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1.从6,7,8,9四个数字中任意选取两个数字，则选取的两个数字之和为奇数的概率是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
C
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
1.C
解析
【分析】
要计算选取的两个数字之和为奇数的概率，需遵循概率计算的基本思路：首先计算所有等可能的选取结果总数，再计算满足“和为奇数”的结果数，最后用满足条件的结果数除以总结果数得到概率。首先回忆加法的奇偶性规律：奇数+偶数=奇数，因此要使两数之和为奇数，选取的两个数必须一个是奇数、一个是偶数。接下来先用列举法找出所有选两个数字的组合，再筛选出符合一奇一偶的组合即可求解。
【解析】
解：首先列出从6、7、8、9中任意选取两个数字的所有等可能结果（不考虑选取顺序）：
(6,7)、(6,8)、(6,9)、(7,8)、(7,9)、(8,9)，共6种结果，每种结果出现的可能性相等。
根据奇偶性加法规律：奇数+偶数=和为奇数，因此需要选取1个奇数、1个偶数。
上述组合中，和为奇数的组合有：(6,7)、(6,9)、(7,8)、(8,9)，共4种。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 奇偶性运算性质
3. 概率公式
【点评】
本题是概率的常规基础题，解题的核心是先利用奇偶运算性质缩小符合条件的结果范围，再通过列举法准确计数总结果和符合条件的结果，代入概率公式计算即可，注意计数时不要重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
要计算选取的两个数字之和为奇数的概率，需遵循概率计算的基本思路：首先计算所有等可能的选取结果总数，再计算满足“和为奇数”的结果数，最后用满足条件的结果数除以总结果数得到概率。首先回忆加法的奇偶性规律：奇数+偶数=奇数，因此要使两数之和为奇数，选取的两个数必须一个是奇数、一个是偶数。接下来先用列举法找出所有选两个数字的组合，再筛选出符合一奇一偶的组合即可求解。
【解析】
解：首先列出从6、7、8、9中任意选取两个数字的所有等可能结果（不考虑选取顺序）：
(6,7)、(6,8)、(6,9)、(7,8)、(7,9)、(8,9)，共6种结果，每种结果出现的可能性相等。
根据奇偶性加法规律：奇数+偶数=和为奇数，因此需要选取1个奇数、1个偶数。
上述组合中，和为奇数的组合有：(6,7)、(6,9)、(7,8)、(8,9)，共4种。
根据概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 列举法求概率
2. 奇偶性运算性质
3. 概率公式
【点评】
本题是概率的常规基础题，解题的核心是先利用奇偶运算性质缩小符合条件的结果范围，再通过列举法准确计数总结果和符合条件的结果，代入概率公式计算即可，注意计数时不要重复或遗漏。
【难度系数】
0.7
2. 在一个不透明的盒子里放有分别写有整式2，$π$，$x$，$x+1$的四张卡片，从中随机抽取两张，把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
A
）A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{6}$
答案
2.A
解析
【分析】
解题需分三步思考：第一步明确分式的判定标准：分母中含有字母的式子是分式，由此可知只有当分母为含字母的整式$x$或$x+1$时，才能组成分式；第二步统计所有等可能的结果：从4张卡片中随机抽2张分别作分子、分母，属于有序抽取，计算总共有多少种不同的情况；第三步统计能组成分式的结果数，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
首先计算所有等可能的结果数：从4张卡片中随机抽取2张分别作为分子和分母，第一张选分子有4种选择，第二张选分母有3种选择，总共有$4×3=12$种等可能的情况。
再统计能组成分式的结果数：根据分式的定义，分母需含有字母，因此分母只能是$x$或$x+1$：
若分母为$x$，分子可选择2、$π$、$x+1$，共3种符合条件的情况；
若分母为$x+1$，分子可选择2、$π$、$x$，共3种符合条件的情况。
因此能组成分式的结果共有$3+3=6$种。
根据概率公式，能组成分式的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
分式的定义，概率的计算
【点评】
本题融合了整式分类与概率计算的知识，易错点是容易忽略分子分母的顺序性，或记错分式的判定规则，解题时先确定判定条件再准确计数即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
