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1. 下列函数关系式中，属于一次函数的是（
A.$y=\frac{1}{x}-1$
B.$y=x^2+1$
C.$y=kx+b$
D.$y=1-2x$
D
）A.$y=\frac{1}{x}-1$
B.$y=x^2+1$
C.$y=kx+b$
D.$y=1-2x$
答案
1.D
解析
【分析】
要解这道题，首先要明确一次函数的定义，再对照定义的要求逐一判断每个选项。一次函数的定义是：形如$y=kx+b$（$k$、$b$是常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，判定时需同时满足三个条件：①解析式是关于自变量$x$的整式；②自变量$x$的最高次数为1；③$x$的系数$k$不为0，按照这三个标准逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
结合一次函数的判定标准逐一分析选项：
选项A：$y=\frac{1}{x}-1$中自变量$x$在分母位置，解析式属于分式，不是整式，不符合一次函数要求，排除；
选项B：$y=x^2+1$中自变量$x$的最高次数为2，属于二次函数，不符合一次函数要求，排除；
选项C：$y=kx+b$没有注明$k≠0$，若$k=0$，函数变为$y=b$，是常函数，不属于一次函数，排除；
选项D：$y=1-2x$可变形为$y=-2x+1$，其中$k=-2≠0$，$b=1$，$x$的次数为1且解析式是整式，完全符合一次函数的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的定义、二次函数的定义、反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查一次函数的判定，解题的关键是牢记一次函数定义中$k≠0$的隐含要求，同时要能区分不同类型函数的解析式特征，避免因忽略限制条件误选C选项。
【难度系数】
0.8
要解这道题，首先要明确一次函数的定义，再对照定义的要求逐一判断每个选项。一次函数的定义是：形如$y=kx+b$（$k$、$b$是常数，且$k≠0$）的函数叫做一次函数，判定时需同时满足三个条件：①解析式是关于自变量$x$的整式；②自变量$x$的最高次数为1；③$x$的系数$k$不为0，按照这三个标准逐个排查选项即可得出答案。
【解析】
结合一次函数的判定标准逐一分析选项：
选项A：$y=\frac{1}{x}-1$中自变量$x$在分母位置，解析式属于分式，不是整式，不符合一次函数要求，排除；
选项B：$y=x^2+1$中自变量$x$的最高次数为2，属于二次函数，不符合一次函数要求，排除；
选项C：$y=kx+b$没有注明$k≠0$，若$k=0$，函数变为$y=b$，是常函数，不属于一次函数，排除；
选项D：$y=1-2x$可变形为$y=-2x+1$，其中$k=-2≠0$，$b=1$，$x$的次数为1且解析式是整式，完全符合一次函数的定义。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的定义、二次函数的定义、反比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查一次函数的判定，解题的关键是牢记一次函数定义中$k≠0$的隐含要求，同时要能区分不同类型函数的解析式特征，避免因忽略限制条件误选C选项。
【难度系数】
0.8
2.若函数$y=(k+3)x-2$是关于$x$的一次函数，则$k$的取值范围是
$k≠-3$
。答案
2.$k≠-3$
解析
【分析】
要确定k的取值范围，首先需回忆一次函数的定义要求：一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数），其中必须满足一次项系数k≠0，否则x的次数就不是1，不再是一次函数。本题中函数的一次项系数为k+3，因此只需令该系数不等于0，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠ 0$）的函数是一次函数。
已知$y=(k+3)x-2$是关于$x$的一次函数，因此其一次项系数不能为0，可得：
$k+3≠ 0$
解这个不等式得：$k≠ -3$
【答案】
$k≠ -3$
【知识点】
一次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，只要准确掌握一次函数的定义，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
要确定k的取值范围，首先需回忆一次函数的定义要求：一次函数的一般形式为y=kx+b（k、b为常数），其中必须满足一次项系数k≠0，否则x的次数就不是1，不再是一次函数。本题中函数的一次项系数为k+3，因此只需令该系数不等于0，解不等式即可得到k的取值范围。
【解析】
