1. 如图,添加以下条件,仍不能直接证明$△ ABC$与$△ ADE$相似的是()

A.$∠ B=∠ ADE$
B.$∠ C=∠ AED$
C.$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$
D.$\frac{AC}{AE}=\frac{CB}{ED}$

D

已知△ABC与△ADE有公共角∠A：
1. 选项A：∠B=∠ADE，结合∠A=∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似，可直接证明两三角形相似；
2. 选项B：∠C=∠AED，结合∠A=∠A，根据两角分别相等的两个三角形相似，可直接证明两三角形相似；
3. 选项C：$\frac{AC}{AE}=\frac{AB}{AD}$，且两组边的夹角为公共角∠A，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可直接证明两三角形相似；
4. 选项D：$\frac{AC}{AE}=\frac{CB}{ED}$，对应成比例的两组边的夹角不是公共角∠A，不满足相似三角形的判定定理，不能直接证明两三角形相似。

2.如图，$△ ABC$与$△ A'B'C'$位似，点O为位似中心.若$AA'=3OA'$，$B'C'=5$，则BC的长为（）

A.15
B.20
C.10
D.5

C

根据位似的性质，位似图形的对应边之比等于对应点到位似中心的距离之比。
已知点O为位似中心，A、O、A'共线，因此$AA' = OA + OA'$。
由$AA'=3OA'$，代入得$OA + OA' = 3OA'$，推导得$OA=2OA'$，即位似比$\frac{OA}{OA'}=2$。
因此$\frac{BC}{B'C'}=\frac{OA}{OA'}=2$，将$B'C'=5$代入，得$BC=2×5=10$。

3. 提升题 如图，已知$△ ABC$的面积是12，$BC=6$，点$E$，$I$分别在边$AB$，$AC$上.若在$BC$边上依次作了$n$个全等的小正方形$DEFG$，$GFMN$，…，$KHIJ$，则每个小正方形的边长为()


A.$\frac{12}{11}$
B.$\frac{12}{2n-3}$
C.$\frac{12}{5}$
D.$\frac{12}{2n+3}$

D

首先过点A作BC边上的高h，由△ABC面积为12，BC=6，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}· BC· h$，得$12=\frac{1}{2}×6× h$，解得$h=4$。
设每个小正方形的边长为$x$，则平行于BC的线段EI的长度为$nx$，且$EI// BC$，因此$△ AEI ∽ △ ABC$。
$△ AEI$的高为$h-x=4-x$，由相似三角形对应高的比等于相似比，得：
$\frac{EI}{BC}=\frac{4-x}{4}$
代入$EI=nx$、$BC=6$，得$\frac{nx}{6}=\frac{4-x}{4}$，整理得$2nx=12-3x$，即$x(2n+3)=12$，解得$x=\frac{12}{2n+3}$。

4.综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度.如图，把一面镜子放在与假山AC底部距离为21 m的点B处，然后沿着射线CB后退到点D，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量BD=2.4 m.若小宇的眼睛到地面的距离DE=1.6 m，则假山AC的高度为m.

解：由光学反射原理可得∠EBD=∠ABC，
∵DE⊥DC，AC⊥DC，
∴∠D=∠C=90°，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}=\frac{BD}{BC}$，
将DE=1.6 m，BD=2.4 m，BC=21 m代入得：
$\frac{1.6}{AC}=\frac{2.4}{21}$，
解得$AC=14$。
答：假山AC的高度为14 m。

5.如图，把$△ ABC$沿$AB$边平移到$△ DEF$的位置，边$BC$与$DF$相交于点$H$.设$△ HDB$的面积为$S_1$，四边形$ADHC$的面积为$S_2$.若$S_1:S_2=4:5$，$AB=4$，则此三角形移动的距离$AD$为.

$\boldsymbol{\frac{4}{3}}$

解：
∵ △ABC沿AB边平移到△DEF的位置，
∴ AC//DH，△ABC ≌ △DEF，
∴ △HDB ∽ △CAB。
∵ S₁:S₂ = 4:5，
∴ S△HDB : S△ABC = 4:(4+5) = 4:9。
由相似三角形面积比等于相似比的平方，得：
$(\frac{DB}{AB})^2 = \frac{4}{9}$
∵ 相似比为正，
∴ $\frac{DB}{AB} = \frac{2}{3}$。
∵ AB = 4，
∴ $DB = \frac{2}{3} × 4 = \frac{8}{3}$，
∴ $AD = AB - DB = 4 - \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$。
最终

6. 如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边CD,AD上的点,且$AE⊥ BF$,$AE=BF$.
(1)求证:矩形ABCD是正方形;
(2)连接BE,EF,若$DF^2=AF· AD$,求证:$∠ DEF=∠ ABE$.

