6. 比较大小：$ \sqrt{37} - 2 $ $ 4 $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

$＞$

因为$\sqrt{36}=6$，且$37＞36$，所以$\sqrt{37}＞\sqrt{36}=6$，则$\sqrt{37}-2＞6 - 2=4$，故$\sqrt{37}-2＞4$。
$＞$

7. 比较大小：$ \dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} $ $ \dfrac{1}{2} $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

$＜$

因为$\sqrt{5} \approx 2.236$，所以$3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.236 = 0.764$，则$\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx \dfrac{0.764}{2} = 0.382$。又因为$\dfrac{1}{2} = 0.5$，且$0.382 ＜ 0.5$，所以$\dfrac{3 - \sqrt{5}}{2} ＜ \dfrac{1}{2}$。
$＜$

8. 比较大小：$ 3\sqrt{2} $ ______$ 2\sqrt{3} $,$ -3\sqrt{5} $ ______$ -2\sqrt{6} $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)

$＞$，$＜$

$3\sqrt{2} = \sqrt{9 × 2} = \sqrt{18}$，$2\sqrt{3} = \sqrt{4 × 3} = \sqrt{12}$，因为$\sqrt{18} ＞ \sqrt{12}$，所以$3\sqrt{2} ＞ 2\sqrt{3}$；
$-3\sqrt{5} = -\sqrt{9 × 5} = -\sqrt{45}$，$-2\sqrt{6} = -\sqrt{4 × 6} = -\sqrt{24}$，因为$\sqrt{45} ＞ \sqrt{24}$，所以$-\sqrt{45} ＜ -\sqrt{24}$，即$-3\sqrt{5} ＜ -2\sqrt{6}$。
$＞$，$＜$

9. 比较 $ \sqrt{6} + \sqrt{11} $ 与 $ \sqrt{14} + \sqrt{3} $ 的大小。

9. 解:$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^{2}=17+2\sqrt{66}$,$(\sqrt{14}+\sqrt{3})^{2}=17+2\sqrt{42}$。因为$17+2\sqrt{66}＞17+2\sqrt{42}$,所以$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞\sqrt{14}+\sqrt{3}$。

解:$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^{2}=6+2\sqrt{6}×\sqrt{11}+11=17+2\sqrt{66}$,$(\sqrt{14}+\sqrt{3})^{2}=14+2\sqrt{14}×\sqrt{3}+3=17+2\sqrt{42}$。因为$\sqrt{66}＞\sqrt{42}$，所以$2\sqrt{66}＞2\sqrt{42}$，则$17+2\sqrt{66}＞17+2\sqrt{42}$，即$(\sqrt{6}+\sqrt{11})^{2}＞(\sqrt{14}+\sqrt{3})^{2}$。又因为$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞0$，$\sqrt{14}+\sqrt{3}＞0$，所以$\sqrt{6}+\sqrt{11}＞\sqrt{14}+\sqrt{3}$。

10. 比较大小：
$ \dfrac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}} $ 与 $ \dfrac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{6}} $
$ \dfrac{1}{\sqrt{n} - \sqrt{n - 1}} $ 与 $ \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} $($ n \geqslant 2 $,且 $ n $ 为整数)

10. 解:
(1)$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$,$\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}=\sqrt{7}+\sqrt{6}$。因为$\sqrt{5}＜\sqrt{7}$,所以$\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}＜\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}$。
(2)$\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}=\sqrt{n}+\sqrt{n-1}$,$\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$。因为$\sqrt{n-1}＜\sqrt{n+1}$,所以$\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}＜\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}$。

11. 阅读材料：我们在学习二次根式时,熟悉了分母有理化及其应用。其实,有一种类似的方法叫作“分子有理化”,即分母和分子都乘分子的有理化因式,从而消掉分子中的根式。
比如：$ \sqrt{7} - \sqrt{6} = \dfrac{(\sqrt{7} - \sqrt{6}) × (\sqrt{7} + \sqrt{6})}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} $。
分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小。例如：比较 $ \sqrt{7} - \sqrt{6} $ 和 $ \sqrt{6} - \sqrt{5} $ 的大小。
先将它们分子有理化：$ \sqrt{7} - \sqrt{6} = \dfrac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} $,$ \sqrt{6} - \sqrt{5} = \dfrac{1}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} $。
因为 $ \sqrt{7} + \sqrt{6} ＞ \sqrt{6} + \sqrt{5} $,所以 $ \sqrt{7} - \sqrt{6} ＜ \sqrt{6} - \sqrt{5} $。
利用上面的方法,回答下列问题：
比较 $ \sqrt{15} - \sqrt{14} $ 和 $ \sqrt{14} - \sqrt{13} $ 的大小；
比较 $ 3\sqrt{2} - 4 $ 和 $ 2\sqrt{3} - \sqrt{10} $ 的大小；
已知 $ x = \sqrt{n + 3} - \sqrt{n + 1} $,$ y = \sqrt{n + 2} - \sqrt{n} $,比较 $ x $,$ y $ 的大小。

11. 解:
(1)$\sqrt{15}-\sqrt{14}=\frac{1}{\sqrt{15}+\sqrt{14}}$,$\sqrt{14}-\sqrt{13}=\frac{1}{\sqrt{14}+\sqrt{13}}$。因为$\sqrt{15}＞\sqrt{13}$,所以$\sqrt{15}+\sqrt{14}＞\sqrt{14}+\sqrt{13}$,所以$\sqrt{15}-\sqrt{14}＜\sqrt{14}-\sqrt{13}$。
(2)$3\sqrt{2}-4=\frac{(3\sqrt{2}-4)× (3\sqrt{2}+4)}{3\sqrt{2}+4}=\frac{2}{3\sqrt{2}+4}$,$2\sqrt{3}-\sqrt{10}=\frac{(2\sqrt{3}-\sqrt{10})× (2\sqrt{3}+\sqrt{10})}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}=\frac{2}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}$。因为$3\sqrt{2}＞2\sqrt{3}$,$4＞\sqrt{10}$,所以$3\sqrt{2}+4＞2\sqrt{3}+\sqrt{10}$,所以$\frac{2}{3\sqrt{2}+4}＜\frac{2}{2\sqrt{3}+\sqrt{10}}$,所以$3\sqrt{2}-4＜2\sqrt{3}-\sqrt{10}$。
(3)$x=\sqrt{n+3}-\sqrt{n+1}=\frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}$,$y=\sqrt{n+2}-\sqrt{n}=\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$。因为$\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}＞\sqrt{n+2}+\sqrt{n}$,所以$\frac{2}{\sqrt{n+3}+\sqrt{n+1}}＜\frac{2}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}}$,所以$x＜y$。