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1.若一个直角三角形的两条直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条直角边长分别为2和4，则这两个直角三角形（填“一定”“不一定”或“一定不”）相似。
答案
一定。
解析
解：
∵ 两个三角形均为直角三角形，
∴ 两组直角边的夹角均为90°，夹角相等。
又 $\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，即两个三角形的两组直角边对应成比例，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得这两个直角三角形一定相似。
∵ 两个三角形均为直角三角形，
∴ 两组直角边的夹角均为90°，夹角相等。
又 $\frac{3}{2}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$，即两个三角形的两组直角边对应成比例，
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得这两个直角三角形一定相似。
2.如图,在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,AB=9,AC=6.若要使△ABC∽△ACD,只要AD=.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAC = ∠CAD。
若△ABC∽△ACD，则对应边成比例：
$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$
将AB=9，AC=6代入得：
$\frac{9}{6}=\frac{6}{AD}$
解得：$AD=4$。
最终
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠BAC = ∠CAD。
若△ABC∽△ACD，则对应边成比例：
$\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD}$
将AB=9，AC=6代入得：
$\frac{9}{6}=\frac{6}{AD}$
解得：$AD=4$。
最终
3.如图，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠C=80°。当∠ADE=时，△ADE∽△ACB.
答案
$\boldsymbol{80°}$
解析
解：
∵ △ADE∽△ACB，
∴ ∠ADE与∠C是对应角，可得∠ADE = ∠C。
已知∠C=80°，
∴ ∠ADE=80°。
∵ △ADE∽△ACB，
∴ ∠ADE与∠C是对应角，可得∠ADE = ∠C。
已知∠C=80°，
∴ ∠ADE=80°。
4. 提升题 如图，在平面直角坐标系中，有点A(6,0)和B(0,8)，C为AB的中点，点D在y轴上。当点D的坐标为时，以B,C,D为顶点的三角形与△AOB相似。
答案
解：
∵ A(6,0)，B(0,8)
∴ OA=6，OB=8，∠AOB=90°
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵ C为AB的中点
∴ $BC=\frac{1}{2}AB=5$，C点坐标为(3,4)
点D在y轴上，∠CBD=∠ABO，△AOB为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当∠CDB=∠AOB=90°时，△BDC∽△BOA
此时CD//x轴，D点纵坐标与C点纵坐标相等为4，横坐标为0，即D(0,4)
验证：$BD=8-4=4$，$\frac{BD}{BO}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{BA}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，满足相似判定条件。
2. 当∠BCD=∠AOB=90°时，△BCD∽△BOA
∴ $\frac{BC}{BO}=\frac{BD}{BA}$
代入数值：$\frac{5}{8}=\frac{BD}{10}$，解得$BD=\frac{25}{4}$
∴ $OD=OB-BD=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$，即$D(0,\frac{7}{4})$
综上，点D的坐标为$\boldsymbol{(0,4)}$或$\boldsymbol{(0,\frac{7}{4})}$。
∵ A(6,0)，B(0,8)
∴ OA=6，OB=8，∠AOB=90°
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
∵ C为AB的中点
∴ $BC=\frac{1}{2}AB=5$，C点坐标为(3,4)
点D在y轴上，∠CBD=∠ABO，△AOB为直角三角形，分两种情况讨论：
1. 当∠CDB=∠AOB=90°时，△BDC∽△BOA
此时CD//x轴，D点纵坐标与C点纵坐标相等为4，横坐标为0，即D(0,4)
验证：$BD=8-4=4$，$\frac{BD}{BO}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{BA}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$，满足相似判定条件。
2. 当∠BCD=∠AOB=90°时，△BCD∽△BOA
∴ $\frac{BC}{BO}=\frac{BD}{BA}$
代入数值：$\frac{5}{8}=\frac{BD}{10}$，解得$BD=\frac{25}{4}$
∴ $OD=OB-BD=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}$，即$D(0,\frac{7}{4})$
综上，点D的坐标为$\boldsymbol{(0,4)}$或$\boldsymbol{(0,\frac{7}{4})}$。
5.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$,$B$,$C$,$E$在同一条直线上,且$∠ D=∠ CAE$.