7. 提升题 根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫作相似四边形,相似四边形对应边的比叫作相似比.
(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们的真假(填“真”或“假”).
①四条边成比例的两个凸四边形相似(命题);②三个角分别相等的两个凸四边形相似(命题);③两个大小不同的正方形相似(命题).
(2)如图①,在四边形ABCD和四边形$A_1B_1C_1D_1$中,$∠ ABC=∠ A_1B_1C_1$,$∠ BCD=∠ B_1C_1D_1$,$\frac{AB}{A_1B_1}=\frac{BC}{B_1C_1}=\frac{CD}{C_1D_1}$.求证:四边形ABCD与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似.
(3)如图②,在四边形ABCD中,$AB// CD$,AC与BD相交于点O,过点O作$EF// AB$分别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为$S_1$,四边形EFCD的面积为$S_2$.若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求$\frac{S_2}{S_1}$的值.

第6题解答
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ BAD = ∠ D = 90°$，
∴ $∠ BAE + ∠ DAE = 90°$。
∵ $AE ⊥ BF$，
∴ $∠ ABF + ∠ BAE = 90°$，
∴ $∠ ABF = ∠ DAE$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\begin{cases}∠ BAF = ∠ D \\∠ ABF = ∠ DAE \\BF = AE\end{cases}$
∴ $△ ABF ≌ △ DAE \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $AB = AD$，
∴ 矩形$ABCD$是正方形。
(2) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是正方形，
∴ $AB = AD = CD$，$∠ D = ∠ C = 90°$。
由$△ ABF ≌ △ DAE$得$AF = DE$，
∴ $AD - AF = CD - DE$，即$DF = CE$。
已知$DF^2 = AF · AD$，将$DF=CE$，$AF=DE$，$AD=BC$代入得：
$CE^2 = DE · BC$，即$\frac{DE}{CE} = \frac{CE}{BC}$。
又$∠ D = ∠ C = 90°$，
∴ $△ DEF ∽ △ CEB$，
∴ $∠ DEF = ∠ CEB$。
∵ $AB // CD$，
∴ $∠ ABE = ∠ CEB$，
∴ $∠ DEF = ∠ ABE$。
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第7题解答
(1) ① $\boldsymbol{假}$；② $\boldsymbol{假}$；③ $\boldsymbol{真}$。
(2) 证明：
连接$BD$、$B_1D_1$。
∵ $∠ BCD = ∠ B_1C_1D_1$，$\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CD}{C_1D_1}$，
∴ $△ BCD ∽ △ B_1C_1D_1$，
∴ $∠ CBD = ∠ C_1B_1D_1$，$∠ CDB = ∠ C_1D_1B_1$，$\frac{BD}{B_1D_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$。
∵ $∠ ABC = ∠ A_1B_1C_1$，
∴ $∠ ABC - ∠ CBD = ∠ A_1B_1C_1 - ∠ C_1B_1D_1$，即$∠ ABD = ∠ A_1B_1D_1$。
又$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BD}{B_1D_1}$，
∴ $△ ABD ∽ △ A_1B_1D_1$，
∴ $∠ A = ∠ A_1$，$∠ ADB = ∠ A_1D_1B_1$，$\frac{AD}{A_1D_1} = \frac{AB}{A_1B_1}$。
∴ $∠ ADC = ∠ ADB + ∠ CDB = ∠ A_1D_1B_1 + ∠ C_1D_1B_1 = ∠ A_1D_1C_1$。
综上：$∠ A = ∠ A_1$，$∠ ABC = ∠ A_1B_1C_1$，$∠ BCD = ∠ B_1C_1D_1$，$∠ ADC = ∠ A_1D_1C_1$，且$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{CD}{C_1D_1} = \frac{AD}{A_1D_1}$，
∴ 四边形$ABCD$与四边形$A_1B_1C_1D_1$相似。
(3) 解：
∵ $AB // CD$，$EF // AB$，
∴ $AB // EF // CD$，四边形$ABFE$、四边形$EFCD$均为梯形。
∵ 四边形$ABFE$与四边形$EFCD$相似，
∴ $\frac{AB}{EF} = \frac{EF}{CD}$，即$EF^2 = AB · CD$。
∵ $AB // CD$，∴ $△ DOC ∽ △ AOB$，得$\frac{AO}{AC} = \frac{AB}{AB+CD}$。
∵ $OE // CD$，∴ $△ AEO ∽ △ ADC$，得$\frac{OE}{CD} = \frac{AO}{AC} = \frac{AB}{AB+CD}$，即$OE = \frac{AB · CD}{AB+CD}$。
同理可得$OF = \frac{AB · CD}{AB+CD}$，
∴ $EF = OE + OF = \frac{2AB · CD}{AB+CD}$。
将$EF^2 = AB · CD$代入得：
$( \frac{2AB · CD}{AB+CD} )^2 = AB · CD$，
约去$AB · CD$得：$\frac{4AB · CD}{(AB+CD)^2} = 1$，整理得$(AB - CD)^2 = 0$，即$AB = CD$。
此时$EF = AB = CD$，四边形$ABCD$为平行四边形，$E$、$F$分别为$AD$、$BC$中点，两个四边形全等，相似比为$1$。
根据相似多边形面积比等于相似比的平方，得$\frac{S_2}{S_1} = 1$。
最终结论：$\boldsymbol{\frac{S_2}{S_1} = 1}$。