解题需分三步思考：第一步明确分式的判定标准：分母中含有字母的式子是分式，由此可知只有当分母为含字母的整式$x$或$x+1$时，才能组成分式；第二步统计所有等可能的结果：从4张卡片中随机抽2张分别作分子、分母，属于有序抽取，计算总共有多少种不同的情况；第三步统计能组成分式的结果数，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
【解析】
首先计算所有等可能的结果数：从4张卡片中随机抽取2张分别作为分子和分母，第一张选分子有4种选择，第二张选分母有3种选择，总共有$4×3=12$种等可能的情况。
再统计能组成分式的结果数：根据分式的定义，分母需含有字母，因此分母只能是$x$或$x+1$：
若分母为$x$，分子可选择2、$π$、$x+1$，共3种符合条件的情况；
若分母为$x+1$，分子可选择2、$π$、$x$，共3种符合条件的情况。
因此能组成分式的结果共有$3+3=6$种。
根据概率公式，能组成分式的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
分式的定义，概率的计算
【点评】
本题融合了整式分类与概率计算的知识，易错点是容易忽略分子分母的顺序性，或记错分式的判定规则，解题时先确定判定条件再准确计数即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
3. 小明将四张正面分别标有数－3，－1，1，3的卡片(除数外都相同)置于暗箱内摇匀，从中随机抽取两张，则所抽卡片上的数至少有一个是方程$x^2 - 2x - 3 = 0$的解的概率是
$\frac{5}{6}$
。答案
3.$\frac{5}{6}$
解析
【分析】
解题时首先要完成两个核心准备：①先求解一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，得到它的两个根，明确四个数中哪些是方程的解；②计算从4张卡片中随机抽取2张的所有等可能结果数。为了简化计算，可以利用对立事件求解：“至少有一个是方程的解”的对立事件是“两张都不是方程的解”，先算对立事件的概率，再用1减去对立事件的概率即可得到所求概率，避免直接数符合条件的事件时出现漏算。
【解析】
步骤1：求解一元二次方程
对$x^2 - 2x - 3 = 0$因式分解得：
$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，即方程的解为$-1$和$3$。
步骤2：列举所有等可能结果
从标有$-3,-1,1,3$的4张卡片中随机抽2张，所有等可能的结果共6种，分别为：
$(-3,-1)、(-3,1)、(-3,3)、(-1,1)、(-1,3)、(1,3)$
步骤3：计算对立事件的结果数
“两张都不是方程的解”即抽取的两个数都不是$-1$或$3$，符合条件的数只有$-3$和$1$，对应仅1种结果：$(-3,1)$。
步骤4：计算概率
所求概率$P=1-P(\mathrm{两张都不是方程的解})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
一元二次方程求解、列举法求概率、概率公式
【点评】
本题是方程与概率的综合题型，既考查了一元二次方程的基础解法，也考查了概率计算中列举法的应用，利用对立事件计算概率可以有效简化过程，减少计数错误，是概率综合题的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先要完成两个核心准备：①先求解一元二次方程$x^2 - 2x - 3 = 0$，得到它的两个根，明确四个数中哪些是方程的解；②计算从4张卡片中随机抽取2张的所有等可能结果数。为了简化计算，可以利用对立事件求解：“至少有一个是方程的解”的对立事件是“两张都不是方程的解”，先算对立事件的概率，再用1减去对立事件的概率即可得到所求概率，避免直接数符合条件的事件时出现漏算。
【解析】
步骤1：求解一元二次方程
对$x^2 - 2x - 3 = 0$因式分解得：
$(x-3)(x+1)=0$
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，即方程的解为$-1$和$3$。
步骤2：列举所有等可能结果
从标有$-3,-1,1,3$的4张卡片中随机抽2张，所有等可能的结果共6种，分别为：
$(-3,-1)、(-3,1)、(-3,3)、(-1,1)、(-1,3)、(1,3)$
步骤3：计算对立事件的结果数
“两张都不是方程的解”即抽取的两个数都不是$-1$或$3$，符合条件的数只有$-3$和$1$，对应仅1种结果：$(-3,1)$。
步骤4：计算概率
所求概率$P=1-P(\mathrm{两张都不是方程的解})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$
