例1 如图7-36,小岛A在港口P的南偏西$45°$方向,距离港口81 n mile处.甲船从A出发,沿AP方向以9 n mile/h的速度驶向港口,乙船从港口P出发,沿南偏东$60°$方向,以18 n mile/h的速度驶离港口,现两船同时出发.
(1)出发几小时后两船与港口P的距离相等?
(2)出发几小时后乙船在甲船的正东方向(精确到0.1 h.参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,
$\sqrt{3}\approx1.73$)?
解 (1)设出发$x$ h后两船与港口P的距离相等.
根据题意,得$81-9x=18x$.
解得$x=3$.
$\therefore$ 出发3 h后两船与港口P的距离相等.
(2)如图7-36,设出发$x$ h后乙船在甲船的正东方向,此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处.连接CD,过点P作$PE⊥ CD$,垂足为E,点E在点P的正南方向.
在$\mathrm{Rt}△ CEP$中,$∠ CPE=45°$,
$\therefore PE=PC·\cos45°$.
在$\mathrm{Rt}△ PED$中,$∠ EPD=60°$,
$\therefore PE=PD·\cos60°$.
$\therefore (81-9x)·\cos45°=18x·\cos60°$.
解得$x\approx3.7$.
$\therefore$ 出发约3.7 h后乙船在甲船的正东方向.
(1)出发几小时后两船与港口P的距离相等?
(2)出发几小时后乙船在甲船的正东方向(精确到0.1 h.参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,
$\sqrt{3}\approx1.73$)?
解 (1)设出发$x$ h后两船与港口P的距离相等.
根据题意,得$81-9x=18x$.
解得$x=3$.
$\therefore$ 出发3 h后两船与港口P的距离相等.
(2)如图7-36,设出发$x$ h后乙船在甲船的正东方向,此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处.连接CD,过点P作$PE⊥ CD$,垂足为E,点E在点P的正南方向.
在$\mathrm{Rt}△ CEP$中,$∠ CPE=45°$,
$\therefore PE=PC·\cos45°$.
在$\mathrm{Rt}△ PED$中,$∠ EPD=60°$,
$\therefore PE=PD·\cos60°$.
$\therefore (81-9x)·\cos45°=18x·\cos60°$.
解得$x\approx3.7$.
$\therefore$ 出发约3.7 h后乙船在甲船的正东方向.
答案
解：
(1)设出发$x$ h后两船与港口P的距离相等。
根据题意，得$81-9x=18x$，
解得$x=3$。
答：出发3 h后两船与港口P的距离相等。
(2)设出发$x$ h后乙船在甲船的正东方向，此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处。连接CD，过点P作$PE⊥ CD$，垂足为E，点E在点P的正南方向。
在$\mathrm{Rt}△ CEP$中，$∠ CPE=45°$，
$\therefore PE=PC·\cos45°$。
在$\mathrm{Rt}△ PED$中，$∠ EPD=60°$，
$\therefore PE=PD·\cos60°$。
$\therefore (81-9x)·\frac{\sqrt{2}}{2}=18x·\frac{1}{2}$，
代入$\sqrt{2}\approx1.41$，解得$x\approx3.7$。
答：出发约3.7 h后乙船在甲船的正东方向。
(1)设出发$x$ h后两船与港口P的距离相等。
根据题意，得$81-9x=18x$，
解得$x=3$。
答：出发3 h后两船与港口P的距离相等。
(2)设出发$x$ h后乙船在甲船的正东方向，此时甲、乙两船的位置分别在点C、D处。连接CD，过点P作$PE⊥ CD$，垂足为E，点E在点P的正南方向。
在$\mathrm{Rt}△ CEP$中，$∠ CPE=45°$，
$\therefore PE=PC·\cos45°$。
在$\mathrm{Rt}△ PED$中，$∠ EPD=60°$，
$\therefore PE=PD·\cos60°$。
$\therefore (81-9x)·\frac{\sqrt{2}}{2}=18x·\frac{1}{2}$，
代入$\sqrt{2}\approx1.41$，解得$x\approx3.7$。
答：出发约3.7 h后乙船在甲船的正东方向。
例2 河的对岸有一电线杆CD,从点A测得电线杆顶端的仰角为$18°$,前进30 m,到B处测得电线杆顶端D的仰角为$36°$(图7-37).求电线杆的高度(精确到0.1 m).
