一、选择题
1. 下列方程有实数根的是().
A.$\sqrt{2x - 1} = -1$
B.$|x + 1| + 2 = 0$
C.$\frac{1}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$
D.$x^{2} = 2\sqrt{2}x - 3$

1. C

【分析】
要判断方程是否有实数根，需根据不同方程的特性逐一分析：
1. 含算术平方根的方程：算术平方根结果为非负数，若等号右边为负数，则无实数根；
2. 含绝对值的方程：绝对值结果为非负数，若变形后绝对值等于负数，则无实数根；
3. 分式方程：先去分母化为整式方程，再检验所得解是否使分母为0，若解不使分母为0，则方程有实数根；
4. 一元二次方程：通过判别式$\Delta=b^2-4ac$判断，$\Delta≥0$时有实数根，$\Delta＜0$时无实数根。
接下来对每个选项逐一验证：
选项A中算术平方根不可能为负，无实数根；
选项B中绝对值加正数不可能为0，无实数根；
选项C去分母后得到有效解，有实数根；
选项D整理为一元二次方程后判别式小于0，无实数根。
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：由于算术平方根具有非负性，$\sqrt{2x - 1} ≥ 0$，而方程右边为$-1＜0$，等式无法成立，故该方程无实数根；
选项B：绝对值具有非负性，$|x + 1| ≥ 0$，则$|x + 1| + 2 ≥ 2$，不可能等于0，故该方程无实数根；
选项C：方程$\frac{1}{x + 1} = \frac{x}{x + 1}$，分母不为0即$x ≠ -1$，两边同乘$(x + 1)$得$1 = x$，即$x=1$。将$x=1$代入分母$x+1=2≠0$，是方程的有效解，故该方程有实数根；
选项D：将方程整理为标准一元二次方程：$x^2 - 2\sqrt{2}x + 3 = 0$，计算判别式$\Delta = (-2\sqrt{2})^2 - 4×1×3 = 8 - 12 = -4 ＜ 0$，根据判别式性质，$\Delta＜0$时方程无实数根，故该方程无实数根。
综上，有实数根的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
非负性应用、分式方程求解、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查不同类型方程实数根的判断，需结合算术平方根、绝对值的非负性，分式方程的解的检验，以及一元二次方程根的判别式综合分析，需熟练掌握各类方程的基本性质。
【难度系数】
0.6

2. 关于$x$的方程$2mx^{2} - 8x = x^{2} - 6$没有实数根，那么整数$m$的最小值为().

A.1
B.2
C.3
D.4

2. B

将方程整理为一般式：$(2m - 1)x^2 - 8x + 6 = 0$。
当$2m - 1 = 0$，即$m = \frac{1}{2}$时，方程为$-8x + 6 = 0$，有实数根$x = \frac{3}{4}$，不符合题意。
当$2m - 1 ≠ 0$，即$m ≠ \frac{1}{2}$时，方程为一元二次方程。其判别式$\Delta = (-8)^2 - 4(2m - 1) × 6 = 64 - 24(2m - 1) = 88 - 48m$。
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即$88 - 48m ＜ 0$，解得$m ＞ \frac{11}{6} \approx 1.83$。
又因为$m$为整数，所以$m$的最小值为$2$。
B

3. 解关于$x$的方程$(1 - \sqrt{2})x^{2} + mx - (\sqrt{2} + 1) = 0$时，得到以下四个结论，其中正确的是().

A.$m$为任意数时，方程总有两个不相等的实数根
B.$m$为任意数时，方程无实数根
C.只有当$m = 2$时，方程才有两个相等的实数根
D.当$m = \pm 2$时，方程有两个相等的实数根

3. D

【分析】
要判断关于$x$的方程的根的情况，首先确定该方程是一元二次方程（二次项系数$1-\sqrt{2}≠0$），需利用一元二次方程根的判别式$\Delta=b^2-4ac$分析。步骤如下：
1. 明确方程中$a$、$b$、$c$的值：$a=1-\sqrt{2}$，$b=m$，$c=-(\sqrt{2}+1)$；
2. 计算判别式$\Delta$，利用平方差公式简化计算$(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})$的结果，进而得到$\Delta$的表达式；
3. 根据$\Delta$的取值（大于0、等于0、小于0）对应方程根的不同情况，逐一分析四个选项的正误。
【解析】
∵ 方程的二次项系数$1-\sqrt{2}≠0$，
∴ 该方程是一元二次方程。
计算根的判别式：
$\begin{aligned}\Delta&=m^2 - 4(1-\sqrt{2})(-(\sqrt{2}+1))\\&=m^2 - 4×[-(1-\sqrt{2})(1+\sqrt{2})]\\&=m^2 - 4×[-(1^2 - (\sqrt{2})^2)]\\&=m^2 - 4×[-(1-2)]\\&=m^2 - 4×1\\&=m^2 - 4\end{aligned}$
根据判别式与根的关系：
当$\Delta＞0$时，$m^2-4＞0$，即$|m|＞2$，方程有两个不相等的实数根；
当$\Delta=0$时，$m^2-4=0$，即$m=\pm2$，方程有两个相等的实数根；
当$\Delta＜0$时，$m^2-4＜0$，即$|m|＜2$，方程无实数根。
逐一分析选项：
A选项：当$|m|＜2$时，$\Delta＜0$，方程无实数根，故A错误；
B选项：当$|m|＞2$时，$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根，故B错误；
C选项：当$m=-2$时，$\Delta=(-2)^2-4=0$，方程也有两个相等的实数根，故C错误；
D选项：当$m=\pm2$时，$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式、平方差公式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，关键是准确计算判别式，同时要注意根据判别式的不同取值分类讨论方程根的情况，避免忽略$m$的不同取值对应的根的差异。
【难度系数】
0.6

二、填空题
4. 已知关于$y$的方程$y^{2} + 3y - m = 0$的根的判别式的值为$13$，则$m =$.