【答案】
$\frac{5}{6}$
【知识点】
一元二次方程求解、列举法求概率、概率公式
【点评】
本题是方程与概率的综合题型，既考查了一元二次方程的基础解法，也考查了概率计算中列举法的应用，利用对立事件计算概率可以有效简化过程，减少计数错误，是概率综合题的常见考法。
【难度系数】
0.7
4.从－2，－1，1，2这四个数中任取一个作为a的值，再从余下的三个数中任取一个数作为b的值，则使关于x的不等式组$\begin{cases}x＞a, \\ x＜b\end{cases}$有整数解的概率是 ______ 。
答案
4.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题是概率与一元一次不等式组的综合题，解题思路如下：第一步，先计算从四个数中先后取a、b的所有等可能结果的总数量；第二步，明确不等式组$\begin{cases}x＞a \\ x＜b\end{cases}$有整数解的条件：首先需满足$b＞a$（否则不等式组无解），其次区间$(a,b)$内必须存在整数；第三步，枚举所有满足条件的$(a,b)$组合，最后根据概率公式计算结果即可。
【解析】
首先计算总情况数：从-2，-1，1，2四个数中任取一个作为a，再从余下三个数中任取一个作为b，共有$4 × 3 = 12$种等可能的结果。
接下来逐一筛选符合条件的结果：
1. 当$a=-2$时：
若$b=-1$，不等式组解集为$-2＜x＜-1$，无整数解，不符合；
若$b=1$，解集为$-2＜x＜1$，整数解有-1、0，符合要求；
若$b=2$，解集为$-2＜x＜2$，整数解有-1、0、1，符合要求；共2种符合。
2. 当$a=-1$时：
若$b=1$，解集为$-1＜x＜1$，整数解有0，符合要求；
若$b=2$，解集为$-1＜x＜2$，整数解有0、1，符合要求；共2种符合。
3. 当$a=1$时：仅可取$b=2$，解集为$1＜x＜2$，无整数解，不符合。
4. 当$a=2$时：不存在大于2的b，不等式组无解，不符合。
综上，满足不等式组有整数解的结果共有$2+2=4$种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{满足条件的情况数}{总情况数}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率的计算、一元一次不等式组的解集、不等式组的整数解
【点评】
本题将概率计算与不等式组的知识结合，解题的关键是准确把握不等式组有整数解的条件，枚举所有情况时要注意不重不漏，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
本题是概率与一元一次不等式组的综合题，解题思路如下：第一步，先计算从四个数中先后取a、b的所有等可能结果的总数量；第二步，明确不等式组$\begin{cases}x＞a \\ x＜b\end{cases}$有整数解的条件：首先需满足$b＞a$（否则不等式组无解），其次区间$(a,b)$内必须存在整数；第三步，枚举所有满足条件的$(a,b)$组合，最后根据概率公式计算结果即可。
【解析】
首先计算总情况数：从-2，-1，1，2四个数中任取一个作为a，再从余下三个数中任取一个作为b，共有$4 × 3 = 12$种等可能的结果。
接下来逐一筛选符合条件的结果：
1. 当$a=-2$时：
若$b=-1$，不等式组解集为$-2＜x＜-1$，无整数解，不符合；
若$b=1$，解集为$-2＜x＜1$，整数解有-1、0，符合要求；
若$b=2$，解集为$-2＜x＜2$，整数解有-1、0、1，符合要求；共2种符合。
2. 当$a=-1$时：
若$b=1$，解集为$-1＜x＜1$，整数解有0，符合要求；
若$b=2$，解集为$-1＜x＜2$，整数解有0、1，符合要求；共2种符合。
3. 当$a=1$时：仅可取$b=2$，解集为$1＜x＜2$，无整数解，不符合。
4. 当$a=2$时：不存在大于2的b，不等式组无解，不符合。
综上，满足不等式组有整数解的结果共有$2+2=4$种。
根据概率公式，所求概率$P=\frac{满足条件的情况数}{总情况数}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
概率的计算、一元一次不等式组的解集、不等式组的整数解
【点评】
本题将概率计算与不等式组的知识结合，解题的关键是准确把握不等式组有整数解的条件，枚举所有情况时要注意不重不漏，考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 已知变量 $ x,y $ 满足函数关系式 $ y=kx+5 $. 现有正面分别标有数 $ 3,-1,0,2 $ 的四张卡片，它们除数外完全相同. 把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，将这两张卡片上所标数的积作为 $ k $ 的值，则能使上述函数中 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大的概率为（
