登录
9. 如图，等边三角形 $ ABC $ 边长为 $ 20 \mathrm{ cm} $，点 $ D $ 在边 $ AB $ 上(不与 $ A,B $ 重合)，过点 $ D $ 作 $ DE // BC $ 交 $ AC $ 于点 $ E $。当 $ BD = x \mathrm{ cm} $ 时，$ △ ADE $ 的周长比 $ △ ABC $ 的周长减少了 $ y_1 \mathrm{ cm} $，面积减少了 $ y_2 \mathrm{ cm}^2 $，当 $ x $ 在一定范围内变化时，$ y_1 $ 和 $ y_2 $ 都随 $ x $ 的变化而变化，则 $ y_1 $ 与 $ x $，$ y_2 $ 与 $ x $ 满足的函数关系分别是(
A.反比例函数关系，一次函数关系
B.反比例函数关系，二次函数关系
C.一次函数关系，一次函数关系
D.一次函数关系，二次函数关系
D
)A.反比例函数关系，一次函数关系
B.反比例函数关系，二次函数关系
C.一次函数关系，一次函数关系
D.一次函数关系，二次函数关系
答案
9. D
解析
证明：
∵△ABC是等边三角形，边长为20cm，
∴△ABC周长为60cm，∠A=∠B=∠C=60°。
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，
∴△ADE是等边三角形。
求$y_1$与$x$的关系：
∵BD=x cm，AB=20cm，
∴AD=AB-BD=(20-x)cm，
∴△ADE的边长为(20-x)cm，周长为3(20-x)cm。
$y_1=△ABC周长-△ADE周长=60-3(20-x)=3x$，
∴$y_1=3x$，是一次函数关系。
求$y_2$与$x$的关系：
等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），
$S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×20^2=100\sqrt{3}\,cm^2$，
$S_{△ADE}=\frac{\sqrt{3}}{4}(20-x)^2$，
$y_2=S_{△ABC}-S_{△ADE}=100\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}(20-x)^2$
化简得：$y_2=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+10\sqrt{3}x$，是二次函数关系。
综上，$y_1$是一次函数关系，$y_2$是二次函数关系。
答案：D
∵△ABC是等边三角形，边长为20cm，
∴△ABC周长为60cm，∠A=∠B=∠C=60°。
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B=60°，∠AED=∠C=60°，
∴△ADE是等边三角形。
求$y_1$与$x$的关系：
∵BD=x cm，AB=20cm，
∴AD=AB-BD=(20-x)cm，
∴△ADE的边长为(20-x)cm，周长为3(20-x)cm。
$y_1=△ABC周长-△ADE周长=60-3(20-x)=3x$，
∴$y_1=3x$，是一次函数关系。
求$y_2$与$x$的关系：
等边三角形面积公式为$S=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2$（$a$为边长），
$S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}×20^2=100\sqrt{3}\,cm^2$，
$S_{△ADE}=\frac{\sqrt{3}}{4}(20-x)^2$，
$y_2=S_{△ABC}-S_{△ADE}=100\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}(20-x)^2$
化简得：$y_2=-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2+10\sqrt{3}x$，是二次函数关系。
综上，$y_1$是一次函数关系，$y_2$是二次函数关系。
答案：D
10. 某店销售一种小工艺品。该工艺品每件进价 $ 12 $ 元，售价为 $ 20 $ 元。每周可售出 $ 40 $ 件。经调查发现，若把每件工艺品的售价提高 $ 1 $ 元，就会少售出 $ 2 $ 件。设每件工艺品售价提高 $ x $ 元，每周从销售这种工艺品中获得的利润为 $ y $ 元。
(1) 填空：每件工艺品售价提高 $ x $ 元后的利润为
(2) 若 $ y = 384 $，则每件工艺品的售价应确定为多少元？
(1) 填空：每件工艺品售价提高 $ x $ 元后的利润为
$ 8 + x $
元，每周可售出工艺品$ 40 - 2x $
件，$ y $ 关于 $ x $ 的函数关系式为$ y = -2x^{2} + 24x + 320 $
；(2) 若 $ y = 384 $，则每件工艺品的售价应确定为多少元？
答案
10. (1) $ 8 + x $ $ 40 - 2x $ $ y = -2x^{2} + 24x + 320 $
(2) $ \because y = 384 $， $ \therefore 384 = -2x^{2} + 24x + 320 $，整理得出 $ x^{2} - 12x + 32 = 0 $， $ (x - 4)(x - 8) = 0 $，解得： $ x_{1} = 4 $， $ x_{2} = 8 $， $ 4 + 20 = 24 $， $ 8 + 20 = 28 $，答：每件工艺品的售价应确定为 24 元或 28 元.