4. 1

对于方程$y^{2} + 3y - m = 0$，其中$a = 1$，$b = 3$，$c=-m$。
根的判别式$\Delta = b^{2}-4ac$，已知$\Delta = 13$，则：
$\begin{aligned}3^{2}-4×1×(-m)&=13\\9 + 4m&=13\\4m&=13 - 9\\4m&=4\\m&=1\end{aligned}$
1

5. 若关于$x$的方程$(m + 3)x^{2} + (2m + 5)x + m = 0$有两个相等的实数根，则$m =$，此时方程的根为.

5. $-\dfrac{25}{8}$ $x_{1}=x_{2}=-5$

【分析】
要解决这个问题，需按以下思路进行：
1. 方程有两个相等的实数根，说明它是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，先确定$m$的取值范围；
2. 根据一元二次方程根的判别式$\Delta=0$时方程有两个相等实数根的性质，列出关于$m$的方程并求解；
3. 将求得的$m$代入原方程，计算出方程的根。
【解析】
1. 确定方程为一元二次方程的条件：
因为方程有两个相等的实数根，所以该方程是一元二次方程，二次项系数不为0，即：
$ m + 3 ≠ 0 $，解得$ m ≠ -3 $。
2. 利用判别式计算$m$的值：
对于一元二次方程$ ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0) $，判别式$ \Delta = b^2 - 4ac $，当$ \Delta = 0 $时方程有两个相等的实数根。
在方程$ (m + 3)x^2 + (2m + 5)x + m = 0 $中，$ a = m + 3 $，$ b = 2m + 5 $，$ c = m $，则：
$ \Delta = (2m + 5)^2 - 4(m + 3)m $
展开并化简：
$ \Delta = 4m^2 + 20m + 25 - 4m^2 - 12m = 8m + 25 $
令$ \Delta = 0 $，即：
$ 8m + 25 = 0 $
解得$ m = -\dfrac{25}{8} $，该值满足$ m ≠ -3 $，符合条件。
3. 代入$m$的值求解方程的根：
将$ m = -\dfrac{25}{8} $代入原方程：
$ (-\dfrac{25}{8} + 3)x^2 + (2 × (-\dfrac{25}{8}) + 5)x + (-\dfrac{25}{8}) = 0 $
化简各项系数：
$ -\dfrac{1}{8}x^2 - \dfrac{5}{4}x - \dfrac{25}{8} = 0 $
两边同时乘以$-8$消去分母：
$ x^2 + 10x + 25 = 0 $
因式分解得：
$ (x + 5)^2 = 0 $
解得$ x_1 = x_2 = -5 $。
【答案】
$ -\dfrac{25}{8} $；$ x_{1}=x_{2}=-5 $
【知识点】
一元二次方程的判别式；解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题关键是注意“方程有两个相等实数根”隐含方程为一元二次方程的条件，即二次项系数不为0，避免遗漏该条件导致错误；计算过程需仔细严谨，保证运算准确。
【难度系数】
0.6

6. 已知关于$x$的方程$(k - 1)x^{2} + kx + 1 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是.

6. 一切实数

当$k - 1 = 0$，即$k = 1$时，方程为$x + 1 = 0$，解得$x = -1$，有实数根；
当$k - 1 ≠ 0$，即$k ≠ 1$时，方程为一元二次方程，判别式$\Delta = k^2 - 4(k - 1) = (k - 2)^2 ≥ 0$，恒有实数根。
综上，$k$的取值范围是一切实数。

三、解答题
7. 已知关于$x$的方程$x^{2} - 2(m + 1)x + m(m + 2) = 0$.
(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2) 若方程的一个根为$0$，求代数式$(2m - 1)^{2} + (3 + m)(3 - m) + 7m - 5$的值.

7. (1) 略 (2) 5 或 11

(1) 证明：$\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4 × 1 × m(m+2) = 4(m^2 + 2m + 1) - 4(m^2 + 2m) = 4m^2 + 8m + 4 - 4m^2 - 8m = 4 ＞ 0$，所以方程总有两个不相等的实数根。
(2) 把$x=0$代入方程得$0 - 0 + m(m + 2) = 0$，即$m(m + 2) = 0$，解得$m=0$或$m=-2$。
当$m=0$时，$(2m - 1)^2 + (3 + m)(3 - m) + 7m - 5 = (-1)^2 + (3 + 0)(3 - 0) + 0 - 5 = 1 + 9 - 5 = 5$；
当$m=-2$时，$(2m - 1)^2 + (3 + m)(3 - m) + 7m - 5 = (-5)^2 + (3 - 2)(3 + 2) + (-14) - 5 = 25 + 5 - 14 - 5 = 11$。
综上，代数式的值为5或11。