A.$ \dfrac{1}{6} $
B.$ \dfrac{1}{3} $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ \dfrac{5}{12} $
A
）A.$ \dfrac{1}{6} $
B.$ \dfrac{1}{3} $
C.$ \dfrac{1}{2} $
D.$ \dfrac{5}{12} $
答案
5.A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先回忆一次函数的增减性规律，确定k需要满足的条件：对于一次函数y=kx+b，当k＞0时，y的值随x值的增大而增大，因此我们需要两张卡片上数的乘积为正数；第二步，列举出从四张卡片中随机抽取两张的所有等可能结果，计算每一种结果的乘积；第三步，统计乘积为正数的结果数，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算最终概率。
【解析】
1. 确定k的取值要求：对于一次函数$y=kx+5$，若y随x的增大而增大，则$k＞0$，即抽取的两张卡片的数的乘积为正数。
2. 列举所有抽取两张卡片的等可能结果及对应乘积：
四张卡片上的数为3、-1、0、2，随机抽取2张，所有组合及乘积如下：
①3和-1，乘积为$3×(-1)=-3＜0$，不符合要求；
②3和0，乘积为$3×0=0$，不符合要求；
③3和2，乘积为$3×2=6＞0$，符合要求；
④-1和0，乘积为$(-1)×0=0$，不符合要求；
⑤-1和2，乘积为$(-1)×2=-2＜0$，不符合要求；
⑥0和2，乘积为$0×2=0$，不符合要求。
总共有6种等可能的结果，其中符合$k＞0$的结果有1种。
3. 计算概率：$P(\mathrm{y随x增大而增大})=\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；列举法求概率；有理数乘法运算
【点评】
本题是一次函数与概率的综合应用题，解题的关键是先根据一次函数的性质确定k的取值范围，再准确列举所有等可能的结果，注意k=0时函数为常函数，不满足y随x增大而增大的要求，列举抽取结果时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以分三步思考：第一步，先回忆一次函数的增减性规律，确定k需要满足的条件：对于一次函数y=kx+b，当k＞0时，y的值随x值的增大而增大，因此我们需要两张卡片上数的乘积为正数；第二步，列举出从四张卡片中随机抽取两张的所有等可能结果，计算每一种结果的乘积；第三步，统计乘积为正数的结果数，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算最终概率。
【解析】
1. 确定k的取值要求：对于一次函数$y=kx+5$，若y随x的增大而增大，则$k＞0$，即抽取的两张卡片的数的乘积为正数。
2. 列举所有抽取两张卡片的等可能结果及对应乘积：
四张卡片上的数为3、-1、0、2，随机抽取2张，所有组合及乘积如下：
①3和-1，乘积为$3×(-1)=-3＜0$，不符合要求；
②3和0，乘积为$3×0=0$，不符合要求；
③3和2，乘积为$3×2=6＞0$，符合要求；
④-1和0，乘积为$(-1)×0=0$，不符合要求；
⑤-1和2，乘积为$(-1)×2=-2＜0$，不符合要求；
⑥0和2，乘积为$0×2=0$，不符合要求。
总共有6种等可能的结果，其中符合$k＞0$的结果有1种。
3. 计算概率：$P(\mathrm{y随x增大而增大})=\frac{1}{6}$。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；列举法求概率；有理数乘法运算
【点评】
本题是一次函数与概率的综合应用题，解题的关键是先根据一次函数的性质确定k的取值范围，再准确列举所有等可能的结果，注意k=0时函数为常函数，不满足y随x增大而增大的要求，列举抽取结果时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.6
6. 如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1,2,3,4. 若连续自由转动转盘两次，指针指向的数字分别记作$a,b$,作为点$A$的横、纵坐标，则点$A(a,b)$在函数$y=2x$的图象上的概率为
$\frac{1}{8}$
。答案
6.$\frac{1}{8}$
解析
【分析】
