登录
1. 若关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-m= 0 $ 有实数根,则 $ m $ 的取值范围是(
A.$ m＜0 $
B.$ m \leq 0 $
C.$ m＞0 $
D.$ m \geq 0 $
D
)A.$ m＜0 $
B.$ m \leq 0 $
C.$ m＞0 $
D.$ m \geq 0 $
答案
D
解析
方程$x^{2}-m=0$可化为$x^{2}=m$。
因为任何实数的平方都大于等于$0$，即$x^{2}\geq0$，所以要使方程有实数根，$m$必须满足$m\geq0$。
D
因为任何实数的平方都大于等于$0$，即$x^{2}\geq0$，所以要使方程有实数根，$m$必须满足$m\geq0$。
D
2. 已知 $ 2 $ 是一元二次方程 $ x^{2}-c= 0 $ 的一个根,则该方程的另一个根是(
A.$ -4 $
B.$ -2 $
C.$ 2 $
D.$ 4 $
B
)A.$ -4 $
B.$ -2 $
C.$ 2 $
D.$ 4 $
答案
B
解析
因为2是一元二次方程$x^{2}-c=0$的一个根，所以将$x=2$代入方程得$2^{2}-c=0$，解得$c=4$，则原方程为$x^{2}-4=0$，即$x^{2}=4$，解得$x=\pm2$，所以该方程的另一个根是$-2$。
B
B
3. 一元二次方程 $ (x + 6)^{2}= 16 $ 可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是 $ x + 6= 4 $,则另一个一元一次方程是(
A.$ x - 6= -4 $
B.$ x - 6= 4 $
C.$ x + 6= 4 $
D.$ x + 6= -4 $
D
)A.$ x - 6= -4 $
B.$ x - 6= 4 $
C.$ x + 6= 4 $
D.$ x + 6= -4 $
答案
D
解析
方程$(x + 6)^{2}= 16$两边开平方，得$x + 6 = \pm 4$，已知一个一元一次方程是$x + 6 = 4$，则另一个一元一次方程是$x + 6 = -4$。
D
D
4. 若关于 $ x $ 的一元二次方程 $ a x^{2}= b(a b＞0) $ 的两个根分别是 $ m - 1 $ 和 $ 2 m + 4 $,则 $ \frac{b}{a} $ 的值为(
A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $
A
)A.$ 4 $
B.$ 3 $
C.$ 2 $
D.$ 1 $
答案
A
解析
解：方程 $ax^2 = b$ 可化为 $x^2 = \frac{b}{a}$，则方程的两个根互为相反数。
因为方程的两个根分别是 $m - 1$ 和 $2m + 4$，所以 $m - 1 + 2m + 4 = 0$，
解得 $3m + 3 = 0$，$m = -1$。
则其中一个根为 $m - 1 = -1 - 1 = -2$，
所以 $\frac{b}{a} = (-2)^2 = 4$。
A
因为方程的两个根分别是 $m - 1$ 和 $2m + 4$，所以 $m - 1 + 2m + 4 = 0$，
解得 $3m + 3 = 0$，$m = -1$。
则其中一个根为 $m - 1 = -1 - 1 = -2$，
所以 $\frac{b}{a} = (-2)^2 = 4$。
A
5. 如图 21 - 2 - 1 - 1 是一个简单的数值运算程序,则输入 $ x $ 的值为
4或-2
。答案
4或-2
解析
根据题意得：$(x - 1)^2×(-3)=-27$
两边同时除以$-3$：$(x - 1)^2 = 9$
开平方得：$x - 1=\pm3$
当$x - 1 = 3$时，$x=4$
当$x - 1=-3$时，$x=-2$
4或-2
两边同时除以$-3$：$(x - 1)^2 = 9$
开平方得：$x - 1=\pm3$
当$x - 1 = 3$时，$x=4$
当$x - 1=-3$时，$x=-2$
4或-2
6. 用直接开平方法解一元二次方程。