根据一次函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，且$k≠ 0$）的函数是一次函数。
已知$y=(k+3)x-2$是关于$x$的一次函数，因此其一次项系数不能为0，可得：
$k+3≠ 0$
解这个不等式得：$k≠ -3$
【答案】
$k≠ -3$
【知识点】
一次函数的定义、解一元一次不等式
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易忽略一次项系数不为0的限制条件，只要准确掌握一次函数的定义，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
变式训练
系数不为0→指数为1且系数不为0
[2024·合肥巢湖期中]若关于x的函数$y=(n-2)x^{|n|-1}-6$是一次函数，则n的值为
系数不为0→指数为1且系数不为0
[2024·合肥巢湖期中]若关于x的函数$y=(n-2)x^{|n|-1}-6$是一次函数，则n的值为
$-2$
.答案
$-2$
解析
【分析】要确定n的值，需结合一次函数的定义分析。一次函数有两个核心判定条件：一是自变量x的次数为1，二是自变量x的系数不为0。我们可以先根据x的次数为1列方程求出n的可能取值，再根据系数不为0的条件排除不符合要求的取值，最终得到正确的n值。
【解析】根据一次函数的定义，可列出两个限制条件：
1. 自变量x的指数为1：$\left|n\right|-1=1$，
解该方程可得$\left|n\right|=2$，即$n=2$或$n=-2$；
2. 自变量x的系数不为0：$n-2≠0$，即$n≠2$。
同时满足两个条件，排除$n=2$，因此$n=-2$。
【答案】$-2$
【知识点】一次函数的定义；绝对值方程求解
【点评】本题是一次函数定义的基础应用题，属于易错题，解题时需注意一次函数的两个限定条件要同时满足，切勿忽略系数不为0的要求导致多解。
【难度系数】0.6
【解析】根据一次函数的定义，可列出两个限制条件：
1. 自变量x的指数为1：$\left|n\right|-1=1$，
解该方程可得$\left|n\right|=2$，即$n=2$或$n=-2$；
2. 自变量x的系数不为0：$n-2≠0$，即$n≠2$。
同时满足两个条件，排除$n=2$，因此$n=-2$。
【答案】$-2$
【知识点】一次函数的定义；绝对值方程求解
【点评】本题是一次函数定义的基础应用题，属于易错题，解题时需注意一次函数的两个限定条件要同时满足，切勿忽略系数不为0的要求导致多解。
【难度系数】0.6
3. [2025·淮南期末]下列函数中，是正比例函数的是（
A.$y=x^2$
B.$y=\dfrac{3}{x}$
C.$y=\dfrac{x+1}{5}$
D.$y=-\dfrac{x}{2}$
D
）A.$y=x^2$
B.$y=\dfrac{3}{x}$
C.$y=\dfrac{x+1}{5}$
D.$y=-\dfrac{x}{2}$
答案
3.D
解析
【分析】
要判断一个函数是否为正比例函数，首先要明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$是常数，且$k\ne0$）的函数叫做正比例函数，判定需满足三个要点：①系数$k$为不为0的常数；②自变量$x$的次数为1；③没有常数项，且自变量不能出现在分母位置。解题时只需将每个选项的函数形式与定义逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据正比例函数的定义逐一判断选项：
选项A：$y=x^2$中自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数定义，排除；
选项B：$y=\dfrac{3}{x}$中自变量$x$在分母位置，属于反比例函数，不符合正比例函数定义，排除；
选项C：将$y=\dfrac{x+1}{5}$整理得$y=\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}$，存在常数项$\dfrac{1}{5}$，属于一般一次函数，不是正比例函数，排除；
选项D：$y=-\dfrac{x}{2}$可变形为$y=-\dfrac{1}{2}x$，符合$y=kx$的形式，其中$k=-\dfrac{1}{2}\ne0$，$x$的次数为1且无常数项，是正比例函数。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对正比例函数形式特征的掌握，解题的关键是准确区分正比例函数与其他类型函数的差异，避免混淆各类函数的定义特征。
【难度系数】
0.9
要判断一个函数是否为正比例函数，首先要明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$是常数，且$k\ne0$）的函数叫做正比例函数，判定需满足三个要点：①系数$k$为不为0的常数；②自变量$x$的次数为1；③没有常数项，且自变量不能出现在分母位置。解题时只需将每个选项的函数形式与定义逐一比对，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据正比例函数的定义逐一判断选项：