本题是结合一次函数的概率求解问题，解题思路如下：首先明确连续转动两次转盘属于两步随机事件，先通过列表法或乘法原理得到所有等可能的结果总数；其次根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，找出满足b=2a的点的个数；最后利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算最终结果。
【解析】
连续自由转动转盘两次，所有等可能的$(a,b)$组合共有$4×4=16$种，分别为：
$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$、$(1,4)$、
$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$、$(2,4)$、
$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$、$(3,4)$、
$(4,1)$、$(4,2)$、$(4,3)$、$(4,4)$。
若点$A(a,b)$在函数$y=2x$的图象上，则需满足$b=2a$，代入验证可得符合条件的点为$(1,2)$、$(2,4)$，共2种。
根据概率公式可得：$P=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
概率公式，一次函数图象性质，两步事件概率求解
【点评】
本题是概率与一次函数的综合基础题，既考查了两步随机事件概率的计算方法，也考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意不要漏数或多算符合条件的点即可。
【难度系数】
0.7
本题是结合一次函数的概率求解问题，解题思路如下：首先明确连续转动两次转盘属于两步随机事件，先通过列表法或乘法原理得到所有等可能的结果总数；其次根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，找出满足b=2a的点的个数；最后利用概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数”计算最终结果。
【解析】
连续自由转动转盘两次，所有等可能的$(a,b)$组合共有$4×4=16$种，分别为：
$(1,1)$、$(1,2)$、$(1,3)$、$(1,4)$、
$(2,1)$、$(2,2)$、$(2,3)$、$(2,4)$、
$(3,1)$、$(3,2)$、$(3,3)$、$(3,4)$、
$(4,1)$、$(4,2)$、$(4,3)$、$(4,4)$。
若点$A(a,b)$在函数$y=2x$的图象上，则需满足$b=2a$，代入验证可得符合条件的点为$(1,2)$、$(2,4)$，共2种。
根据概率公式可得：$P=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}$。
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
概率公式，一次函数图象性质，两步事件概率求解
【点评】
本题是概率与一次函数的综合基础题，既考查了两步随机事件概率的计算方法，也考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意不要漏数或多算符合条件的点即可。
【难度系数】
0.7
7. 剪纸文化起源于人民的社会生活，蕴含了丰富的文化历史信息.现有四张正面印有剪纸图案的卡片如图所示，它们除图案外其他完全相同.把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的两张卡片正面图案都是中心对称图形的概率是（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{4}$
C
）A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{5}$
C.$\frac{1}{6}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
7.C
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，回忆中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180°后能与自身重合的图形，逐一判断4张卡片的图案是否为中心对称图形，确定符合要求的卡片数量；第二步，计算从4张卡片中随机抽取2张的所有等可能结果总数；第三步，找出抽取的2张都是中心对称图形的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
1. 判断中心对称图形：
① 第一张福字图案：旋转180°后与原图不重合，不是中心对称图形；
② 第二张双鱼图案：旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形；
