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1. 下列函数中，是二次函数的是(
A.$ y = 3x $
B.$ y = x^2 $
C.$ y = -\dfrac{2}{x} $
D.$ y = x^2 - x(x - 1) $
B
)A.$ y = 3x $
B.$ y = x^2 $
C.$ y = -\dfrac{2}{x} $
D.$ y = x^2 - x(x - 1) $
答案
1. B
2. 已知 $ y = (m + 1)x^{m^2 + 1} + 2x - 3 $ 是二次函数，则 $ m $ 的值为(
A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ -1 $
D.$ 1 $ 或 $ -1 $
B
)A.$ 0 $
B.$ 1 $
C.$ -1 $
D.$ 1 $ 或 $ -1 $
答案
2. B
解析
要使$y=(m + 1)x^{m^2 + 1} + 2x - 3$是二次函数，需满足：
1. 二次项系数不为$0$：$m + 1 ≠ 0$，即$m ≠ -1$；
2. 自变量最高次数为$2$：$m^2 + 1 = 2$，解得$m = \pm 1$。
综合以上，$m = 1$。
B
1. 二次项系数不为$0$：$m + 1 ≠ 0$，即$m ≠ -1$；
2. 自变量最高次数为$2$：$m^2 + 1 = 2$，解得$m = \pm 1$。
综合以上，$m = 1$。
B
3. 二次函数 $ y = x^2 - 6x - 1 $ 的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(
A.$ 1,-6,-1 $
B.$ 1,6,1 $
C.$ 0,-6,1 $
D.$ 0,6,-1 $
A
)A.$ 1,-6,-1 $
B.$ 1,6,1 $
C.$ 0,-6,1 $
D.$ 0,6,-1 $
答案
3. A
4. 二次函数 $ y = x^2 + 2x - 7 $ 的函数值是 $ 8 $，那么对应的 $ x $ 的值是(
A.$ 3 $
B.$ 5 $
C.$ -3 $ 和 $ 5 $
D.$ 3 $ 和 $ -5 $
D
)A.$ 3 $
B.$ 5 $
C.$ -3 $ 和 $ 5 $
D.$ 3 $ 和 $ -5 $
答案
4. D
解析
解：由题意得 $x^2 + 2x - 7 = 8$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
$(x + 5)(x - 3) = 0$
$x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得 $x_1 = -5$，$x_2 = 3$
D
$x^2 + 2x - 15 = 0$
$(x + 5)(x - 3) = 0$
$x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得 $x_1 = -5$，$x_2 = 3$
D
5. 现有一块长 $ 80 \mathrm{ cm} $、宽 $ 60 \mathrm{ cm} $ 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 $ x \mathrm{ cm} $ 的小正方形，做成一个底面积为 $ y \mathrm{ cm}^2 $ 的无盖的长方体盒子，则 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式为(
A.$ y = x^2 - 70x + 1200 $
B.$ y = x^2 - 140x + 4800 $
C.$ y = 4x^2 - 280x + 4800 $
D.$ y = 4800 - 4x^2 $
C
)A.$ y = x^2 - 70x + 1200 $
B.$ y = x^2 - 140x + 4800 $
C.$ y = 4x^2 - 280x + 4800 $
D.$ y = 4800 - 4x^2 $
答案
5. C
解析
由题意，剪去小正方形后，长方体盒子底面的长为$(80 - 2x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(60 - 2x)\ \mathrm{cm}$。
底面积$y=(80 - 2x)(60 - 2x)$，展开得：
$\begin{aligned}y&=80×60 - 80×2x - 60×2x + (2x)^2\\&=4800 - 160x - 120x + 4x^2\\&=4x^2 - 280x + 4800\end{aligned}$
答案选C。
底面积$y=(80 - 2x)(60 - 2x)$，展开得：
$\begin{aligned}y&=80×60 - 80×2x - 60×2x + (2x)^2\\&=4800 - 160x - 120x + 4x^2\\&=4x^2 - 280x + 4800\end{aligned}$
答案选C。
6. 某物体从上午 $ 7 $ 时至下午 $ 4 $ 时的温度 $ M(^{\circ}\mathrm{C}) $ 是时间 $ t(\mathrm{h}) $ 的函数：$ M = t^2 - 5t + 100 $(其中 $ t = 0 $ 表示中午 $ 12 $ 时，$ t = 1 $ 表示下午 $ 1 $ 时)，则上午 $ 10 $ 时此物体的温度为