选项A：$y=x^2$中自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数定义，排除；
选项B：$y=\dfrac{3}{x}$中自变量$x$在分母位置，属于反比例函数，不符合正比例函数定义，排除；
选项C：将$y=\dfrac{x+1}{5}$整理得$y=\dfrac{1}{5}x+\dfrac{1}{5}$，存在常数项$\dfrac{1}{5}$，属于一般一次函数，不是正比例函数，排除；
选项D：$y=-\dfrac{x}{2}$可变形为$y=-\dfrac{1}{2}x$，符合$y=kx$的形式，其中$k=-\dfrac{1}{2}\ne0$，$x$的次数为1且无常数项，是正比例函数。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对正比例函数形式特征的掌握，解题的关键是准确区分正比例函数与其他类型函数的差异，避免混淆各类函数的定义特征。
【难度系数】
0.9
4. [易错题]若$y=(a-3)x+a^2-9$是正比例函数，则a的值为
$-3$
。答案
4.$-3$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确正比例函数的定义：正比例函数的标准形式为$y=kx$（$k$是常数，且$k\ne0$），即函数必须满足两个条件：一是含有自变量的项是一次项，且一次项系数不为0；二是没有常数项（常数项为0）。我们可以根据这两个条件列出关于$a$的方程和不等式，求解后取公共解即可得到$a$的值。
【解析】
已知$y=(a-3)x+a^2-9$是正比例函数，根据正比例函数的定义可得：
1. 常数项为0：$a^2 - 9 = 0$
解这个方程：$a^2 = 9$，所以$a=3$或$a=-3$
2. 一次项系数不为0：$a - 3 \ne 0$
解得：$a\ne3$
结合两个条件排除$a=3$，最终得$a=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于易错题，易错点是容易忽略正比例函数中一次项系数不为0的限制条件，仅根据常数项为0求解得到$a=\pm3$的错误结果，解题时要牢记函数定义中的所有限制条件，避免漏判导致多解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确正比例函数的定义：正比例函数的标准形式为$y=kx$（$k$是常数，且$k\ne0$），即函数必须满足两个条件：一是含有自变量的项是一次项，且一次项系数不为0；二是没有常数项（常数项为0）。我们可以根据这两个条件列出关于$a$的方程和不等式，求解后取公共解即可得到$a$的值。
【解析】
已知$y=(a-3)x+a^2-9$是正比例函数，根据正比例函数的定义可得：
1. 常数项为0：$a^2 - 9 = 0$
解这个方程：$a^2 = 9$，所以$a=3$或$a=-3$
2. 一次项系数不为0：$a - 3 \ne 0$
解得：$a\ne3$
结合两个条件排除$a=3$，最终得$a=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 一元一次不等式求解
【点评】
本题属于易错题，易错点是容易忽略正比例函数中一次项系数不为0的限制条件，仅根据常数项为0求解得到$a=\pm3$的错误结果，解题时要牢记函数定义中的所有限制条件，避免漏判导致多解。
【难度系数】
0.6
5. 下列图象中,表示正比例函数图象的是（
B
）答案
5.B
解析
【分析】
解题首先要回忆正比例函数的图像特征：正比例函数解析式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），它的图像是经过原点的一条直线。我们可以分两步筛选：第一步先排除不经过原点的图像，第二步排除不是同一条直线的图像，就能得到正确答案。首先看选项A的直线不过原点，直接排除；再看选项C、D的图像都是由两条斜率不同的射线组成，不是同一条直线，不符合要求，排除；剩下的选项B符合正比例函数的图像特征。
【解析】
根据正比例函数的图像性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图像是过坐标原点$(0,0)$的一条直线。
1. 排除不过原点的选项：选项A的直线与y轴交于正半轴，未经过原点，不属于正比例函数图像，排除A；
2. 排除非单一直线的选项：选项C的图像是关于y轴对称的两条射线，为绝对值函数图像，不是同一条直线，排除C；选项D中x＜0和x＞0部分的直线倾斜程度不同，是两条斜率不同的射线，不是同一条直线，排除D；
3. 验证选项B：B是经过原点的直线，对应$k＜0$的正比例函数图像，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图像特征