③ 第三张花朵图案：旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形；
④ 第四张双喜图案：旋转180°后与原图不重合，不是中心对称图形；
因此4张卡片中共有2张是中心对称图形。
2. 计算总结果数：从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果共有$\mathrm{C}_4^2=6$种，分别为：(第一张,第二张)、(第一张,第三张)、(第一张,第四张)、(第二张,第三张)、(第二张,第四张)、(第三张,第四张)。
3. 计算符合条件的结果数：抽取的两张都是中心对称图形的结果只有(第二张,第三张)1种。
4. 计算概率：根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
中心对称图形识别、列举法求概率、概率公式
【点评】
本题结合传统剪纸文化考查数学知识，需要先准确识别中心对称图形，再正确计算概率，兼顾文化性与知识性，是典型的小综合基础题。
【难度系数】
0.6
解题可分三步思考：第一步，回忆中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180°后能与自身重合的图形，逐一判断4张卡片的图案是否为中心对称图形，确定符合要求的卡片数量；第二步，计算从4张卡片中随机抽取2张的所有等可能结果总数；第三步，找出抽取的2张都是中心对称图形的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
1. 判断中心对称图形：
① 第一张福字图案：旋转180°后与原图不重合，不是中心对称图形；
② 第二张双鱼图案：旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形；
③ 第三张花朵图案：旋转180°后与原图完全重合，是中心对称图形；
④ 第四张双喜图案：旋转180°后与原图不重合，不是中心对称图形；
因此4张卡片中共有2张是中心对称图形。
2. 计算总结果数：从4张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果共有$\mathrm{C}_4^2=6$种，分别为：(第一张,第二张)、(第一张,第三张)、(第一张,第四张)、(第二张,第三张)、(第二张,第四张)、(第三张,第四张)。
3. 计算符合条件的结果数：抽取的两张都是中心对称图形的结果只有(第二张,第三张)1种。
4. 计算概率：根据概率公式$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}$，得所求概率为$\frac{1}{6}$。
【答案】
C
【知识点】
中心对称图形识别、列举法求概率、概率公式
【点评】
本题结合传统剪纸文化考查数学知识，需要先准确识别中心对称图形，再正确计算概率，兼顾文化性与知识性，是典型的小综合基础题。
【难度系数】
0.6
8. (2024·东营)如图,四边形ABCD是平行四边形,从①$AC=BD$,②$AC⊥BD$,③$AB=BC$,这三个条件中任意选取两个,能使$□ ABCD$是正方形的概率为 (
A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{5}{6}$
A
)A.$\frac{2}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{5}{6}$
答案
8.A
解析
【分析】
解题分两步开展：第一步先列举出从3个条件中任选2个的所有等可能情况；第二步结合正方形的判定定理判断每种组合是否符合要求：平行四边形要成为正方形，需同时满足矩形和菱形的判定条件，其中条件①$AC=BD$可判定平行四边形是矩形，条件②$AC⊥BD$、③$AB=BC$都可判定平行四边形是菱形，只有同时具备矩形+菱形的判定条件时，才能得到正方形，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可算出概率。
【解析】
从3个条件中任选2个，所有等可能的组合共3种，分别是①②、①③、②③，逐一判断：
1. 选①②：
∵四边形ABCD是平行四边形，$AC=BD$，
∴$□ABCD$是矩形，又$AC⊥BD$，
∴矩形ABCD是菱形，即$□ABCD$是正方形，符合要求；
2. 选①③：
∵四边形ABCD是平行四边形，$AC=BD$，
∴$□ABCD$是矩形，又$AB=BC$，
∴矩形ABCD是菱形，即$□ABCD$是正方形，符合要求；
3. 选②③：
∵四边形ABCD是平行四边形，$AC⊥BD$（或$AB=BC$），
∴$□ABCD$是菱形，无法判定其为矩形，不能得到正方形，不符合要求。