114
$ ^{\circ}\mathrm{C} $。答案
6. 114
解析
由题意知，$t = 0$表示中午12时，上午10时在中午12时前2小时，所以$t=-2$。
将$t = -2$代入$M = t^2 - 5t + 100$，得：
$M=(-2)^2-5×(-2)+100$
$=4 + 10+100$
$=114$
$114$
将$t = -2$代入$M = t^2 - 5t + 100$，得：
$M=(-2)^2-5×(-2)+100$
$=4 + 10+100$
$=114$
$114$
7. 如图，在一块长 $ 16 \mathrm{ m} $、宽 $ 10 \mathrm{ m} $ 的矩形场地上修建一横一竖两条甬道，场地其余部分种植草坪，已知横、竖甬道的宽度之比为 $ 2:1 $，设竖甬道的宽度为 $ x \mathrm{ m} $，草坪面积为 $ y \mathrm{ m}^2 $。
(1) 请直接写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；（不必写出取值范围）
(2) 若草坪的面积为 $ 120 \mathrm{ m}^2 $，请求出竖甬道的宽度。
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(1) 请直接写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；（不必写出取值范围）
(2) 若草坪的面积为 $ 120 \mathrm{ m}^2 $，请求出竖甬道的宽度。
]答案
7. (1) 设竖甬道的宽度为 $ x $ m，草坪面积为 $ y $ $ m^{2} $，则横甬道的宽度为 $ 2x $ m，剩余部分可合成长 $ (16 - x) $ m，宽 $ (10 - 2x) $ m 的矩形，依题意得： $ y = (16 - x)(10 - 2x) = 2x^{2} - 42x + 160 $.
(2) 依题意得： $ 2x^{2} - 42x + 160 = 120 $，整理得： $ x^{2} - 21x + 20 = 0 $，解得： $ x_{1} = 1 $， $ x_{2} = 20 $. 当 $ x = 1 $ 时， $ 10 - 2x = 10 - 2 × 1 = 8 ＞ 0 $，符合题意；当 $ x = 20 $ 时， $ 10 - 2x = 10 - 2 × 20 = -30 ＜ 0 $，不符合题意，舍去. 答：竖甬道的宽度为 1 m.
(2) 依题意得： $ 2x^{2} - 42x + 160 = 120 $，整理得： $ x^{2} - 21x + 20 = 0 $，解得： $ x_{1} = 1 $， $ x_{2} = 20 $. 当 $ x = 1 $ 时， $ 10 - 2x = 10 - 2 × 1 = 8 ＞ 0 $，符合题意；当 $ x = 20 $ 时， $ 10 - 2x = 10 - 2 × 20 = -30 ＜ 0 $，不符合题意，舍去. 答：竖甬道的宽度为 1 m.
8. 李大爷用 $ 30 $ 米的栅栏围成一个菜园，围成的菜地是如图所示的矩形 $ ABCD $。设边 $ AD $ 的长为 $ x $（单位：米），矩形 $ ABCD $ 的面积为 $ S $（单位：平方米）。
(1) 求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数解析式（不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围）；
(2) 若矩形 $ ABCD $ 的面积为 $ 54 $ 平方米，且 $ AB ＜ AD $，请求出此时 $ AD $ 的长。
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(1) 求 $ S $ 与 $ x $ 之间的函数解析式（不要求写出自变量 $ x $ 的取值范围）；
(2) 若矩形 $ ABCD $ 的面积为 $ 54 $ 平方米，且 $ AB ＜ AD $，请求出此时 $ AD $ 的长。
]答案
8. (1) $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是矩形， $ \therefore AD = BC $， $ AB = CD $， $ \therefore AD = BC = x $， $ AB = CD = \frac{30}{2} - x = 15 - x $， $ \therefore S = AD · AB = x(15 - x) = -x^{2} + 15x $；
(2) 由题意可得， $ x(15 - x) = 54 $，解得 $ x_{1} = 6 $， $ x_{2} = 9 $，当 $ x = 6 $ 时， $ AB = 15 - 6 = 9 ＞ AD $，不符合题意，舍去， $ \therefore AD $ 的长为 9 米.
(2) 由题意可得， $ x(15 - x) = 54 $，解得 $ x_{1} = 6 $， $ x_{2} = 9 $，当 $ x = 6 $ 时， $ AB = 15 - 6 = 9 ＞ AD $，不符合题意，舍去， $ \therefore AD $ 的长为 9 米.