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对正比例函数图像特点的掌握，解题的核心是牢记正比例函数图像是过原点的直线，注意区分直线与折线、多段射线组成的图像即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题首先要回忆正比例函数的图像特征：正比例函数解析式为$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$），它的图像是经过原点的一条直线。我们可以分两步筛选：第一步先排除不经过原点的图像，第二步排除不是同一条直线的图像，就能得到正确答案。首先看选项A的直线不过原点，直接排除；再看选项C、D的图像都是由两条斜率不同的射线组成，不是同一条直线，不符合要求，排除；剩下的选项B符合正比例函数的图像特征。
【解析】
根据正比例函数的图像性质：正比例函数$y=kx$（$k≠0$）的图像是过坐标原点$(0,0)$的一条直线。
1. 排除不过原点的选项：选项A的直线与y轴交于正半轴，未经过原点，不属于正比例函数图像，排除A；
2. 排除非单一直线的选项：选项C的图像是关于y轴对称的两条射线，为绝对值函数图像，不是同一条直线，排除C；选项D中x＜0和x＞0部分的直线倾斜程度不同，是两条斜率不同的射线，不是同一条直线，排除D；
3. 验证选项B：B是经过原点的直线，对应$k＜0$的正比例函数图像，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的图像特征
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考查对正比例函数图像特点的掌握，解题的核心是牢记正比例函数图像是过原点的直线，注意区分直线与折线、多段射线组成的图像即可快速解题。
【难度系数】
0.9
6. 关于正比例函数 $y=\dfrac{1}{3}x$，下列结论正确的是（
A.图象不经过原点
B.y随x的增大而减小
C.图象经过第一、三象限
D.当 $x=-3$ 时，$y=1$
C
）A.图象不经过原点
B.y随x的增大而减小
C.图象经过第一、三象限
D.当 $x=-3$ 时，$y=1$
答案
6.C
解析
【分析】
解决本题需要先回忆正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的图象与性质，首先确定本题中正比例函数的$k=\frac{1}{3}＞0$，再结合性质逐个分析选项，排除错误选项即可得到正确结果。
【解析】
对于正比例函数$y=\frac{1}{3}x$，其中$k=\frac{1}{3}＞0$，我们逐一分析选项：
A. 正比例函数的图象恒过原点$(0,0)$，将$x=0$代入函数得$y=0$，因此图象经过原点，A错误；
B. 当$k＞0$时，正比例函数的$y$随$x$的增大而增大，因此$y$随$x$增大而减小的说法错误，B错误；
C. 当$k＞0$时，正比例函数的图象经过第一、三象限，该说法符合性质，C正确；
D. 把$x=-3$代入函数得$y=\frac{1}{3}×(-3)=-1≠1$，因此D错误。
综上，正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数性质，正比例函数图象，函数值计算
【点评】
本题是对正比例函数基础性质的考查，属于常规基础题，只要熟记k的正负对应的图象特征、增减性，再结合代入求值的计算，就能快速完成作答。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先回忆正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的图象与性质，首先确定本题中正比例函数的$k=\frac{1}{3}＞0$，再结合性质逐个分析选项，排除错误选项即可得到正确结果。
【解析】
对于正比例函数$y=\frac{1}{3}x$，其中$k=\frac{1}{3}＞0$，我们逐一分析选项：
A. 正比例函数的图象恒过原点$(0,0)$，将$x=0$代入函数得$y=0$，因此图象经过原点，A错误；
B. 当$k＞0$时，正比例函数的$y$随$x$的增大而增大，因此$y$随$x$增大而减小的说法错误，B错误；
C. 当$k＞0$时，正比例函数的图象经过第一、三象限，该说法符合性质，C正确；
D. 把$x=-3$代入函数得$y=\frac{1}{3}×(-3)=-1≠1$，因此D错误。
综上，正确的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
正比例函数性质，正比例函数图象，函数值计算
【点评】
本题是对正比例函数基础性质的考查，属于常规基础题，只要熟记k的正负对应的图象特征、增减性，再结合代入求值的计算，就能快速完成作答。
【难度系数】
0.8
7. [教材P37练习第3题改编]如图，四个正比例函数的图象分别对应表达式：①$y=ax$；②$y=bx$；③$y=cx$；④$y=dx$.将$a,b,c,d$从小到大排列为（