符合条件的情况共2种，因此所求概率$P=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
简单概率计算、正方形的判定、特殊平行四边形的性质与判定
【点评】
本题融合了几何判定与概率计算两个考点，要求学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关联，同时掌握用列举法求简单概率的方法，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
解题分两步开展：第一步先列举出从3个条件中任选2个的所有等可能情况；第二步结合正方形的判定定理判断每种组合是否符合要求：平行四边形要成为正方形，需同时满足矩形和菱形的判定条件，其中条件①$AC=BD$可判定平行四边形是矩形，条件②$AC⊥BD$、③$AB=BC$都可判定平行四边形是菱形，只有同时具备矩形+菱形的判定条件时，才能得到正方形，最后用符合条件的情况数除以总情况数即可算出概率。
【解析】
从3个条件中任选2个，所有等可能的组合共3种，分别是①②、①③、②③，逐一判断：
1. 选①②：
∵四边形ABCD是平行四边形，$AC=BD$，
∴$□ABCD$是矩形，又$AC⊥BD$，
∴矩形ABCD是菱形，即$□ABCD$是正方形，符合要求；
2. 选①③：
∵四边形ABCD是平行四边形，$AC=BD$，
∴$□ABCD$是矩形，又$AB=BC$，
∴矩形ABCD是菱形，即$□ABCD$是正方形，符合要求；
3. 选②③：
∵四边形ABCD是平行四边形，$AC⊥BD$（或$AB=BC$），
∴$□ABCD$是菱形，无法判定其为矩形，不能得到正方形，不符合要求。
符合条件的情况共2种，因此所求概率$P=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
简单概率计算、正方形的判定、特殊平行四边形的性质与判定
【点评】
本题融合了几何判定与概率计算两个考点，要求学生熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的判定关联，同时掌握用列举法求简单概率的方法，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
9.通常情况下紫色石蕊试液遇酸性溶液变红色,遇碱性溶液变蓝色.老师让学生用紫色石蕊试液检测四瓶因标签污损无法分辨的无色溶液的酸碱性,已知这四种溶液分别是“A.盐酸(呈酸性);B.白醋(呈酸性);C.氢氧化钠溶液(呈碱性);D.氢氧化钙溶液(呈碱性)”.学生小徐同时任选两瓶溶液,将紫色石蕊试液滴入其中进行检测,则两瓶溶液恰好都变蓝的概率为
$\frac{1}{6}$
.答案
9.$\frac{1}{6}$
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先明确实验规则是从4瓶溶液中任选2瓶，属于不考虑顺序的组合选取；其次要清楚“两瓶溶液都变蓝”的含义是选取的2瓶都是碱性溶液，已知4瓶中碱性溶液有2种；接下来我们只需要分别求出所有任选2瓶的等可能总结果数，以及恰好选到2瓶碱性溶液的符合条件的结果数，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可算出答案。
【解析】
首先列出从4瓶溶液中任选2瓶的所有等可能结果（不考虑选取顺序）：
(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种等可能的结果。
根据题意，紫色石蕊试液遇碱性溶液变蓝，四种溶液中碱性溶液为C、D共2种，因此两瓶都变蓝的结果只有(C,D)这1种。
根据概率计算公式：
$P(\mathrm{两瓶溶液都变蓝})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式应用；列举法计数；简单组合问题
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题核心是准确梳理总事件数和目标事件数，注意选取溶液时无需考虑先后顺序，避免重复或遗漏计数，熟练掌握基础概率计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路如下：首先明确实验规则是从4瓶溶液中任选2瓶，属于不考虑顺序的组合选取；其次要清楚“两瓶溶液都变蓝”的含义是选取的2瓶都是碱性溶液，已知4瓶中碱性溶液有2种；接下来我们只需要分别求出所有任选2瓶的等可能总结果数，以及恰好选到2瓶碱性溶液的符合条件的结果数，最后代入概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”即可算出答案。
【解析】
首先列出从4瓶溶液中任选2瓶的所有等可能结果（不考虑选取顺序）：
(A,B)、(A,C)、(A,D)、(B,C)、(B,D)、(C,D)，共6种等可能的结果。