解 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,
$\because \tan∠ DBC=\dfrac{CD}{BC}$,
$\therefore BC=\dfrac{CD}{\tan∠ DBC}=\dfrac{CD}{\tan36°}$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,
$\because \tan∠ DAC=\dfrac{CD}{AC}$,
$\therefore AC=\dfrac{CD}{\tan∠ DAC}=\dfrac{CD}{\tan18°}$.
又$\because AB=AC-BC=30$,
$\therefore \dfrac{CD}{\tan18°}-\dfrac{CD}{\tan36°}=30$.
$\therefore CD=\dfrac{30\tan18°\tan36°}{\tan36°-\tan18°}=\dfrac{30×0.324\ 9×0.726\ 5}{0.726\ 5-0.324\ 9}\approx17.6$,
即电线杆的高度约为17.6 m.
说明 本题在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BCD$中都只有一个已知条件,但CD是两个直角三角形的公共边,因为$AB=AC-BC$为已知,所以可通过BC、AC和CD列方程来求解.
解 在$\mathrm{Rt}△ BCD$中,
$\because \tan∠ DBC=\dfrac{CD}{BC}$,
$\therefore BC=\dfrac{CD}{\tan∠ DBC}=\dfrac{CD}{\tan36°}$.
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,
$\because \tan∠ DAC=\dfrac{CD}{AC}$,
$\therefore AC=\dfrac{CD}{\tan∠ DAC}=\dfrac{CD}{\tan18°}$.
又$\because AB=AC-BC=30$,
$\therefore \dfrac{CD}{\tan18°}-\dfrac{CD}{\tan36°}=30$.
$\therefore CD=\dfrac{30\tan18°\tan36°}{\tan36°-\tan18°}=\dfrac{30×0.324\ 9×0.726\ 5}{0.726\ 5-0.324\ 9}\approx17.6$,
即电线杆的高度约为17.6 m.
说明 本题在$\mathrm{Rt}△ ACD$和$\mathrm{Rt}△ BCD$中都只有一个已知条件,但CD是两个直角三角形的公共边,因为$AB=AC-BC$为已知,所以可通过BC、AC和CD列方程来求解.
答案
解：在$\mathrm{Rt}△BCD$中，
$\because \tan∠ DBC=\dfrac{CD}{BC}$，
$\therefore BC=\dfrac{CD}{\tan∠ DBC}=\dfrac{CD}{\tan36°}$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，
$\because \tan∠ DAC=\dfrac{CD}{AC}$，
$\therefore AC=\dfrac{CD}{\tan∠ DAC}=\dfrac{CD}{\tan18°}$。
又$\because AB=AC-BC=30$，
$\therefore \dfrac{CD}{\tan18°}-\dfrac{CD}{\tan36°}=30$，
$\therefore CD=\dfrac{30\tan18°\tan36°}{\tan36°-\tan18°}$。
代入$\tan18°\approx0.3249$，$\tan36°\approx0.7265$，
得$CD=\dfrac{30×0.3249×0.7265}{0.7265-0.3249}\approx17.6$。
答：电线杆的高度约为17.6 m。
$\because \tan∠ DBC=\dfrac{CD}{BC}$，
$\therefore BC=\dfrac{CD}{\tan∠ DBC}=\dfrac{CD}{\tan36°}$。
在$\mathrm{Rt}△ACD$中，
$\because \tan∠ DAC=\dfrac{CD}{AC}$，
$\therefore AC=\dfrac{CD}{\tan∠ DAC}=\dfrac{CD}{\tan18°}$。
又$\because AB=AC-BC=30$，
$\therefore \dfrac{CD}{\tan18°}-\dfrac{CD}{\tan36°}=30$，
$\therefore CD=\dfrac{30\tan18°\tan36°}{\tan36°-\tan18°}$。
代入$\tan18°\approx0.3249$，$\tan36°\approx0.7265$，
得$CD=\dfrac{30×0.3249×0.7265}{0.7265-0.3249}\approx17.6$。
答：电线杆的高度约为17.6 m。
