8. 已知：如图,点$B$,$F$,$C$,$E$在一条直线上,$FB = CE$,$AB = DE$,$AC = DF$。
求证：
(1)$\triangle ABC\cong\triangle DEF$；
(2)$AF = CD$。

（1）由FB=CE，可得BC=EF。又因为AB=DE，AC=DF，所以△ABC≌△DEF。（2）由（1）得∠B=∠E。又由AB=DE，FB=CE，可证△ABF≌△DEC(SAS)，所以AF=CD。

（1）证明：
∵FB=CE，
∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF。
在△ABC和△DEF中，
$\begin{cases}AB=DE \\AC=DF \\BC=EF\end{cases}$
∴△ABC≌△DEF（SSS）。
（2）证明：由（1）知△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠E。
在△ABF和△DEC中，
$\begin{cases}AB=DE \\∠B=∠E \\FB=CE\end{cases}$
∴△ABF≌△DEC（SAS），
∴AF=CD。

9. 如图,$AD是\triangle ABC中\angle BAC$的平分线,$DE\perp AB于点E$,$DF\perp AC于点F$。若$S_{\triangle ABC} = 7$,$DE = 2$,$AB = 4$,则$AC$的长是。

3

∵$AD$是$∠BAC$的平分线，$DE⊥AB，$$DF⊥AC，$　　
∴$DE=DF=2。$　　
∵$S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}，$　　
$S_{△ABD}= \frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}×4×2 = 4，$　　
设$AC=x，$则$S_{△ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF=\frac{1}{2}× x×2=x，$　　
又　　
∵$S_{△ABC}=7，$　　
∴$4 + x = 7，$解得$x=3，$即$AC=3。$　　
$3$　　

10. 如图。
命题一：如果$AD既是BC$边上的高线,又是$\angle BAC$的平分线,那么$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
命题二：如果$AD既是BC$边上的高线,又是$BC$边上的中线,那么$\triangle ABD\cong\triangle ACD$。
(1)证明上述两个命题。
(2)想一想,分别满足上述两个命题的条件,你还能推得哪些共同的结论？

（1）命题一的证明：由已知，可得∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD。从而可证△ABD≌△ACD（ASA）。命题二的证明：由已知，可得∠ADB=∠ADC，BD=CD。从而可证△ABD≌△ACD(SAS)。（2）共同的结论有：AB=AC，∠B=∠C(答案不唯一)。

（1）命题一的证明：
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD。
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BAD=∠CAD,\\ AD=AD,\\ ∠ADB=∠ADC,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACD（ASA）。
命题二的证明：
∵AD是BC边上的高线，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD。
在△ABD和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l} AD=AD,\\ ∠ADB=∠ADC,\\ BD=CD,\end{array}\right.$
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
（2）AB=AC，∠B=∠C。