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1. 如图,根据图中条件能判定三角形是等边三角形的是
②③⑤⑥
。(填序号)答案
②③⑤⑥
解析
①三边分别为5,5,4，是等腰三角形，不是等边三角形；②三边均为5，根据“三条边都相等的三角形是等边三角形”，是等边三角形；③有两个角是60°，根据“三角形内角和为180°”，第三个角为60°，三个角都相等，根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”，是等边三角形；④只有一个角是60°，无法判定是等边三角形；⑤两边为5，夹角为60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，是等边三角形；⑥两边为5，其中一个底角是60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，是等边三角形。综上，能判定是等边三角形的是②③⑤⑥。
2. 如图,等边△ABC的边长如图所示,那么y =
3
。答案
因为$\triangle ABC$是等边三角形，
所以$AB = BC = AC$。
则$2x + 3 = 6 - x$，
移项可得$2x+x=6 - 3$，
即$3x = 3$，
解得$x = 1$。
又因为$AB = AC$，
所以$2x + 3 = 2y - 1$，
把$x = 1$代入$2x + 3 = 2y - 1$中，
得到$2×1+3 = 2y - 1$，
即$5 = 2y - 1$，
移项可得$2y=5 + 1$，
$2y = 6$，
解得$y = 3$。
故答案为$3$。
所以$AB = BC = AC$。
则$2x + 3 = 6 - x$，
移项可得$2x+x=6 - 3$，
即$3x = 3$，
解得$x = 1$。
又因为$AB = AC$，
所以$2x + 3 = 2y - 1$，
把$x = 1$代入$2x + 3 = 2y - 1$中，
得到$2×1+3 = 2y - 1$，
即$5 = 2y - 1$，
移项可得$2y=5 + 1$，
$2y = 6$，
解得$y = 3$。
故答案为$3$。
3. 如图,已知直线$l_1 // l_2$,将等边三角形如图放置。若∠α = 40°,则∠β =
20°
。答案
过等边三角形的60°角顶点作l₁的平行线，由l₁//l₂知该线也平行于l₂。根据平行线性质，∠α与∠β分别等于所作平行线与三角形两边形成的内错角，且这两个内错角之和等于60°。
∠α + ∠β = 60°
∠β = 60° - ∠α = 60° - 40° = 20°
20°
∠α + ∠β = 60°
∠β = 60° - ∠α = 60° - 40° = 20°
20°
4. 如图,在等边△ABC的边BC上任取一点D,作∠ADE = 60°,DE交∠ACB的外角平分线于点E,则△ADE是
等边
三角形。答案
解答过程：
1. 等边三角形性质与外角平分线
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC。
延长BC至F，∠ACF为∠ACB的外角，∴∠ACF=180°-∠ACB=120°。
∵CE平分∠ACF，∴∠ACE=∠ECF=60°，故∠DCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°。
2. 角度关系推导
设∠BAD=α，则∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-α。
在△ABD中，∠ADC=∠B+∠BAD=60°+α（三角形外角性质）。
∵∠ADE=60°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=（60°+α）-60°=α，即∠CDE=∠BAD=α。
3. 构造全等三角形
在AB上截取BG=BD，连接GD。
∵∠B=60°，BG=BD，∴△BGD是等边三角形，∴BG=BD=GD，∠BGD=60°，∠AGD=180°-∠BGD=120°。
∵AB=BC，BG=BD，∴AG=AB-BG=BC-BD=DC。
4. 证明△AGD≌△DCE
在△AGD和△DCE中：
∠GAD=∠CDE（已证α），
AG=DC（已证），
∠AGD=∠DCE=120°（已证），
∴△AGD≌△DCE（ASA），∴AD=DE。
5. 判定△ADE为等边三角形
∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形。
结论：等边
1. 等边三角形性质与外角平分线
∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，AB=BC=AC。
延长BC至F，∠ACF为∠ACB的外角，∴∠ACF=180°-∠ACB=120°。
∵CE平分∠ACF，∴∠ACE=∠ECF=60°，故∠DCE=∠ACB+∠ACE=60°+60°=120°。
2. 角度关系推导
设∠BAD=α，则∠DAC=∠BAC-∠BAD=60°-α。
在△ABD中，∠ADC=∠B+∠BAD=60°+α（三角形外角性质）。
∵∠ADE=60°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=（60°+α）-60°=α，即∠CDE=∠BAD=α。
3. 构造全等三角形
在AB上截取BG=BD，连接GD。
∵∠B=60°，BG=BD，∴△BGD是等边三角形，∴BG=BD=GD，∠BGD=60°，∠AGD=180°-∠BGD=120°。
∵AB=BC，BG=BD，∴AG=AB-BG=BC-BD=DC。
4. 证明△AGD≌△DCE
在△AGD和△DCE中：
∠GAD=∠CDE（已证α），
AG=DC（已证），
∠AGD=∠DCE=120°（已证），
∴△AGD≌△DCE（ASA），∴AD=DE。
5. 判定△ADE为等边三角形
∵AD=DE，∠ADE=60°，∴△ADE是等边三角形。
结论：等边
5. 将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α = 60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为
2
cm。答案
2
解析
∵点B,C在直尺上，刻度分别为1 cm,3 cm，
∴BC=3-1=2 cm.
由题意，含30°角的直角三角板与直尺放置，∠α=60°.
∵直尺边缘为直线，根据平行线性质及三角板内角关系，可得∠ABC=∠ACB=60°.
∴△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°.
∴△ABC是等边三角形（三个角都等于60°的三角形是等边三角形）.
∴AB=BC=2 cm.
∴BC=3-1=2 cm.
由题意，含30°角的直角三角板与直尺放置，∠α=60°.
∵直尺边缘为直线，根据平行线性质及三角板内角关系，可得∠ABC=∠ACB=60°.
∴△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°.
∴△ABC是等边三角形（三个角都等于60°的三角形是等边三角形）.
∴AB=BC=2 cm.
6. 如图所示的是某种落地灯的简易示意图,AB为立杆,BC为支杆,可绕点B旋转,DE为悬杆,滑动悬杆可调节CD的长度。为了使落地灯更方便学习时的照明,小唯将该落地灯进行了调整,使悬杆CD部分的长度与支杆BC的长度相等,且∠BCE = 120°。若CD的长为50 cm,则此时B,D两点之间的距离为
50
cm。答案
∵DE为悬杆，C为悬杆上一点，∴D、C、E三点共线，即∠BCE与∠BCD互为邻补角。
∵∠BCE=120°，∴∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°。
∵CD=BC=50cm，∴△BCD中，BC=CD，∠BCD=60°。
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∴BD=BC=50cm。
50
∵∠BCE=120°，∴∠BCD=180°-∠BCE=180°-120°=60°。
∵CD=BC=50cm，∴△BCD中，BC=CD，∠BCD=60°。
∴△BCD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。
∴BD=BC=50cm。
50
7. 如图,△ABC是等边三角形,DE // BC,分别交AB,AC于点D,E,点P为线段AE上任意一点。若∠DPE = 80°,则∠PDE的度数为(
A.20°
B.40°
C.60°
D.100°
B
)A.20°
B.40°
C.60°
D.100°
答案
B
解析
∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°。∵DE//BC，∴△ADE是等边三角形（两直线平行，同位角相等，可得∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°），∴∠AED=60°。在△DEP中，∠DPE=80°，∠PED=∠AED=60°，∴∠PDE=180°-∠DPE-∠PED=180°-80°-60°=40°。
