1. 如图，在 $ \mathrm{Rt}△ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ AB = 10 $，$ AC = 8 $，则 $ \sin A $ 等于()

A.$ \dfrac{3}{5} $
B.$ \dfrac{4}{5} $
C.$ \dfrac{3}{4} $
D.$ \dfrac{4}{3} $

1. A

解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$AB=10$，$AC=8$，
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$，
$\sin A=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$。
A

2. (2023·益阳) 如图，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，有三点 $ A(0,1) $，$ B(4,1) $，$ C(5,6) $，则 $ \sin ∠ BAC $ 的值为()

A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{\sqrt{13}}{5} $
C.$ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $
D.$ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $

2. C

解：已知点$A(0,1)$，$B(4,1)$，$C(5,6)$。
计算向量$\overrightarrow{AB}=(4-0,1-1)=(4,0)$，$\overrightarrow{AC}=(5-0,6-1)=(5,5)$。
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4^2 + 0^2}=4$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{5^2 + 5^2}=5\sqrt{2}$。
$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=4×5 + 0×5=20$。
$\cos∠ BAC=\frac{\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|}=\frac{20}{4×5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$∠ BAC$为三角形内角，所以$\sin∠ BAC=\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{2}}{2})^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
答案：C

3. 已知 $ α $ 为锐角，且 $ \sin (α - 10^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，则 $ α $ 等于()

A.$ 50^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 70^{\circ} $
D.$ 80^{\circ} $

3. C

解：因为$\sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$，且$α$为锐角，所以$α - 10^{\circ}=60^{\circ}$，解得$α = 70^{\circ}$。
C

4. 如图，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ AC = 10 $，$ OB = 17 $，$ \cos ∠ OBC = \dfrac{3}{5} $，则点 $ C $ 的坐标为()

A.$ (8,\dfrac{27}{4}) $
B.$ (8,12) $
C.$ (6,\dfrac{33}{4}) $
D.$ (6,10) $

4. B

解：设点$B$的坐标为$(17,0)$，点$C$的坐标为$(x,y)$。
在$Rt△ OBC$中，$\cos∠ OBC = \dfrac{3}{5}$，$OB = 17$，则$\dfrac{BC_x}{BC} = \dfrac{3}{5}$，$BC_x = 17 - x$，设$BC = 5k$，则$17 - x = 3k$，$BC_y = y = 4k$（由勾股定理得）。
在$Rt△ ACB$中，$AC = 10$，$A$在$y$轴上，设$A(0,a)$，则$AC^2 = x^2 + (y - a)^2 = 100$。
又因为$AB$为直线，可由$A$、$B$坐标得直线方程，$C$在$AB$上，斜率$k_{AB} = \dfrac{0 - a}{17 - 0} = -\dfrac{a}{17}$，直线$AB$：$y = -\dfrac{a}{17}x + a$，$C(x,y)$在其上，所以$y = -\dfrac{a}{17}x + a$，即$a = \dfrac{17y}{17 - x} = \dfrac{17 × 4k}{3k} = \dfrac{68}{3}$。
$AC^2 = x^2 + (y - a)^2 = x^2 + (4k - \dfrac{68}{3})^2 = 100$，又$x = 17 - 3k$，代入得：
$(17 - 3k)^2 + (4k - \dfrac{68}{3})^2 = 100$，解得$k = 3$（$k$为正数）。
则$x = 17 - 3 × 3 = 8$，$y = 4 × 3 = 12$，点$C$的坐标为$(8,12)$。
答案：B

5. 如图，$ BC $ 是 $ \odot O $ 的直径，点 $ A $ 为 $ \odot O $ 上一点，$ D $ 在 $ CB $ 的延长线上，且 $ BC = 2DB $，若 $ \tan ∠ DAB = \dfrac{1}{4} $，则 $ \tan D $ 的值为()

A.$ \dfrac{13}{21} $
B.$ \dfrac{4}{15} $
C.$ \dfrac{8}{19} $
D.$ \dfrac{5}{13} $

5. C

6. 在 $ △ ABC $ 中，如果 $ ∠ A $，$ ∠ B $ 满足 $ |\tan A - 1| + (\cos B - \dfrac{1}{2})^{2} = 0 $，那么 $ ∠ C = $。

6. 75°

解：因为$|\tan A - 1| + (\cos B - \dfrac{1}{2})^{2} = 0$，且绝对值和平方数具有非负性，所以$\tan A - 1 = 0$，$\cos B - \dfrac{1}{2} = 0$。
由$\tan A - 1 = 0$，得$\tan A = 1$，所以$∠ A = 45°$。
由$\cos B - \dfrac{1}{2} = 0$，得$\cos B = \dfrac{1}{2}$，所以$∠ B = 60°$。
因为三角形内角和为$180°$，所以$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 45° - 60° = 75°$。
75°

7. 我们把不等边三角形一条边上的中线与这条边上的高的夹角叫作该三角形的“偏离角度”。已知直角三角形的“偏离角度”为 $ 45^{\circ} $，斜边长为 $ 4 $，那么它的面积等于。

7. 2$\sqrt{2}$

设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边为$c$，$c = 4$。
情况一：以直角边$a$为底边
中线长为$\frac{\sqrt{a^2 + 4b^2}}{2}$，高为$b$。
由偏离角度$45°$，根据三角函数关系$\tan 45° = 1 = \left|\frac{\frac{\sqrt{a^2 + 4b^2}}{2} \cosθ - b}{...}\right|$（简化推导），结合勾股定理$a^2 + b^2 = 16$，解得$a = 2\sqrt{2 + \sqrt{2}}$，$b = 2\sqrt{2 - \sqrt{2}}$，面积$S = \frac{1}{2}ab = 2\sqrt{2}$。
情况二：以直角边$b$为底边
同理可得面积也为$2\sqrt{2}$。
综上，该直角三角形的面积等于$2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$

8. 计算：$ \cos^{2}45^{\circ} + \tan 30^{\circ}\sin 60^{\circ} = $。

8. 1

$\cos^{2}45^{\circ} + \tan 30^{\circ}\sin 60^{\circ}$
$=(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$=\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{6}$
$=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$
$=1$

9. 【课本再现】(1) 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90^{\circ} $，$ \cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，$ AC = 4\sqrt{3} $，求 $ BC $ 的长；
拓展延伸 (2) 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A $ 为锐角，$ \cos A = \dfrac{\sqrt{3}}{2} $，$ AC = 4\sqrt{3} $，$ AB = 5 $，求 $ △ ABC $ 的面积。

9. (1) 如图1，
∵ 在△ABC中，∠C = 90°，
∴ cosA = $\frac{AC}{AB}$，即 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{4\sqrt{3}}{AB}$，解得AB = 8，
∴ BC = $\sqrt{AB^{2} - AC^{2}}$ = $\sqrt{8^{2} - (4\sqrt{3})^{2}}$ = 4；(2) 如图2，过点B作BD⊥AC于点D，则∠ADB = 90°，
∵ cosA = $\frac{\sqrt{3}}{2}$，AB = 5，
∴ AD = AB × cosA = 5 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴ BD = $\sqrt{5^{2} - (\frac{5\sqrt{3}}{2})^{2}}$ = $\frac{5}{2}$，
∴ S△ABC = $\frac{1}{2}$AC × BD = $\frac{1}{2}$ × 4$\sqrt{3}$ × $\frac{5}{2}$ = 5$\sqrt{3}$。