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1. 若二次函数 $ y = ax^2 $ 的图象经过点 $ P(-2,4) $,则该图象必经过点( )
A.$ (2,4) $
B.$ (-2,-4) $
C.$ (-4,2) $
D.$ (4,-2) $
A.$ (2,4) $
B.$ (-2,-4) $
C.$ (-4,2) $
D.$ (4,-2) $
答案
A
解析
解：将点$P(-2,4)$代入$y = ax^2$，得$4=a×(-2)^2$，即$4a=4$，解得$a=1$，所以二次函数解析式为$y=x^2$。
分别将各选项代入$y=x^2$：
选项A：当$x=2$时，$y=2^2=4$，所以点$(2,4)$在函数图象上。
选项B：当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4\neq-4$，所以点$(-2,-4)$不在函数图象上。
选项C：当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16\neq2$，所以点$(-4,2)$不在函数图象上。
选项D：当$x=4$时，$y=4^2=16\neq-2$，所以点$(4,-2)$不在函数图象上。
A
分别将各选项代入$y=x^2$：
选项A：当$x=2$时，$y=2^2=4$，所以点$(2,4)$在函数图象上。
选项B：当$x=-2$时，$y=(-2)^2=4\neq-4$，所以点$(-2,-4)$不在函数图象上。
选项C：当$x=-4$时，$y=(-4)^2=16\neq2$，所以点$(-4,2)$不在函数图象上。
选项D：当$x=4$时，$y=4^2=16\neq-2$，所以点$(4,-2)$不在函数图象上。
A
2. 二次函数 $ y = x^2 $ 的图象向右平移 3 个单位长度,得到新的图象所表示的函数的解析式是( )
A.$ y = x^2 + 3 $
B.$ y = x^2 - 3 $
C.$ y = (x + 3)^2 $
D.$ y = (x - 3)^2 $
A.$ y = x^2 + 3 $
B.$ y = x^2 - 3 $
C.$ y = (x + 3)^2 $
D.$ y = (x - 3)^2 $
答案
D
解析
二次函数图象平移规律：向左平移$h$个单位，自变量加$h$；向右平移$h$个单位，自变量减$h$。
$y = x^2$的图象向右平移$3$个单位长度，自变量$x$变为$x - 3$，得到新函数解析式为$y=(x - 3)^2$。
D
$y = x^2$的图象向右平移$3$个单位长度，自变量$x$变为$x - 3$，得到新函数解析式为$y=(x - 3)^2$。
D
3. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示,则一次函数 $ y = bx + a $ 的图象不经过( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
解：由二次函数图象开口向上，得 $a ＞ 0$；
对称轴在 $y$ 轴左侧，即 $-\frac{b}{2a} ＜ 0$，又 $a ＞ 0$，故 $b ＞ 0$；
一次函数 $y = bx + a$ 中，$b ＞ 0$，$a ＞ 0$，
所以其图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
D
对称轴在 $y$ 轴左侧，即 $-\frac{b}{2a} ＜ 0$，又 $a ＞ 0$，故 $b ＞ 0$；
一次函数 $y = bx + a$ 中，$b ＞ 0$，$a ＞ 0$，
所以其图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限。
D
4. 如图,已知抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 的对称轴为直线 $ x = 2 $,点 $ A $,$ B $ 均在抛物线上,且 $ AB $ 与 $ x $ 轴平行,其中点 $ A $ 的坐标为 $ (0,3) $,则点 $ B $ 的坐标为( )
A.$ (2,3) $
B.$ (3,2) $
C.$ (3,3) $
D.$ (4,3) $
A.$ (2,3) $
B.$ (3,2) $
C.$ (3,3) $
D.$ (4,3) $
答案
D
解析
解：
∵抛物线$y = x^2 + bx + c$的对称轴为直线$x = 2$，
且$AB// x$轴，点$A(0,3)$在抛物线上，
∴点$A$与点$B$关于直线$x = 2$对称。
设点$B$的坐标为$(m,3)$，
则$\frac{0 + m}{2}=2$，解得$m = 4$。
∴点$B$的坐标为$(4,3)$。
D
∵抛物线$y = x^2 + bx + c$的对称轴为直线$x = 2$，
且$AB// x$轴，点$A(0,3)$在抛物线上，
∴点$A$与点$B$关于直线$x = 2$对称。
设点$B$的坐标为$(m,3)$，
则$\frac{0 + m}{2}=2$，解得$m = 4$。
∴点$B$的坐标为$(4,3)$。
D
5. 在同一平面直角坐标系中,函数 $ y = ax^2 + bx $ 与 $ y = bx + a $ 的图象可能是( )
答案
C
解析
解：联立两函数方程：$ax^2 + bx = bx + a$，化简得$ax^2 = a$。
若$a \neq 0$，则$x^2 = 1$，解得$x = \pm 1$，两函数图象交点横坐标为$\pm 1$，排除A、B。