(1) $ 4 x^{2}-13= 12 $；
(2) $ \frac{1}{2}(y + 2)^{2}-6= 0 $。
(1) $ 4 x^{2}-13= 12 $；
(2) $ \frac{1}{2}(y + 2)^{2}-6= 0 $。
答案
(1)$x_{1}=\frac{5}{2}$,$x_{2}=-\frac{5}{2}$
(2)$y_{1}=2\sqrt{3}-2$,$y_{2}=-2\sqrt{3}-2$
7. 若 $ (a^{2}+b^{2}-2)^{2}= 25 $,则 $ a^{2}+b^{2} $ 的值为(
A.$ 7 $
B.$ 7 $ 或 $ -3 $
C.$ -3 $
D.$ 27 $
A
)A.$ 7 $
B.$ 7 $ 或 $ -3 $
C.$ -3 $
D.$ 27 $
答案
A
解析
设$x = a^{2} + b^{2}$，则原方程可化为$(x - 2)^{2} = 25$。
开平方得$x - 2 = \pm 5$，
当$x - 2 = 5$时，$x = 7$；
当$x - 2 = -5$时，$x = -3$。
因为$a^{2} \geq 0$，$b^{2} \geq 0$，所以$x = a^{2} + b^{2} \geq 0$，故$x = -3$舍去。
所以$a^{2} + b^{2} = 7$。
A
开平方得$x - 2 = \pm 5$，
当$x - 2 = 5$时，$x = 7$；
当$x - 2 = -5$时，$x = -3$。
因为$a^{2} \geq 0$，$b^{2} \geq 0$，所以$x = a^{2} + b^{2} \geq 0$，故$x = -3$舍去。
所以$a^{2} + b^{2} = 7$。
A
8. 已知一元二次方程 $ (x - 3)^{2}= 1 $ 的两个根恰好分别是等腰三角形 $ ABC $ 的底边长和腰长,求 $ \triangle ABC $ 的周长。
答案
10
解析
解方程$(x - 3)^{2}= 1$，得$x-3=\pm1$，$x=3\pm1$，所以$x_{1}=4$，$x_{2}=2$。
情况一：底边长为$4$，腰长为$2$。因为$2 + 2 = 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立。
情况二：底边长为$2$，腰长为$4$。因为$4 + 4＞2$，$4 + 2＞4$，满足三角形三边关系。此时周长为$4 + 4 + 2=10$。
$\triangle ABC$的周长为$10$。
情况一：底边长为$4$，腰长为$2$。因为$2 + 2 = 4$，不满足三角形两边之和大于第三边，所以此情况不成立。
情况二：底边长为$2$，腰长为$4$。因为$4 + 4＞2$，$4 + 2＞4$，满足三角形三边关系。此时周长为$4 + 4 + 2=10$。
$\triangle ABC$的周长为$10$。
9. (分类讨论思想)解关于 $ x $ 的方程： $ a x^{2}-2= 2 + x^{2}(a \neq 1) $。
答案
解:方程整理得$(a-1)x^{2}=4$,$\because a≠1$,$\therefore a-1≠0$,得$x^{2}=\frac{4}{a-1}$。当$a-1＞0$,即$a＞1$时,$x=\pm \frac{2\sqrt{a-1}}{a-1}$;当$a-1＜0$,即$a＜1$时,方程无实数根。
解析
解:方程整理得$(a - 1)x^{2}=4$，
$\because a\neq1$，
$\therefore a - 1\neq0$，得$x^{2}=\frac{4}{a - 1}$。
当$a - 1＞0$，即$a＞1$时，$x=\pm\frac{2\sqrt{a - 1}}{a - 1}$；
当$a - 1＜0$，即$a＜1$时，方程无实数根。
$\because a\neq1$，
$\therefore a - 1\neq0$，得$x^{2}=\frac{4}{a - 1}$。
当$a - 1＞0$，即$a＞1$时，$x=\pm\frac{2\sqrt{a - 1}}{a - 1}$；
当$a - 1＜0$，即$a＜1$时，方程无实数根。
