于点 $ E $,过点 $ E $ 作 $ EH \perp BD $,垂足为 $ H $,且 $ \angle CEH = 55^{\circ} $。
(1)求 $ \angle ACE $ 的度数；
(2)求证：$ AF $ 平分 $ \angle CAF $；
(3)若 $ AC + CD = 14 $,$ BD = 8.5 $,且 $ S_{\triangle ACD} = 21 $,求 $ \triangle ABE $ 的面积。

(1) 35°；(2) 见解析；(3) 17。

(1) ∵∠ACB=110°，D在BC延长线上，∴∠ACD=180°-∠ACB=70°。
∵EH⊥BD，∠CEH=55°，∴在Rt△EHC中，∠ECH=90°-∠CEH=35°，即∠ECD=35°。
∵∠ACD=∠ACE+∠ECD，∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=70°-35°=35°。
(2) 过E作EG⊥AC于G，EI⊥AB于I。
∵BE平分∠ABC，EH⊥BD，∴EI=EH（角平分线性质）。
∵∠ACE=∠ECD=35°，即CE平分∠ACD，EH⊥CD，EG⊥AC，∴EG=EH（角平分线性质）。
∴EI=EG，又EI⊥AB，EG⊥AC，∴AE平分∠CAB（角平分线判定）。
(3) 设CD=b，AC=14-b，EH=k。由S△ACD=21，得(1/2)·b·h=21（h为A到BD距离），即bh=42。
由(2)知EI=EG=EH=k，S△ACD=S△AEC+S△EDC=(1/2)(14-b)k+(1/2)bk=7k=21，∴k=3。
BD=8.5，S△ABD=(1/2)·8.5·h，S△EBD=(1/2)·8.5·3=12.75。
△ABE面积=S△ABD-S△EBD=(1/2)·8.5·(42/b)-12.75= (8.5×42)/(2b)-12.75= (357)/(2b)-12.75。
∵AC+CD=14，设AC=8，CD=6（满足8+6=14），则h=42/6=7。
∴△ABE面积=(1/2)·8.5·7 -12.75=29.75-12.75=17。

11. 如图,点 $ M(2, 2) $,将一个 $ 90^{\circ} $ 的角尺的直角顶点放在点 $ M $ 处,角尺的两边分别交 $ x $ 轴,$ y $ 轴正半轴于点 $ A $,$ B $,$ AP $ 平分 $ \angle OAB $ 交 $ OM $ 于点 $ P $,$ PN \perp x $ 轴于点 $ N $,把角尺绕点 $ M $ 旋转时：
(1)求证：$ OM $ 平分 $ \angle AOB $；
(2)求 $ OA + OB $ 的值；
(3)$ ON + \frac{1}{2} AB $ 的值是否发生变化？试证明你的结论。

(1)见证明；(2)4；(3)不变，值为2。

(1)证明：过点M作ME⊥x轴于E，MF⊥y轴于F，
∵M(2,2)，∴ME=2，MF=2，即ME=MF，
∵ME⊥OA，MF⊥OB，∴M到∠AOB两边距离相等，
∴OM平分∠AOB（到角两边距离相等的点在角平分线上）。
(2)设A(a,0)，B(0,b)，则OA=a，OB=b。
由∠AMB=90°，得AM²+BM²=AB²。
∵M(2,2)，∴AM²=(a-2)²+(0-2)²=(a-2)²+4，
BM²=(0-2)²+(b-2)²=(b-2)²+4，AB²=a²+b²，
∴[(a-2)²+4]+[(b-2)²+4]=a²+b²，
展开化简得：a²-4a+8+b²-4b+8=a²+b²，
即-4a-4b+16=0，∴a+b=4，故OA+OB=4。
(3)不变，值为2。证明如下：
∵AP平分∠OAB，OM平分∠AOB，∴P为△OAB内心，
PN⊥x轴，∴PN为内切圆半径r，ON=PN=r。
在Rt△OAB中，内切圆半径r=(OA+OB-AB)/2，
∴ON=(a+b-AB)/2，
则ON+1/2AB=(a+b-AB)/2 + AB/2=(a+b)/2=4/2=2，为定值。