(2) $ \because y = 384 $， $ \therefore 384 = -2x^{2} + 24x + 320 $，整理得出 $ x^{2} - 12x + 32 = 0 $， $ (x - 4)(x - 8) = 0 $，解得： $ x_{1} = 4 $， $ x_{2} = 8 $， $ 4 + 20 = 24 $， $ 8 + 20 = 28 $，答：每件工艺品的售价应确定为 24 元或 28 元.
11. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AD // BC $，$ ∠ BAD = 90^{\circ} $，$ CE ⊥ AD $ 于点 $ E $，$ AD = 8 \mathrm{ cm} $，$ BC = 4 \mathrm{ cm} $，$ AB = 5 \mathrm{ cm} $。从初始时刻开始，动点 $ P,Q $ 分别从点 $ A,B $ 同时出发，运动速度均为 $ 1 \mathrm{ cm/s} $，动点 $ P $ 沿 $ A - B - C - E $ 的方向运动，到点 $ E $ 停止；动点 $ Q $ 沿 $ B - C - E - D $ 的方向运动，到点 $ D $ 停止，设运动时间为 $ x \mathrm{ s} $，$ △ PAQ $ 的面积为 $ y \mathrm{ cm}^2 $。(这里规定：线段是面积为 $ 0 $ 的三角形)
解答下列问题：
(1) 当 $ x = 2 $ 时，$ y = $
(2) 当 $ 5 ≤ x ≤ 14 $ 时，求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(3) 当动点 $ P $ 在线段 $ BC $ 上运动时，求出 $ y = \dfrac{4}{15}S_{\mathrm{四边形}ABCD} $ 时 $ x $ 的值。
]
解答下列问题：
(1) 当 $ x = 2 $ 时，$ y = $
2
；当 $ x = \dfrac{9}{2} $ 时，$ y = $9
；(2) 当 $ 5 ≤ x ≤ 14 $ 时，求 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数关系式；
(3) 当动点 $ P $ 在线段 $ BC $ 上运动时，求出 $ y = \dfrac{4}{15}S_{\mathrm{四边形}ABCD} $ 时 $ x $ 的值。
]答案
11. (1) 2 9
(2) 当 $ 5 ≤ x ≤ 9 $ 时（如图 1）， $ y = S_{四边形ABCQ} - S_{△ ABP} - S_{△ PCQ} = \frac{1}{2}(5 + x - 4) × 4 - \frac{1}{2} × 5(x - 5) - \frac{1}{2}(9 - x)(x - 4) $， $ \therefore y = \frac{1}{2}x^{2} - 7x + \frac{65}{2} $；当 $ 9 ＜ x ≤ 13 $ 时（如图 2）， $ y = \frac{1}{2}(x - 9 + 4)(14 - x) $， $ \therefore y = -\frac{1}{2}x^{2} + \frac{19}{2}x - 35 $；当 $ 13 ＜ x ≤ 14 $ 时（如图 3）， $ y = \frac{1}{2} × 8(14 - x) $， $ \therefore y = -4x + 56 $；
(3) 当动点 $ P $ 在线段 $ BC $ 上运动时， $ \because y = \frac{4}{15}S_{四边形ABCD} = \frac{4}{15} × \frac{1}{2}(4 + 8) × 5 = 8 $， $ \therefore 8 = \frac{1}{2}x^{2} - 7x + \frac{65}{2} $，即 $ x^{2} - 14x + 49 = 0 $，解得： $ x_{1} = x_{2} = 7 $. $ \therefore $ 当 $ x = 7 $ 时， $ y = \frac{4}{15}S_{四边形ABCD} $.