(1)求证:$△ ABD ∽ △ ECA$;
(2)若$AC=6$,$CE=4$,求$BD$的长.
(1)求证:$△ ABD ∽ △ ECA$;
(2)若$AC=6$,$CE=4$,求$BD$的长.
答案
证明：(1) ∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠ACB。
∵ 点D,B,C,E在同一条直线上，
∴ ∠ABD = 180° - ∠ABC，∠ECA = 180° - ∠ACB，
∴ ∠ABD = ∠ECA。
又∵ ∠D = ∠CAE，
∴ △ABD ∽ △ECA。
解：(2) ∵ AB=AC，AC=6，
∴ AB=6。
∵ △ABD ∽ △ECA，
∴ $\frac{BD}{CA}=\frac{AB}{CE}$。
将AC=6，CE=4，AB=6代入得：
$\frac{BD}{6}=\frac{6}{4}$，
解得 BD=9。
∴ ∠ABC=∠ACB。
∵ 点D,B,C,E在同一条直线上，
∴ ∠ABD = 180° - ∠ABC，∠ECA = 180° - ∠ACB，
∴ ∠ABD = ∠ECA。
又∵ ∠D = ∠CAE，
∴ △ABD ∽ △ECA。
解：(2) ∵ AB=AC，AC=6，
∴ AB=6。
∵ △ABD ∽ △ECA，
∴ $\frac{BD}{CA}=\frac{AB}{CE}$。
将AC=6，CE=4，AB=6代入得：
$\frac{BD}{6}=\frac{6}{4}$，
解得 BD=9。
6. 如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH都是正方形.
(1)求证：△ACF∽△GCA；
(2)求∠1+∠2的度数.
(1)求证：△ACF∽△GCA；
(2)求∠1+∠2的度数.
答案
(1) 证明：
设正方形ABCD、CDEF、EFGH的边长均为$a$，
∵ 四边形ABCD是正方形，$∠ B=90°$，
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，
又 $CF=a$，$CG=CF+FG=2a$，
∴ $\frac{AC}{CF}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，$\frac{CG}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2}$，
∴ $\frac{AC}{CF}=\frac{CG}{AC}$，
又∵ $∠ ACF=∠ GCA$（公共角），
∴ $△ ACF ∽ △ GCA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
∵ $△ ACF ∽ △ GCA$，
∴ $∠ 1=∠ CAF$，
∵ 四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴ $∠ ACB=45°$，
又∵ $∠ ACB$是$△ ACF$的外角，
∴ $∠ ACB=∠ 2+∠ CAF=45°$，
∴ $∠ 1+∠ 2=∠ CAF+∠ 2=45°$。
最终结论：$∠1+∠2=45°$。
设正方形ABCD、CDEF、EFGH的边长均为$a$，
∵ 四边形ABCD是正方形，$∠ B=90°$，
∴ $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，
又 $CF=a$，$CG=CF+FG=2a$，
∴ $\frac{AC}{CF}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$，$\frac{CG}{AC}=\frac{2a}{\sqrt{2}a}=\sqrt{2}$，
∴ $\frac{AC}{CF}=\frac{CG}{AC}$，
又∵ $∠ ACF=∠ GCA$（公共角），
∴ $△ ACF ∽ △ GCA$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
---
(2) 解：
∵ $△ ACF ∽ △ GCA$，
∴ $∠ 1=∠ CAF$，
∵ 四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴ $∠ ACB=45°$，
又∵ $∠ ACB$是$△ ACF$的外角，
∴ $∠ ACB=∠ 2+∠ CAF=45°$，
∴ $∠ 1+∠ 2=∠ CAF+∠ 2=45°$。
最终结论：$∠1+∠2=45°$。
