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1.【阅读材料】解一元二次不等式：$x^2 - 3x ＞ 0$.
解:设$x^2 - 3x = 0$,解得$x_1 = 0, x_2 = 3$,则二次函数$y = x^2 - 3x$的图象与$x$轴的交点坐标为$(0,0)$和$(3,0)$.画出二次函数$y = x^2 - 3x$的大致图象(如图所示),由图象可知,当$x ＜ 0$或$x ＞ 3$时,函数图象位于$x$轴上方,此时$y ＞ 0$,即$x^2 - 3x ＞ 0$,所以一元二次不等式$x^2 - 3x ＞ 0$的解集为$x ＜ 0$或$x ＞ 3$.
通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题.
【数学理解】(1)请直接写出一元二次不等式$x^2 - 3x ＜ 0$的解集.
【拓展探索】(2)用类似的方法解一元二次不等式:$x^2 - 2x - 8 ≥ 0$.
解:设$x^2 - 3x = 0$,解得$x_1 = 0, x_2 = 3$,则二次函数$y = x^2 - 3x$的图象与$x$轴的交点坐标为$(0,0)$和$(3,0)$.画出二次函数$y = x^2 - 3x$的大致图象(如图所示),由图象可知,当$x ＜ 0$或$x ＞ 3$时,函数图象位于$x$轴上方,此时$y ＞ 0$,即$x^2 - 3x ＞ 0$,所以一元二次不等式$x^2 - 3x ＞ 0$的解集为$x ＜ 0$或$x ＞ 3$.
通过对上述解题过程的学习,按其解题的思路和方法解答下列问题.
【数学理解】(1)请直接写出一元二次不等式$x^2 - 3x ＜ 0$的解集.
【拓展探索】(2)用类似的方法解一元二次不等式:$x^2 - 2x - 8 ≥ 0$.
答案
(1)由图可知,不等式$x^{2}-3x＜0$的解集为$0＜x＜3$.
(2)设$x^{2}-2x-8=0$,解得$x_{1}=-2,x_{2}=4$.画出二次函数$y=x^{2}-2x-8$的大致图象(如图所示)
,由图可知,不等式$x^{2}-2x-8≥0$的解集为$x≤-2$或$x≥4$.解析
【分析】
本题是借助数形结合思想，模仿例题方法求解一元二次不等式，解题思路清晰可遵循：首先求解对应一元二次方程的根，得到对应二次函数与x轴的交点坐标；再结合开口向上的二次函数图象特征，判断图象在x轴对应位置（上方/下方/包含x轴）时x的取值范围，即为不等式的解集。第(1)问可直接借助材料给出的$y=x^2-3x$图象，找图象在x轴下方对应的x范围即可；第(2)问按照例题步骤，先求方程$x^2-2x-8=0$的根，再结合给出的二次函数图象，找图象在x轴及上方对应的x范围即可。
【解析】
(1) 由阅读材料中二次函数$y=x^2-3x$的图象可知，当函数图象位于x轴下方时，$y＜0$，即$x^2-3x＜0$，对应x的取值范围为$0＜x＜3$。
(2) 按照例题解题步骤求解：
① 先求对应一元二次方程的根：设$x^2 - 2x - 8 = 0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，因此二次函数$y=x^2-2x-8$的图象与x轴交点为$(-2,0)$和$(4,0)$。
② 结合图象判断解集：二次函数$y=x^2-2x-8$开口向上，观察图象可知，当$x≤-2$或$x≥4$时，函数图象位于x轴上或x轴上方，此时$y≥0$，即$x^2-2x-8≥0$。
【答案】
(1) $0＜x＜3$
(2) 设$x^{2}-2x-8=0$,解得$x_{1}=-2,x_{2}=4$.画出二次函数$y=x^{2}-2x-8$的大致图象(如图所示),由图可知,不等式$x^{2}-2x-8≥0$的解集为$x≤-2$或$x≥4$.
