10. 如图,动点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿线段 $ AB $ 运动至点 $ B $ 后,立即按原路返回,动点 $ P $ 在运动过程中速度大小不变,则以点 $ A $ 为圆心,线段 $ AP $ 长为半径的圆的面积 $ S $ 关于动点 $ P $ 的运动时间 $ t $ 的函数图象大致为( )

A

解：设动点$P$速度为$v$，$AB$长度为$L$，运动时间为$t$。
1. 当$0 \leq t \leq \frac{L}{v}$时，$AP = vt$，圆面积$S=\pi (vt)^2=\pi v^2 t^2$，此为开口向上的抛物线。
2. 当$t ＞ \frac{L}{v}$时，$AP = 2L - vt$，圆面积$S=\pi (2L - vt)^2=\pi v^2 t^2 - 4\pi v L t + 4\pi L^2$，此为开口向上的抛物线。
函数图象为两段开口向上的抛物线，与选项A一致。
A

11. 如图,抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A $,$ B $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ c $。若 $ \angle OBC = 45^{\circ} $ 则( )

A.$ b - c = 1 $
B.$ b + c = 1 $
C.$ b - c = -1 $
D.$ b + c = -1 $

D

解：
∵抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 与 $ y $ 轴交于点 $ C $，
∴令 $ x = 0 $，得 $ y = c $，则 $ C(0, c) $，$ OC = |c| $。
∵抛物线与 $ x $ 轴交于 $ B $ 点，设 $ B(m, 0) $（$ m ＞ 0 $），
∴ $ OB = m $。
∵ $ \angle OBC = 45° $，$ \angle BOC = 90° $，
∴ $ \triangle OBC $ 为等腰直角三角形，$ OB = OC $，即 $ m = c $（$ c ＞ 0 $）。
∵点 $ B(m, 0) $ 在抛物线上，
∴ $ 0 = m^2 + bm + c $。
又 $ m = c $，代入得 $ 0 = c^2 + bc + c $，
即 $ c(c + b + 1) = 0 $。
∵ $ c ＞ 0 $，
∴ $ c + b + 1 = 0 $，即 $ b + c = -1 $。
答案：D

12. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示,有下列 4 个结论：
① $ abc \gt 0 $；② $ b \lt a + c $；③ $ 4a + 2b + c \gt 0 $；④ $ b^2 - 4ac \gt 0 $。
其中正确的结论有( )

A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

B

解：①
∵抛物线开口向下，
∴$a＜0$，
∵对称轴为$x=1$，即$-\frac{b}{2a}=1$，
∴$b=-2a＞0$，
∵抛物线与$y$轴交于正半轴，
∴$c＞0$，
∴$abc＜0$，①错误；
②当$x=-1$时，$y=a-b+c＜0$，即$a+c＜b$，②错误；
③
∵对称轴为$x=1$，抛物线与$x$轴负半轴交点为$(-1,0)$，
∴抛物线与$x$轴正半轴交点为$(3,0)$，
当$x=2$时，$y=4a+2b+c＞0$，③正确；
④
∵抛物线与$x$轴有两个交点，
∴$b^2-4ac＞0$，④正确；
综上，正确的结论有2个，答案选B。

13. 不论 $ x $ 取何值,二次函数 $ y = -x^2 + 6x + c $ 的函数值总为负数,则 $ c $ 的取值范围是______。

$ c ＜ -9 $

二次函数$y = -x^2 + 6x + c$的二次项系数$-1\lt0$，抛物线开口向下。
其顶点的纵坐标为函数的最大值，顶点的横坐标为$x = -\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2×(-1)} = 3$。
将$x = 3$代入函数可得最大值为：
$y=-3^2 + 6×3 + c=-9 + 18 + c=9 + c$。
因为函数值总为负数，所以最大值$9 + c\lt0$，解得$c\lt -9$。
$c\lt -9$

14. 已知 $ A(-4,y_1) $,$ B(-3,y_2) $,$ C(3,y_3) $ 三点都在二次函数 $ y = -2(x + 2)^2 $ 的图象上,则 $ y_1 $,$ y_2 $,$ y_3 $ 的大小关系为______。

$ y_{3} ＜ y_{1} ＜ y_{2} $

当$x=-4$时，$y_{1}=-2×(-4 + 2)^{2}=-2×(-2)^{2}=-2×4=-8$；
当$x=-3$时，$y_{2}=-2×(-3 + 2)^{2}=-2×(-1)^{2}=-2×1=-2$；
当$x=3$时，$y_{3}=-2×(3 + 2)^{2}=-2×5^{2}=-2×25=-50$；
因为$-50＜-8＜-2$，所以$y_{3}＜y_{1}＜y_{2}$。

15. 已知抛物线 $ y = ax^2 - 2ax + c $ 与 $ x $ 轴的一个交点的坐标为 $ (-1,0) $,则方程 $ ax^2 - 2ax + c = 0 $ 的根为______。

$ x_{1} = -1, x_{2} = 3 $

16. 如图,已知抛物线 $ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $ 经过原点和点 $ (-2,0) $,则 $ 2a - 3b $______0(选填“$ \gt $”“$ \lt $”或“$ = $”)。

$ ＞ $

解：
∵抛物线过原点$(0,0)$，
∴$c=0$，抛物线解析式为$y=ax^2+bx$。
∵抛物线过点$(-2,0)$，
∴$0=a(-2)^2+b(-2)$，即$4a-2b=0$，化简得$b=2a$。
由抛物线开口向下，得$a＜0$。
则$2a-3b=2a-3(2a)=2a-6a=-4a$。
∵$a＜0$，
∴$-4a＞0$，即$2a-3b＞0$。
$＞$

17. 已知抛物线 $ y = x^2 + bx + c $ 经过点 $ A(2,-3) $,$ B(4,5) $。
(1) 求抛物线所表示的函数的解析式；
(2) 直接写出抛物线的对称轴和顶点坐标。

(1)$ y = x^{2} - 2x - 3 $;
(2)对称轴为直线$ x = 1 $,顶点坐标为$ (1, -4) $