1.如图,手机解锁图案由$3×3$的点阵组成.若水平、竖直方向相邻两点间的距离均为1,则$\cosα=$.
（第1题）

$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

解：设点C为坐标原点(0,0)，根据题意可得点A坐标为(0,2)，点B坐标为(1,2)。
过点B作BD⊥AC，垂足为D，则D点坐标为(0,2)。
可得CD=2，BD=1，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：
$CB=\sqrt{CD^2+BD^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$
根据余弦的定义：
$\cosα=\frac{CD}{CB}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

2.如图，台灯的灯臂AB，BC可以折叠，AB=BC=20 cm.当∠ABC=150°，∠OAB=60°时，台灯C离桌面的高度是cm(底座高度忽略不计).

$\boldsymbol{20+10\sqrt{3}}$

解：
过点B作BD⊥桌面于点D，过点B作水平直线BF平行于桌面。
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠BAD=∠OAB=60°，AB=20 cm，
∴ BD = AB·sin60° = 20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $10\sqrt{3}$ cm。
∵ BF//桌面，
∴ ∠ABF = 180° - ∠OAB = 120°，
又∵ ∠ABC=150°，
∴ ∠FBC = ∠ABC - ∠ABF = 150° - 120° = 30°，
∴ BC与竖直方向的夹角为90° - 30° = 0°，即BC沿竖直向上方向，
∴ BC的竖直高度分量为BC=20 cm，
∴ 点C离桌面的高度为 BD + 20 = $(20 + 10\sqrt{3})$ cm。

3. 提升题【研学实践】
“五一”节期间，许多露营爱好者在某研学基地露营，为了遮阳或防雨，会搭建一种“天幕”.同学们想借此机会利用解直角三角形的知识，探究支杆角度大小对遮阳宽度的影响.
【数据采集】
“天幕”截面示意图是轴对称图形，如图，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上.通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，$AC=AD=2\ \mathrm{m}$，$BF=3\ \mathrm{m}$.
【数据应用】
(1)天晴时打开“天幕”，若$∠ α =64°$，求遮阳宽度$CD$的长；
(2)下雨时收拢“天幕”，若$∠ α$从$64°$减少到$45°$，求点$E$下降的高度(结果保留小数点后一位).
(参考数据：$\sin 64° \approx 0.90$，$\cos 64° \approx 0.44$，$\tan 64° \approx 2.05$，$\sqrt{2} \approx 1.41$).

解：
(1) 由题意知，AB垂直平分CD，因此$OC=OD$，$∠ AOD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ AOD$中，$AD=2\ \mathrm{m}$，$∠ α=64°$，
$\because \sinα=\dfrac{OD}{AD}$，
$\therefore OD=AD·\sin64°\approx2×0.90=1.80\ \mathrm{m}$，
$\therefore CD=2OD=3.6\ \mathrm{m}$。
(2) 过点$E$作$EG⊥ AB$于点$G$，
由题意可知四边形$BFEG$是矩形，因此$EG=BF=3\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ AEG$中，$∠ AGE=90°$，$∠ EAG=α$，
$\because \tanα=\dfrac{EG}{AG}$，
$\therefore AG=\dfrac{EG}{\tanα}$。
当$∠α=64°$时，$AG_1=\dfrac{3}{\tan64°}\approx\dfrac{3}{2.05}\approx1.46\ \mathrm{m}$，
当$∠α=45°$时，$AG_2=\dfrac{3}{\tan45°}=\dfrac{3}{1}=3\ \mathrm{m}$，
$\therefore$ 点$E$下降的高度为$AG_2-AG_1\approx3-1.46\approx1.5\ \mathrm{m}$。
答：(1) 遮阳宽度$CD$的长为$3.6\ \mathrm{m}$；(2) 点$E$下降的高度约为$1.5\ \mathrm{m}$。