抛物线$y = ax^2 + bx$过原点$(0,0)$，排除D。
结论：选C。
若$a \neq 0$，则$x^2 = 1$，解得$x = \pm 1$，两函数图象交点横坐标为$\pm 1$，排除A、B。
抛物线$y = ax^2 + bx$过原点$(0,0)$，排除D。
结论：选C。
6. 若二次函数 $ y = x^2 + bx + 5 $ 配方后为 $ y = (x - 2)^2 + k $,则 $ b $,$ k $ 的值分别为( )
A.$ 0,5 $
B.$ 0,1 $
C.$ -4,5 $
D.$ -4,1 $
A.$ 0,5 $
B.$ 0,1 $
C.$ -4,5 $
D.$ -4,1 $
答案
D
解析
将$y=(x - 2)^2 + k$展开得：$y=x^2 - 4x + 4 + k$。
因为二次函数$y = x^2 + bx + 5$配方后为$y=(x - 2)^2 + k$，所以对应项系数相等。
对于一次项系数：$b=-4$；
对于常数项：$4 + k=5$，解得$k=1$。
D
因为二次函数$y = x^2 + bx + 5$配方后为$y=(x - 2)^2 + k$，所以对应项系数相等。
对于一次项系数：$b=-4$；
对于常数项：$4 + k=5$，解得$k=1$。
D
7. 已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 过 $ (1,m) $,$ (-3,m) $ 两点,则该抛物线的对称轴是( )
A.直线 $ x = -2 $
B.直线 $ x = -1 $
C.直线 $ x = 2 $
D.直线 $ x = 1 $
A.直线 $ x = -2 $
B.直线 $ x = -1 $
C.直线 $ x = 2 $
D.直线 $ x = 1 $
答案
B
解析
∵抛物线$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$过$(1,m)$，$(-3,m)$两点，
这两点的纵坐标相同，
∴这两点关于抛物线的对称轴对称，
∴对称轴为直线$x = \frac{1 + (-3)}{2} = -1$。
B
8. 已知 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图象如图所示,根据图中提供的信息,可求得使 $ y \geq 1 $ 成立的 $ x $ 的取值范围是( )
A.$ -1 \leq x \leq 3 $
B.$ -3 \leq x \leq 1 $
C.$ x \geq -3 $
D.$ x \leq -1 $ 或 $ x \geq 3 $
A.$ -1 \leq x \leq 3 $
B.$ -3 \leq x \leq 1 $
C.$ x \geq -3 $
D.$ x \leq -1 $ 或 $ x \geq 3 $
答案
D
解析
解：由图可知，抛物线开口向上，顶点坐标为$(1,-3)$，设抛物线解析式为$y=a(x-1)^2 - 3$。
因抛物线过点$(0,-2)$，代入得：$-2 = a(0 - 1)^2 - 3$，解得$a = 1$，故抛物线解析式为$y=(x - 1)^2 - 3$。
令$y = 1$，则$(x - 1)^2 - 3 = 1$，即$(x - 1)^2 = 4$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$。
因为抛物线开口向上，所以当$y \geq 1$时，$x \leq -1$或$x \geq 3$。
D
因抛物线过点$(0,-2)$，代入得：$-2 = a(0 - 1)^2 - 3$，解得$a = 1$，故抛物线解析式为$y=(x - 1)^2 - 3$。
令$y = 1$，则$(x - 1)^2 - 3 = 1$，即$(x - 1)^2 = 4$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$。
因为抛物线开口向上，所以当$y \geq 1$时，$x \leq -1$或$x \geq 3$。
D
9. 已知二次函数 $ y = x^2 - 2mx - 3 $,下列结论不一定成立的是( )
A.它的图象与 $ x $ 轴有两个交点
B.方程 $ x^2 - 2mx = 3 $ 的两根之积为 $ -3 $
C.它的图象的对称轴在 $ y $ 轴的右侧
D.当 $ x \lt m $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
A.它的图象与 $ x $ 轴有两个交点
B.方程 $ x^2 - 2mx = 3 $ 的两根之积为 $ -3 $
C.它的图象的对称轴在 $ y $ 轴的右侧
D.当 $ x \lt m $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
答案
C
解析
A. $\Delta=(-2m)^2-4×1×(-3)=4m^2+12＞0$，与$x$轴有两个交点，成立。
B. 方程$x^2-2mx=3$即$x^2-2mx-3=0$，两根之积为$-3$，成立。
C. 对称轴为$x=m$，$m$正负不确定，不一定在$y$轴右侧，不一定成立。
D. 抛物线开口向上，对称轴$x=m$，当$x＜m$时，$y$随$x$增大而减小，成立。
C
B. 方程$x^2-2mx=3$即$x^2-2mx-3=0$，两根之积为$-3$，成立。
C. 对称轴为$x=m$，$m$正负不确定，不一定在$y$轴右侧，不一定成立。
D. 抛物线开口向上，对称轴$x=m$，当$x＜m$时，$y$随$x$增大而减小，成立。
C