A.$a＜b＜c＜d$
B.$b＜a＜d＜c$
C.$b＜a＜c＜d$
D.$a＜b＜d＜c$
B
）A.$a＜b＜c＜d$
B.$b＜a＜d＜c$
C.$b＜a＜c＜d$
D.$a＜b＜d＜c$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正比例函数$y=kx$的图象性质：1. 系数$k$的符号决定直线经过的象限：$k＞0$时直线过一、三象限，$k＜0$时直线过二、四象限，因此负数系数一定小于正数系数；2. 系数$k$的绝对值决定直线的倾斜程度：$|k|$越大，直线越陡（越靠近$y$轴）。同号系数比较时：若都为正，越陡$k$越大；若都为负，越陡$k$越小（因为负数绝对值越大数值越小）。接下来先区分四个系数的正负，再根据倾斜程度比较同号系数的大小即可排序。
【解析】
根据正比例函数$y=kx$的图象性质解题：
1. 区分系数正负：
观察图象可知，①、②的图象经过第二象限，因此对应系数$a＜0$，$b＜0$；③、④的图象经过第一象限，因此对应系数$c＞0$，$d＞0$。由此可得$a、b$均小于$c、d$。
2. 比较负系数$a、b$的大小：
②的图象比①更陡（更靠近$y$轴），因此$|b|＞|a|$。由于两个数都是负数，绝对值越大数值越小，因此$b＜a$。
3. 比较正系数$c、d$的大小：
③的图象比④更陡（更靠近$y$轴），因此$|c|＞|d|$。由于两个数都是正数，绝对值越大数值越大，因此$d＜c$。
综上，四个系数从小到大排列为$b＜a＜d＜c$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正比例函数图象性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题主要考查正比例函数系数$k$对图象的影响，解题的核心是掌握$k$的符号对应图象所在象限、$|k|$对应直线倾斜程度的规律，结合有理数大小比较规则即可快速得出结果，是对正比例函数基础性质的典型考查。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆正比例函数$y=kx$的图象性质：1. 系数$k$的符号决定直线经过的象限：$k＞0$时直线过一、三象限，$k＜0$时直线过二、四象限，因此负数系数一定小于正数系数；2. 系数$k$的绝对值决定直线的倾斜程度：$|k|$越大，直线越陡（越靠近$y$轴）。同号系数比较时：若都为正，越陡$k$越大；若都为负，越陡$k$越小（因为负数绝对值越大数值越小）。接下来先区分四个系数的正负，再根据倾斜程度比较同号系数的大小即可排序。
【解析】
根据正比例函数$y=kx$的图象性质解题：
1. 区分系数正负：
观察图象可知，①、②的图象经过第二象限，因此对应系数$a＜0$，$b＜0$；③、④的图象经过第一象限，因此对应系数$c＞0$，$d＞0$。由此可得$a、b$均小于$c、d$。
2. 比较负系数$a、b$的大小：
②的图象比①更陡（更靠近$y$轴），因此$|b|＞|a|$。由于两个数都是负数，绝对值越大数值越小，因此$b＜a$。
3. 比较正系数$c、d$的大小：
③的图象比④更陡（更靠近$y$轴），因此$|c|＞|d|$。由于两个数都是正数，绝对值越大数值越大，因此$d＜c$。
综上，四个系数从小到大排列为$b＜a＜d＜c$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 正比例函数图象性质
2. 有理数大小比较
【点评】
本题主要考查正比例函数系数$k$对图象的影响，解题的核心是掌握$k$的符号对应图象所在象限、$|k|$对应直线倾斜程度的规律，结合有理数大小比较规则即可快速得出结果，是对正比例函数基础性质的典型考查。
【难度系数】
0.7
8. 已知正比例函数 $ y=(k-5)x $，且 $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小，则 $ k $ 的取值范围是
$k＜5$
。答案
8.$k＜5$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正比例函数的增减性规律：对于正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。题目中$y$随$x$的增大而减小，说明该函数的比例系数小于0，据此列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知函数$y=(k-5)x$是正比例函数，且$y$随$x$的增大而减小，根据正比例函数的性质可得：
$k-5＜0$
解这个不等式，移项得：
$k＜5$
【答案】
$k＜5$
