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12. 一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数,小数部分为这个数与它的整数部分的差。例如：$ 1.4 $ 的整数部分为 $ 1 $,小数部分为 $ 1.4 - 1 = 0.4 $；$ \sqrt{3} $ 的整数部分为 $ 1 $,小数部分为 $ \sqrt{3} - 1 $。再如：$ -3.8 $ 的整数部分为 $ -4 $,小数部分为 $ -3.8 - (-4) = 0.2 $。由此可知,若 $ \sqrt{3} = x + y $,其中 $ x $ 是整数,且 $ 0 ＜ y ＜ 1 $,那么 $ x = 1 $,$ y = \sqrt{3} - 1 $。
根据以上材料,回答下列问题：
若 $ \sqrt{5} = m + n $,其中 $ m $ 是整数,且 $ 0 ＜ n ＜ 1 $,则 $ m = $
若 $ 2 - \sqrt{5} = p + q $,其中 $ p $ 是整数,且 $ 0 ＜ q ＜ 1 $,求 $ p - q $ 的值。
根据以上材料,回答下列问题：
若 $ \sqrt{5} = m + n $,其中 $ m $ 是整数,且 $ 0 ＜ n ＜ 1 $,则 $ m = $
2
,$ n = $$\sqrt{5}-2$
；若 $ 2 - \sqrt{5} = p + q $,其中 $ p $ 是整数,且 $ 0 ＜ q ＜ 1 $,求 $ p - q $ 的值。
因为$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$-3＜-\sqrt{5}＜-2$,所以$-1＜2-\sqrt{5}＜0$。因为$2-\sqrt{5}=p+q$,其中$p$是整数,且$0＜q＜1$,所以$p=-1$,$q=3-\sqrt{5}$,所以$p-q=-1-(3-\sqrt{5})=\sqrt{5}-4$。
答案
12. 解:
(1)2 $\sqrt{5}-2$ 分析:因为$2＜\sqrt{5}＜3$,而$\sqrt{5}=m+n$,其中$m$是整数,且$0＜n＜1$,所以$m=2$,$n=\sqrt{5}-2$。
(2)因为$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$-3＜-\sqrt{5}＜-2$,所以$-1＜2-\sqrt{5}＜0$。因为$2-\sqrt{5}=p+q$,其中$p$是整数,且$0＜q＜1$,所以$p=-1$,$q=3-\sqrt{5}$,所以$p-q=-1-3+\sqrt{5}=\sqrt{5}-4$。
(1)2 $\sqrt{5}-2$ 分析:因为$2＜\sqrt{5}＜3$,而$\sqrt{5}=m+n$,其中$m$是整数,且$0＜n＜1$,所以$m=2$,$n=\sqrt{5}-2$。
(2)因为$2＜\sqrt{5}＜3$,所以$-3＜-\sqrt{5}＜-2$,所以$-1＜2-\sqrt{5}＜0$。因为$2-\sqrt{5}=p+q$,其中$p$是整数,且$0＜q＜1$,所以$p=-1$,$q=3-\sqrt{5}$,所以$p-q=-1-3+\sqrt{5}=\sqrt{5}-4$。
13. 若 $ x $,$ y $ 为实数,且 $ (x - 1)^{2} $ 与 $ \sqrt{3y - 6} $ 互为相反数,则 $ x^{2} + y^{2} $ 的平方根为(
A.$ \pm \sqrt{3} $
B.$ \sqrt{5} $
C.$ \pm 5 $
D.$ \pm \sqrt{5} $
D
)。A.$ \pm \sqrt{3} $
B.$ \sqrt{5} $
C.$ \pm 5 $
D.$ \pm \sqrt{5} $
答案
D
解析
因为$(x - 1)^{2}$与$\sqrt{3y - 6}$互为相反数，所以$(x - 1)^{2} + \sqrt{3y - 6} = 0$。
由于$(x - 1)^{2} \geq 0$，$\sqrt{3y - 6} \geq 0$，要使它们的和为$0$，则$(x - 1)^{2} = 0$且$\sqrt{3y - 6} = 0$。
由$(x - 1)^{2} = 0$，得$x - 1 = 0$，解得$x = 1$。