根据题意，紫色石蕊试液遇碱性溶液变蓝，四种溶液中碱性溶液为C、D共2种，因此两瓶都变蓝的结果只有(C,D)这1种。
根据概率计算公式：
$P(\mathrm{两瓶溶液都变蓝})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{1}{6}$
【答案】
$\frac{1}{6}$
【知识点】
概率公式应用；列举法计数；简单组合问题
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题核心是准确梳理总事件数和目标事件数，注意选取溶液时无需考虑先后顺序，避免重复或遗漏计数，熟练掌握基础概率计算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
10.(2024·绵阳改编)如图，电路上有$\mathrm{S}_{1},\mathrm{S}_{2},\mathrm{S}_{3},\mathrm{S}_{4}$四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合两个，能让灯泡发光的概率为
$\frac{2}{3}$
.答案
10.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
解决本题需分三步思考：第一步先找出从4个开关中随机闭合2个的所有等可能情况，得到总情况数；第二步结合电路通路的要求，判断每种情况是否能让灯泡发光，统计出符合条件的情况数；第三步利用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算最终结果。其中电路通路要求为：灯泡左右两侧都要有通路，即左侧的S₁、S₂至少闭合1个，同时右侧的S₃、S₄至少闭合1个，灯泡才能发光。
【解析】
首先列举从4个开关中随机闭合2个的所有等可能情况，共6种：
$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$、$(S_2,S_3)$、$(S_2,S_4)$、$(S_3,S_4)$。
逐一判断灯泡是否发光：
1. 闭合$(S_1,S_2)$：仅左侧通路，右侧断路，电路不通，灯泡不发光；
2. 闭合$(S_1,S_3)$：左侧、右侧均通路，电路形成完整回路，灯泡发光；
3. 闭合$(S_1,S_4)$：左侧、右侧均通路，电路形成完整回路，灯泡发光；
4. 闭合$(S_2,S_3)$：左侧、右侧均通路，电路形成完整回路，灯泡发光；
5. 闭合$(S_2,S_4)$：左侧、右侧均通路，电路形成完整回路，灯泡发光；
6. 闭合$(S_3,S_4)$：仅右侧通路，左侧断路，电路不通，灯泡不发光。
综上，能让灯泡发光的情况有4种，
因此$P(\mathrm{灯泡发光})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
列举法求概率；电路通路判断
【点评】
本题是结合电路知识的概率基础题，既考查了等可能事件概率的计算方法，也需要掌握简单的串并联电路的通路规则，解题时注意不要漏算或者多算情况数即可。
【难度系数】
0.7
解决本题需分三步思考：第一步先找出从4个开关中随机闭合2个的所有等可能情况，得到总情况数；第二步结合电路通路的要求，判断每种情况是否能让灯泡发光，统计出符合条件的情况数；第三步利用概率公式“概率=符合条件的情况数÷总情况数”计算最终结果。其中电路通路要求为：灯泡左右两侧都要有通路，即左侧的S₁、S₂至少闭合1个，同时右侧的S₃、S₄至少闭合1个，灯泡才能发光。
【解析】
首先列举从4个开关中随机闭合2个的所有等可能情况，共6种：
$(S_1,S_2)$、$(S_1,S_3)$、$(S_1,S_4)$、$(S_2,S_3)$、$(S_2,S_4)$、$(S_3,S_4)$。
逐一判断灯泡是否发光：
1. 闭合$(S_1,S_2)$：仅左侧通路，右侧断路，电路不通，灯泡不发光；
2. 闭合$(S_1,S_3)$：左侧、右侧均通路，电路形成完整回路，灯泡发光；
3. 闭合$(S_1,S_4)$：左侧、右侧均通路，电路形成完整回路，灯泡发光；
4. 闭合$(S_2,S_3)$：左侧、右侧均通路，电路形成完整回路，灯泡发光；
5. 闭合$(S_2,S_4)$：左侧、右侧均通路，电路形成完整回路，灯泡发光；
6. 闭合$(S_3,S_4)$：仅右侧通路，左侧断路，电路不通，灯泡不发光。
综上，能让灯泡发光的情况有4种，
因此$P(\mathrm{灯泡发光})=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
列举法求概率；电路通路判断
【点评】
本题是结合电路知识的概率基础题，既考查了等可能事件概率的计算方法，也需要掌握简单的串并联电路的通路规则，解题时注意不要漏算或者多算情况数即可。
【难度系数】
0.7