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是对正比例函数基本性质的直接考查，属于基础题型，解题的关键是准确掌握正比例函数增减性和比例系数符号的对应关系，避免混淆增减性对应的$k$的正负情况。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆正比例函数的增减性规律：对于正比例函数$y=kx$（$k$为常数，$k\ne0$），当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。题目中$y$随$x$的增大而减小，说明该函数的比例系数小于0，据此列出关于$k$的不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
【解析】
已知函数$y=(k-5)x$是正比例函数，且$y$随$x$的增大而减小，根据正比例函数的性质可得：
$k-5＜0$
解这个不等式，移项得：
$k＜5$
【答案】
$k＜5$
【知识点】
1. 正比例函数的性质
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是对正比例函数基本性质的直接考查，属于基础题型，解题的关键是准确掌握正比例函数增减性和比例系数符号的对应关系，避免混淆增减性对应的$k$的正负情况。
【难度系数】
0.8
变式训练
直接利用增减性→间接利用增减性
若正比例函数 $ y=(1-2m)x $ 的图象经过点 $ A(x_1,y_1) $ 和点 $ B(x_2,y_2) $，且当 $ x_1＜x_2 $ 时，$ y_1＞y_2 $，则 $ m $ 的取值范围是
直接利用增减性→间接利用增减性
若正比例函数 $ y=(1-2m)x $ 的图象经过点 $ A(x_1,y_1) $ 和点 $ B(x_2,y_2) $，且当 $ x_1＜x_2 $ 时，$ y_1＞y_2 $，则 $ m $ 的取值范围是
$m＞\frac{1}{2}$
。答案
$m＞\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先回忆正比例函数$y=kx$的增减性规律：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。题目中给出$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，说明$y$随$x$的增大而减小，因此函数的比例系数$1-2m＜0$，最后解这个一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=(1-2m)x$的图象经过点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，且当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$
∴ 该函数的$y$随$x$的增大而减小
∴ 比例系数满足：$1-2m＜0$
移项得：$-2m＜-1$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：$m＞\frac{1}{2}$
【答案】
$m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
正比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查正比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，解题关键是先根据自变量和函数值的大小变化判断比例系数的符号，再通过解不等式求出参数范围，属于正比例函数性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆正比例函数$y=kx$的增减性规律：当$k＞0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$k＜0$时，$y$随$x$的增大而减小。题目中给出$x_1＜x_2$时$y_1＞y_2$，说明$y$随$x$的增大而减小，因此函数的比例系数$1-2m＜0$，最后解这个一元一次不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：
∵ 正比例函数$y=(1-2m)x$的图象经过点$A(x_1,y_1)$和$B(x_2,y_2)$，且当$x_1＜x_2$时，$y_1＞y_2$
∴ 该函数的$y$随$x$的增大而减小
∴ 比例系数满足：$1-2m＜0$
移项得：$-2m＜-1$
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，解得：$m＞\frac{1}{2}$
【答案】
$m＞\frac{1}{2}$
【知识点】
正比例函数的性质；解一元一次不等式
【点评】
本题核心考查正比例函数增减性与比例系数符号的对应关系，解题关键是先根据自变量和函数值的大小变化判断比例系数的符号，再通过解不等式求出参数范围，属于正比例函数性质的基础应用题型。
【难度系数】
0.8
9. 已知函数$y=(m-1)x^{m^2 -3}$是正比例函数.