由$\sqrt{3y - 6} = 0$，得$3y - 6 = 0$，$3y = 6$，解得$y = 2$。
所以$x^{2} + y^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$。
$5$的平方根为$\pm \sqrt{5}$。
D
由于$(x - 1)^{2} \geq 0$，$\sqrt{3y - 6} \geq 0$，要使它们的和为$0$，则$(x - 1)^{2} = 0$且$\sqrt{3y - 6} = 0$。
由$(x - 1)^{2} = 0$，得$x - 1 = 0$，解得$x = 1$。
由$\sqrt{3y - 6} = 0$，得$3y - 6 = 0$，$3y = 6$，解得$y = 2$。
所以$x^{2} + y^{2} = 1^{2} + 2^{2} = 1 + 4 = 5$。
$5$的平方根为$\pm \sqrt{5}$。
D
14. 若已知 $ a $,$ b $ 为实数,且 $ \sqrt{a - 5} + 2\sqrt{5 - a} = b + 4 $,则 $ a + b = $
1
。答案
1
解析
要使$\sqrt{a - 5}$和$\sqrt{5 - a}$有意义，则$a - 5 \geq 0$且$5 - a \geq 0$，解得$a = 5$。
将$a = 5$代入$\sqrt{a - 5} + 2\sqrt{5 - a} = b + 4$，得$0 + 0 = b + 4$，即$b = -4$。
所以$a + b = 5 + (-4) = 1$。
1
将$a = 5$代入$\sqrt{a - 5} + 2\sqrt{5 - a} = b + 4$，得$0 + 0 = b + 4$，即$b = -4$。
所以$a + b = 5 + (-4) = 1$。
1
15. 若 $ a + \sqrt{a - 2} = 2 $,求 $ \sqrt{a + 2} $ 的值。
答案
15. 解:因为$a+\sqrt{a-2}=2$,所以$\sqrt{a-2}=2-a$。因为$a-2\geqslant 0$,$2-a\geqslant 0$,所以$a=2$,所以$\sqrt{a+2}=\sqrt{4}=2$。
16. 已知 $ \sqrt{(x - 1000)^{2}} + (\sqrt{998 - x})^{2} = 2000 $,$ y = \sqrt{m + 8} + \sqrt{m - 1} + \sqrt{1 - m} $,求 $ y - x $ 的平方根。
答案
16. 解:由题意得$998-x\geqslant 0$,解得$x\leqslant 998$,所以$1000-x+998-x=2000$,解得$x=-1$。由题意得$m-1\geqslant 0$且$1-m\geqslant 0$,解得$m\geqslant 1$且$m\leqslant 1$,所以$m=1$,所以$y=\sqrt{1+8}=3$,所以$y-x=3-(-1)=3+1=4$。因为$(\pm 2)^{2}=4$,$4$的平方根是$\pm 2$,所以$y-x$的平方根是$\pm 2$。
解析
解:由题意得$998 - x \geq 0$，解得$x \leq 998$，则$\sqrt{(x - 1000)^2} = 1000 - x$，所以$1000 - x + 998 - x = 2000$，解得$x = -1$。
由题意得$m - 1 \geq 0$且$1 - m \geq 0$，解得$m \geq 1$且$m \leq 1$，所以$m = 1$，则$y = \sqrt{1 + 8} + \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} = 3 + 0 + 0 = 3$。
所以$y - x = 3 - (-1) = 4$，因为$(\pm 2)^2 = 4$，所以$y - x$的平方根是$\pm 2$。
由题意得$m - 1 \geq 0$且$1 - m \geq 0$，解得$m \geq 1$且$m \leq 1$，所以$m = 1$，则$y = \sqrt{1 + 8} + \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} = 3 + 0 + 0 = 3$。
所以$y - x = 3 - (-1) = 4$，因为$(\pm 2)^2 = 4$，所以$y - x$的平方根是$\pm 2$。
