1. 如图,$AB = AC$,要说明$\triangle ADC\cong\triangle AEB$,需添加的条件不能是()

A.$\angle B = \angle C$
B.$AD = AE$
C.$\angle ADC = \angle AEB$
D.$DC = BE$

D

这是一道关于三角形全等判定条件的选择题。
在$\triangle ADC$和$\triangle AEB$中，已知$AB = AC$，且$\angle A$是公共角。
A选项：若$\angle B=\angle C$，根据“两角及其夹边对应相等的两个三角形全等”（$ASA$），这里$\angle A$是公共角，$AB = AC$，$\angle B=\angle C$，能判定$\triangle ADC\cong\triangle AEB$。
B选项：若$AD = AE$，根据“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”（$SAS$），$\angle A$是公共角，$AB = AC$，$AD = AE$，能判定$\triangle ADC\cong\triangle AEB$。
C选项：若$\angle ADC=\angle AEB$，根据“两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等”（$AAS$），$\angle A$是公共角，$AB = AC$，$\angle ADC=\angle AEB$，能判定$\triangle ADC\cong\triangle AEB$。
D选项：若$DC = BE$，$SSA$这种形式不能判定两个三角形全等，所以不能得出$\triangle ADC\cong\triangle AEB$。

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$P是BC$上一点,$PD\perp AB于点D$,$PE\perp AC于点E$,且$PD = PE$,$F是AC$上一点,且$\angle APF = \angle PAF$。下列结论：①$AD = AE$；②$PF// AB$；③$\triangle PEF\cong\triangle PEC$。其中正确的是()

A.①②③
B.只有①②
C.只有①③
D.只有①

B

∵PD⊥AB，PE⊥AC，PD=PE，AP=AP，
∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD=AE，①正确；
∵PD=PE，∴AP平分∠BAC，即∠PAD=∠PAF，
又∠APF=∠PAF，∴∠APF=∠PAD，∴PF//AB，②正确；
△PEF与△PEC中，仅PE=PE，∠PEF=∠PEC=90°，无法证明第三组对应边或角相等，不全等，③错误。

3. 如图,$AD是\triangle ABC中\angle BAC$的平分线,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$。$S_{\triangle ABC} = 7$,$DE = 2$,$AB = 4$,则$AC = $()

A.$4$
B.$3$
C.$6$
D.$5$

B

因为$AD$是$\triangle ABC$中$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$，
根据角平分线的性质可知$DE = DF = 2$。
$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×4×2 = 4$。
已知$S_{\triangle ABC}=7$，则$S_{\triangle ACD}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle ABD}=7 - 4=3$。
又因为$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$，$DF = 2$，
所以$\frac{1}{2}× AC×2 = 3$，解得$AC = 3$。

4. 如图,点$A在DE$上,$AC = CE$,$\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$,则$AB与DE$的数量关系为()

A.$AB＞DE$
B.$AB = DE$
C.$AB＜DE$
D.无法确定

B

由题意，$\angle 1=\angle 2=\angle 3$，
所以$\angle 1+\angle DAC=\angle 3+\angle DAC$，
即$\angle BAC=\angle CEA$。
又因为$\angle 2=\angle 3$，$AC=CE$，
根据$AAS$可得：
$\triangle CAB\cong\triangle EAC$，
所以$AB=DE$的对应边，即$AB=DE$。

5. 如图,在四边形$ABCD$中,$\angle A = 90^{\circ}$,$AD = 4$,连接$BD$,$BD\perp CD$,$\angle ADB = \angle C$。若$P是BC$边上一动点,则$DP$的最小值为()

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$1$

C

∵∠A=90°，BD⊥CD，∴∠A=∠BDC=90°．
∵∠ADB=∠C，∴△ABD∽△DBC（AA）．
∴AD/DC=BD/BC，即BD·DC=AD·BC．
DP最小值为D到BC的垂线段长，设为h．
在Rt△BDC中，面积S=1/2·BD·DC=1/2·BC·h，∴BD·DC=BC·h．
∴BC·h=AD·BC，得h=AD=4．

6. 如图,点$B$,$C$,$F$,$E$在同一条直线上,$\angle 1 = \angle 2$,$BC = EF$,$\angle 1$______$\angle 2$的对顶角(填“是”或“不是”),要使$\triangle ABC\cong\triangle DEF$,还需添加一个条件,可以是______(只需写出一个)。

；

不是；AC=DF（或∠B=∠E或∠A=∠D）

对顶角是指有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角。由图可知，∠1与∠2的两边不互为反向延长线，所以∠1不是∠2的对顶角。已知∠1=∠2，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，可添加条件AC=DF，此时根据“SAS”可判定全等（答案不唯一，也可添加∠B=∠E或∠A=∠D）。

7. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = 2\mathrm{cm}$,$CD\perp AB$,在$AC上取一点E$,使$EC = BC$,过点$E作EF\perp AC交CD的延长线于点F$。如果$EF = 5\mathrm{cm}$,那么$AE = $$\mathrm{cm}$。

3

∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD（同角的余角相等）.
∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°=∠ACB.
在△ABC和△FCE中，
∠B=∠ECF，
BC=EC（已知EC=BC=2cm），
∠ACB=∠FEC，
∴△ABC≌△FCE（ASA）.
∴AC=EF=5cm（全等三角形对应边相等）.
∵E在AC上，EC=2cm，
∴AE=AC-EC=5-2=3cm.

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$AB＞BC$,点$D在边BC$上,$CD = 2BD$,点$E$,$F在线段AD$上,$\angle 1 = \angle 2 = \angle BAC$。若$\triangle ABC的面积为18$,则$\triangle ACF与\triangle BDE$的面积之和为。

6

∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠ABC=∠ACB。
∵CD=2BD，S△ABC=18，∴S△ABD=1/3×18=6，S△ADC=2/3×18=12（等高三角形面积比等于底之比）。
∵∠1=∠BAC，且∠1是△ABE的外角，∴∠1=∠BAE+∠ABE=∠BAC。
又∠BAC=∠BAE+∠EAC，∴∠ABE=∠EAC。
同理，∠2=∠BAC，∠2是△ACF的外角，可得∠ACF=∠BAF。
在△ABE和△CAF中，∠ABE=∠CAF，AB=AC，∠BAE=∠ACF，∴△ABE≌△CAF（ASA），故S△ACF=S△ABE。
∴S△ACF+S△BDE=S△ABE+S△BDE=S△ABD=6。