(1)若y随x的增大而增大,求m的值;
(2)若函数图象经过第二、四象限,求m的值.
(1)若y随x的增大而增大,求m的值;
(2)若函数图象经过第二、四象限,求m的值.
答案
(1)2
(2)$-2$
(2)$-2$
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的定义条件，再结合正比例函数的性质筛选参数m的取值：
1. 第一步先根据正比例函数的定义列关系：正比例函数要求自变量x的次数为1，且x的系数不为0，据此先求出m的所有可能取值；
2. 第二步结合两个小问的性质筛选：(1)y随x增大而增大，说明x的系数大于0；(2)图象过第二、四象限，说明x的系数小于0，分别从m的可能值中选出符合要求的结果即可。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 3 = 1 \\ m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程：$m^2=4$，得$m=2$或$m=-2$；
解第二个不等式：$m≠1$，因此m的可能取值为2或-2。
(1) 因为y随x的增大而增大，所以正比例系数$m-1＞0$，即$m＞1$，结合m的可能取值，得$m=2$。
(2) 因为函数图象经过第二、四象限，所以正比例系数$m-1＜0$，即$m＜1$，结合m的可能取值，得$m=-2$。
【答案】
(1)$2$；(2)$-2$
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，解题时要先根据定义确定参数的取值范围，尤其不能遗漏“比例系数不为0”的隐含前提，再结合函数性质筛选符合要求的结果即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确正比例函数的定义条件，再结合正比例函数的性质筛选参数m的取值：
1. 第一步先根据正比例函数的定义列关系：正比例函数要求自变量x的次数为1，且x的系数不为0，据此先求出m的所有可能取值；
2. 第二步结合两个小问的性质筛选：(1)y随x增大而增大，说明x的系数大于0；(2)图象过第二、四象限，说明x的系数小于0，分别从m的可能值中选出符合要求的结果即可。
【解析】
根据正比例函数的定义，可得：
$\begin{cases}m^2 - 3 = 1 \\ m - 1 ≠ 0\end{cases}$
解第一个方程：$m^2=4$，得$m=2$或$m=-2$；
解第二个不等式：$m≠1$，因此m的可能取值为2或-2。
(1) 因为y随x的增大而增大，所以正比例系数$m-1＞0$，即$m＞1$，结合m的可能取值，得$m=2$。
(2) 因为函数图象经过第二、四象限，所以正比例系数$m-1＜0$，即$m＜1$，结合m的可能取值，得$m=-2$。
【答案】
(1)$2$；(2)$-2$
【知识点】
1. 正比例函数的定义
2. 正比例函数的图象与性质
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，解题时要先根据定义确定参数的取值范围，尤其不能遗漏“比例系数不为0”的隐含前提，再结合函数性质筛选符合要求的结果即可。
【难度系数】
0.8
