8. 在△ABC中,AB = AC,添加下列条件不能判定△ABC是等边三角形的是()
A.∠A = 60°
B.AC = BC
C.∠B的补角等于∠C的补角
D.AB边上的高也是AB边上的中线

CD

已知△ABC中AB=AC，故△ABC为等腰三角形。
A.∠A=60°，等腰三角形顶角为60°，则为等边三角形，可判定；
B.AC=BC，AB=AC=BC，三边相等，可判定；
C.∠B的补角等于∠C的补角，即180°-∠B=180°-∠C，得∠B=∠C，等腰三角形本身∠B=∠C，无法判定为等边三角形；
D.AB边上的高也是AB边上的中线，等腰三角形底边上的高与中线重合，此条件恒成立，无法判定为等边三角形。

9. 如图,在等边△ABC中,AC = 9,点O在AC上,且AO = 3,点P是AB上一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD。要使点D恰好落在BC上,则AP的长是()

A.4
B.5
C.6
D.8

C

连接PD，OD。
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，
∴OP=OD，∠POD=60°，
∴△POD是等边三角形，
∴∠OPD=60°，PD=OP。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，AC=BC=AB=9。
∵∠AOP+∠APO=180°-∠A=120°，∠AOP+∠COD=180°-∠POD=120°，
∴∠APO=∠COD。
在△APO和△COD中，
∠A=∠C，∠APO=∠COD，OP=OD，
∴△APO≌△COD(AAS)，
∴AP=CO。
∵AC=9，AO=3，
∴CO=AC-AO=9-3=6，
∴AP=6。
C

10. 如图,在△ABC中,D,E是BC上两点,且BD = DE = AD = AE = EC,则∠BAC的度数是()

A.90°
B.108°
C.120°
D.135°

C

∵AD=AE=DE，
∴△ADE是等边三角形，∠ADE=∠AED=∠DAE=60°。
∵BD=AD，
∴△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠ABD。
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴∠ADE=∠BAD+∠ABD=2∠BAD=60°，
∴∠BAD=30°。
同理，EC=AE，△AEC是等腰三角形，∠AED=2∠EAC=60°，
∴∠EAC=30°。
∴∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠EAC=30°+60°+30°=120°。

11. 如图,△ABC为等边三角形,点D,E分别在边BC,AC上,且AE = CD,AD与BE相交于点F。
(1)求证：△ABE ≌ △CAD；
(2)求∠BFD的度数。

(1)
∵△ABC 是等边三角形
∴AB = CA，∠BAE = ∠ACD = 60°
在△ABE 和△CAD 中
$\begin{cases}AB = CA\\\angle BAE=\angle ACD\\AE = CD\end{cases}$
∴△ABE ≌ △CAD(SAS)
(2)
由(1)知△ABE ≌ △CAD
∴∠ABE = ∠CAD
∵∠BFD = ∠ABE + ∠BAD
∴∠BFD = ∠CAD + ∠BAD
∵∠BAD + ∠CAD = ∠BAC = 60°
∴∠BFD = 60°

12. 如图,D为等边△ABC的边AC上一动点,延长AB到E,使BE = CD,连DE交BC于点P,求证：DP = PE。

证明：过点D作DG//AB，交BC于点G。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠C=60°。
∵DG//AB，
∴∠CDG=∠A=60°，∠CGD=∠ABC=60°（两直线平行，同位角相等）。
∴△CDG是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）。
∴CD=DG（等边三角形的性质）。
∵BE=CD，
∴DG=BE（等量代换）。
∵DG//AB，
∴∠GDP=∠E（两直线平行，内错角相等）。
在△DPG和△EPB中，
∠GDP=∠E，
∠DPG=∠EPB（对顶角相等），
DG=BE，
∴△DPG≌△EPB（AAS）。
∴DP=PE（全等三角形的对应边相等）。

13. 如图,△ABC为等边三角形,点D为BC边上一动点(不与B,C重合),∠DAE = 60°,过点B作BE // AC交AE于点E。
(1)求证：△ADE是等边三角形；
(2)当点D在何处时,AE ⊥ BE？

(1) 证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°。
∵BE//AC，
∴∠ABE=∠BAC=60°（两直线平行，内错角相等）。
∵∠DAE=60°，∠BAC=60°，
∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD。
在△ABE和△ACD中，
∠ABE=∠ACD=60°，
AB=AC，
∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD（ASA）。
∴AE=AD。
∵∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
(2) 解：当D为BC中点时，AE⊥BE。
理由如下：
∵AE⊥BE，BE//AC，
∴AE⊥AC（垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条）。
∴∠EAC=90°。
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=30°。
由(1)知∠BAE=∠CAD，
∴∠CAD=30°。
∵△ABC是等边三角形，
∴AD平分∠BAC，
∴AD是BC边上的中线（等边三角形三线合一），
∴D为BC中点。
即当D为BC中点时，AE⊥BE。

(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠ABC=∠C=60°．
∵BE//AC，
∴∠ABE=∠BAC=60°，∠EBD=∠C=60°，
∴∠ABE=∠ABC=60°．
∵∠DAE=60°，∠BAC=60°，
∴∠BAE=∠CAD．
在△ABE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAE=∠CAD\\ AB=AC\\ ∠ABE=∠C\end{array}\right.$
∴△ABE≌△ACD(ASA)，
∴AE=AD．
∵∠DAE=60°，
∴△ADE是等边三角形．
(2)当点D为BC中点时，AE⊥BE．