【知识点】
二次函数图象性质、一元二次方程求解、二次函数与不等式的关系
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题逻辑规律性强，核心是掌握“求对应方程的根→确定二次函数与x轴交点→结合图象判断解集”的步骤，掌握方法后可快速解决同类一元二次不等式求解问题。
【难度系数】
0.8
本题是借助数形结合思想，模仿例题方法求解一元二次不等式，解题思路清晰可遵循：首先求解对应一元二次方程的根，得到对应二次函数与x轴的交点坐标；再结合开口向上的二次函数图象特征，判断图象在x轴对应位置（上方/下方/包含x轴）时x的取值范围，即为不等式的解集。第(1)问可直接借助材料给出的$y=x^2-3x$图象，找图象在x轴下方对应的x范围即可；第(2)问按照例题步骤，先求方程$x^2-2x-8=0$的根，再结合给出的二次函数图象，找图象在x轴及上方对应的x范围即可。
【解析】
(1) 由阅读材料中二次函数$y=x^2-3x$的图象可知，当函数图象位于x轴下方时，$y＜0$，即$x^2-3x＜0$，对应x的取值范围为$0＜x＜3$。
(2) 按照例题解题步骤求解：
① 先求对应一元二次方程的根：设$x^2 - 2x - 8 = 0$，因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，因此二次函数$y=x^2-2x-8$的图象与x轴交点为$(-2,0)$和$(4,0)$。
② 结合图象判断解集：二次函数$y=x^2-2x-8$开口向上，观察图象可知，当$x≤-2$或$x≥4$时，函数图象位于x轴上或x轴上方，此时$y≥0$，即$x^2-2x-8≥0$。
【答案】
(1) $0＜x＜3$
(2) 设$x^{2}-2x-8=0$,解得$x_{1}=-2,x_{2}=4$.画出二次函数$y=x^{2}-2x-8$的大致图象(如图所示)
,由图可知,不等式$x^{2}-2x-8≥0$的解集为$x≤-2$或$x≥4$.【知识点】
二次函数图象性质、一元二次方程求解、二次函数与不等式的关系
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，解题逻辑规律性强，核心是掌握“求对应方程的根→确定二次函数与x轴交点→结合图象判断解集”的步骤，掌握方法后可快速解决同类一元二次不等式求解问题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，抛物线$y=x^2+mx$与直线$y=-x+b$相交于点$A(2,0)$和点$B$.
(1)求$m$和$b$的值.
(2)求点$B$的坐标，并结合图象写出不等式$x^2+mx＞-x+b$的解集.
(3)$M$是直线$AB$上的一个动点，将点$M$向左平移3个单位长度得到点$N$.若线段$MN$与抛物线只有一个公共点，直接写出点$M$的横坐标$x_M$的取值范围.
(1)求$m$和$b$的值.
(2)求点$B$的坐标，并结合图象写出不等式$x^2+mx＞-x+b$的解集.
(3)$M$是直线$AB$上的一个动点，将点$M$向左平移3个单位长度得到点$N$.若线段$MN$与抛物线只有一个公共点，直接写出点$M$的横坐标$x_M$的取值范围.
答案
(1)将$A(2,0)$代入$y=x^2+mx$,得$0=4+2m$,解得$m=-2$.将$A(2,0)$代入$y=-x+b$,得$0=-2+b$,解得$b=2$.
(2)由(1)得,直线和抛物线的表达式分别为$y=-x+2$,$y=x^2-2x$.联立$\begin{cases} y=-x+2, \\ y=x^2-2x, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=-1, \\ y_1=3, \end{cases}$$\begin{cases} x_2=2, \\ y_2=0. \end{cases}$$\therefore B(-1,3)$.由图象可知,不等式$x^2+mx＞-x+b$的解集为$x＜-1$或$x＞2$.
(3)$-1≤ x_M＜2$或$x_M=3$.
(2)由(1)得,直线和抛物线的表达式分别为$y=-x+2$,$y=x^2-2x$.联立$\begin{cases} y=-x+2, \\ y=x^2-2x, \end{cases}$解得$\begin{cases} x_1=-1, \\ y_1=3, \end{cases}$$\begin{cases} x_2=2, \\ y_2=0. \end{cases}$$\therefore B(-1,3)$.由图象可知,不等式$x^2+mx＞-x+b$的解集为$x＜-1$或$x＞2$.
(3)$-1≤ x_M＜2$或$x_M=3$.
解析
【分析】
(1) 已知点A是抛物线和直线的公共交点，将点A坐标分别代入两个函数的解析式，即可得到关于m、b的一元一次方程，解方程即可求出对应参数值。
(2) 求两个函数的交点B，只需联立两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可得到B点坐标；不等式$x^2+mx＞-x+b$的几何意义是抛物线图象在直线图象上方时对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标即可直接写出解集。
(3) 点M向左平移3个单位得到N，说明线段MN是水平线段，长度为3，纵坐标与点M的纵坐标相同。要使线段MN与抛物线只有一个公共点，需分两种情况讨论：①线段MN在两个交点之间的区域，仅和抛物线交于A点；②线段MN刚好和抛物线的顶点相切，此时只有一个公共点，分别计算两种情况对应的$x_M$的范围即可。
【解析】
(1) 把点$A(2,0)$代入抛物线解析式$y=x^2+mx$，得：
$0 = 2^2 + 2m$，即$0=4+2m$，解得$m=-2$。
把点$A(2,0)$代入直线解析式$y=-x+b$，得：
$0 = -2 + b$，解得$b=2$。
(2) 由(1)可得，直线解析式为$y=-x+2$，抛物线解析式为$y=x^2-2x$。
联立两个函数解析式得方程组：
$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x^2-2x \end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得：$-x+2 = x^2-2x$，整理得$x^2 -x -2=0$，
因式分解得$(x+1)(x-2)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$。
把$x_1=-1$代入$y=-x+2$，得$y_1=3$；$x_2=2$对应点$A(2,0)$，所以点B的坐标为$(-1,3)$。
观察图象可知，抛物线在直线上方的部分对应的x的取值范围是$x＜-1$或$x＞2$，即不等式$x^2+mx ＞ -x+b$的解集为$x＜-1$或$x＞2$。
(3) 设点M的坐标为$(x_M, -x_M+2)$，则点N是M向左平移3个单位得到的，所以N的坐标为$(x_M-3, -x_M+2)$，线段MN是纵坐标为$-x_M+2$，横坐标在$[x_M-3, x_M]$的水平线段。
抛物线$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
① 当线段MN仅与抛物线交于点$A(2,0)$时：
此时线段MN的横坐标范围需满足A点在线段上，且B点不在线段上，可得$-1 ≤ x_M ＜ 2$；
② 当线段MN与抛物线仅交于顶点时：此时线段的纵坐标为$-1$，即$-x_M+2=-1$，解得$x_M=3$，此时线段MN横坐标范围是$[0,3]$，仅与抛物线交于顶点$(1,-1)$，符合要求。
综上，点M的横坐标$x_M$的取值范围是$-1 ≤ x_M ＜ 2$或$x_M=3$。
【答案】
(1)$m=-2$，$b=2$；
(2)$B(-1,3)$，不等式解集为$x＜-1$或$x＞2$；
(3)$-1≤ x_M＜2$或$x_M=3$。
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 函数交点求解
3. 二次函数图象与不等式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，既考查了基础的参数求解、交点计算，也结合图象考查了不等式解集的判断，最后结合平移动点考查分类讨论思想，需要熟练掌握函数的基本性质，会用数形结合的方法分析问题。
【难度系数】
0.5
(1) 已知点A是抛物线和直线的公共交点，将点A坐标分别代入两个函数的解析式，即可得到关于m、b的一元一次方程，解方程即可求出对应参数值。
(2) 求两个函数的交点B，只需联立两个函数的解析式组成方程组，解方程组即可得到B点坐标；不等式$x^2+mx＞-x+b$的几何意义是抛物线图象在直线图象上方时对应的x的取值范围，结合两个交点的横坐标即可直接写出解集。
(3) 点M向左平移3个单位得到N，说明线段MN是水平线段，长度为3，纵坐标与点M的纵坐标相同。要使线段MN与抛物线只有一个公共点，需分两种情况讨论：①线段MN在两个交点之间的区域，仅和抛物线交于A点；②线段MN刚好和抛物线的顶点相切，此时只有一个公共点，分别计算两种情况对应的$x_M$的范围即可。
【解析】
(1) 把点$A(2,0)$代入抛物线解析式$y=x^2+mx$，得：
$0 = 2^2 + 2m$，即$0=4+2m$，解得$m=-2$。
把点$A(2,0)$代入直线解析式$y=-x+b$，得：
$0 = -2 + b$，解得$b=2$。
(2) 由(1)可得，直线解析式为$y=-x+2$，抛物线解析式为$y=x^2-2x$。
联立两个函数解析式得方程组：
$\begin{cases} y=-x+2 \\ y=x^2-2x \end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得：$-x+2 = x^2-2x$，整理得$x^2 -x -2=0$，
因式分解得$(x+1)(x-2)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=2$。
把$x_1=-1$代入$y=-x+2$，得$y_1=3$；$x_2=2$对应点$A(2,0)$，所以点B的坐标为$(-1,3)$。
观察图象可知，抛物线在直线上方的部分对应的x的取值范围是$x＜-1$或$x＞2$，即不等式$x^2+mx ＞ -x+b$的解集为$x＜-1$或$x＞2$。
(3) 设点M的坐标为$(x_M, -x_M+2)$，则点N是M向左平移3个单位得到的，所以N的坐标为$(x_M-3, -x_M+2)$，线段MN是纵坐标为$-x_M+2$，横坐标在$[x_M-3, x_M]$的水平线段。
抛物线$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，顶点坐标为$(1,-1)$。
① 当线段MN仅与抛物线交于点$A(2,0)$时：
此时线段MN的横坐标范围需满足A点在线段上，且B点不在线段上，可得$-1 ≤ x_M ＜ 2$；
② 当线段MN与抛物线仅交于顶点时：此时线段的纵坐标为$-1$，即$-x_M+2=-1$，解得$x_M=3$，此时线段MN横坐标范围是$[0,3]$，仅与抛物线交于顶点$(1,-1)$，符合要求。
综上，点M的横坐标$x_M$的取值范围是$-1 ≤ x_M ＜ 2$或$x_M=3$。
【答案】
(1)$m=-2$，$b=2$；
(2)$B(-1,3)$，不等式解集为$x＜-1$或$x＞2$；
(3)$-1≤ x_M＜2$或$x_M=3$。
【知识点】
1. 待定系数法求参数
2. 函数交点求解
3. 二次函数图象与不等式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，既考查了基础的参数求解、交点计算，也结合图象考查了不等式解集的判断，最后结合平移动点考查分类讨论思想，需要熟练掌握函数的基本性质，会用数形结合的方法分析问题。
【难度系数】
0.5
