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9. 若点 P 关于 x 轴的对称点为 $ P_1(2a+b, -a+1) $，关于 y 轴的对称点为 $ P_2(4-b, b+2) $，求点 P 的坐标.
答案
9. 点$P$的坐标为$(-9,-3).$
解析
【分析】
要确定点P的坐标，可根据关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，分别用P₁、P₂的坐标表示出点P的坐标，由于两个表达式均表示点P，因此对应横、纵坐标分别相等，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b后代入即可求出点P的坐标。
【解析】
∵ 点P关于x轴的对称点为$P_1(2a+b, -a+1)$，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，可得点P的坐标为$(2a+b, a-1)$。
又
∵ 点P关于y轴的对称点为$P_2(4-b, b+2)$，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可得点P的坐标为$(b-4, b+2)$。
由于两个表达式均为点P的坐标，因此对应坐标相等，列方程组得：
$\begin{cases}2a + b = b - 4 \\a - 1 = b + 2 \end{cases}$
解第一个方程：$2a + b = b - 4$，化简得$2a=-4$，解得$a=-2$。
将$a=-2$代入第二个方程：$-2 - 1 = b + 2$，解得$b=-5$。
将$a=-2$，$b=-5$代入$P(2a+b, a-1)$，得：
横坐标：$2×(-2) + (-5) = -9$，纵坐标：$-2 - 1 = -3$。
【答案】
$(-9,-3)$
【知识点】
1. 坐标轴对称的点的坐标特征 2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查坐标轴对称性质的应用，解题核心是通过对称性质得到同一点的两种坐标表示，进而建立方程组求解未知参数，掌握轴对称的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要确定点P的坐标，可根据关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，分别用P₁、P₂的坐标表示出点P的坐标，由于两个表达式均表示点P，因此对应横、纵坐标分别相等，即可得到关于a、b的二元一次方程组，解出a、b后代入即可求出点P的坐标。
【解析】
∵ 点P关于x轴的对称点为$P_1(2a+b, -a+1)$，根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，可得点P的坐标为$(2a+b, a-1)$。
又
∵ 点P关于y轴的对称点为$P_2(4-b, b+2)$，根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可得点P的坐标为$(b-4, b+2)$。
由于两个表达式均为点P的坐标，因此对应坐标相等，列方程组得：
$\begin{cases}2a + b = b - 4 \\a - 1 = b + 2 \end{cases}$
解第一个方程：$2a + b = b - 4$，化简得$2a=-4$，解得$a=-2$。
将$a=-2$代入第二个方程：$-2 - 1 = b + 2$，解得$b=-5$。
将$a=-2$，$b=-5$代入$P(2a+b, a-1)$，得：
横坐标：$2×(-2) + (-5) = -9$，纵坐标：$-2 - 1 = -3$。
【答案】
$(-9,-3)$
【知识点】
1. 坐标轴对称的点的坐标特征 2. 二元一次方程组的解法
【点评】
本题考查坐标轴对称性质的应用，解题核心是通过对称性质得到同一点的两种坐标表示，进而建立方程组求解未知参数，掌握轴对称的坐标变化规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10.已知点$A(3,2),B(3,4),C(-4,-2),D(2,-2)$，请在如图所示的平面直角坐标系中描出各点.
(1)点A与点B能是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？请画出对称轴.
(2)点C与点D能是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？请画出对称轴.
(3)归纳对称点与对称轴的关系.
(4)已知点$M(-1,-3)$，写出它关于直线$x=2$对称的点N的坐标和它关于直线$y=1$对称的点Q的坐标.
(1)点A与点B能是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？请画出对称轴.
(2)点C与点D能是对称点吗？如果是对称点，对称轴是什么？请画出对称轴.
(3)归纳对称点与对称轴的关系.
(4)已知点$M(-1,-3)$，写出它关于直线$x=2$对称的点N的坐标和它关于直线$y=1$对称的点Q的坐标.
答案
10. 描点略.
(1)$A,B$两点能是对称点,对称轴是直线$y=3$(画图略).
(2)$C,D$两点能是对称点,对称轴是直线$x=-1$(画图略).
(3)横坐标相同的两点$(x,y_1)$与$(x,y_2)$关于直线$y=\frac{y_1+y_2}{2}$对称；
纵坐标相同的两点$(x_1,y)$与$(x_2,y)$关于直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$对称.
(4)$N(5,-3),Q(-1,5).$
(1)$A,B$两点能是对称点,对称轴是直线$y=3$(画图略).
(2)$C,D$两点能是对称点,对称轴是直线$x=-1$(画图略).
(3)横坐标相同的两点$(x,y_1)$与$(x,y_2)$关于直线$y=\frac{y_1+y_2}{2}$对称；
纵坐标相同的两点$(x_1,y)$与$(x_2,y)$关于直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$对称.
(4)$N(5,-3),Q(-1,5).$
解析
【分析】
解题时首先根据点的横纵坐标在坐标系中定位描点；判断两点是否对称时，先观察坐标共性：若横坐标相同，两点连线平行于y轴，对称轴是过两点中点、平行于x轴的直线；若纵坐标相同，两点连线平行于x轴，对称轴是过两点中点、平行于y轴的直线。再根据两类情况归纳对称点与对称轴的关系，最后应用规律求解对称点坐标：关于平行于y轴的直线对称时纵坐标不变，横坐标的平均值等于对称轴的x值；关于平行于x轴的直线对称时横坐标不变，纵坐标的平均值等于对称轴的y值，列等式计算即可。
【解析】
1. 描点：根据各点横纵坐标，在坐标系中找到对应位置：A(3,2)对应x=3、y=2的交点，B(3,4)对应x=3、y=4的交点，C(-4,-2)对应x=-4、y=-2的交点，D(2,-2)对应x=2、y=-2的交点，依次描出即可。
(1) 点A、B横坐标均为3，两点连线为竖直线，中点坐标为$(3,\frac{2+4}{2})=(3,3)$，对称轴过中点且垂直于AB，故对称轴为水平直线$y=3$，因此A、B是对称点，过点(0,3)作平行于x轴的直线即为对称轴。
(2) 点C、D纵坐标均为-2，两点连线为水平线，中点坐标为$(\frac{-4+2}{2},-2)=(-1,-2)$，对称轴过中点且垂直于CD，故对称轴为竖直直线$x=-1$，因此C、D是对称点，过点(-1,0)作平行于y轴的直线即为对称轴。
(3) 结合前两问归纳规律：
① 横坐标相同的两点$(x,y_1)$与$(x,y_2)$，关于直线$y=\frac{y_1+y_2}{2}$对称；
② 纵坐标相同的两点$(x_1,y)$与$(x_2,y)$，关于直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$对称。
(4) 求M(-1,-3)的对称点：
① 关于$x=2$对称的点N：纵坐标不变，设N横坐标为$a$，则$\frac{-1+a}{2}=2$，解得$a=5$，即$N(5,-3)$；
② 关于$y=1$对称的点Q：横坐标不变，设Q纵坐标为$b$，则$\frac{-3+b}{2}=1$，解得$b=5$，即$Q(-1,5)$。
【答案】
描点略.
(1)$A,B$两点能是对称点,对称轴是直线$y=3$(画图略).
(2)$C,D$两点能是对称点,对称轴是直线$x=-1$(画图略).
(3)横坐标相同的两点$(x,y_1)$与$(x,y_2)$关于直线$y=\frac{y_1+y_2}{2}$对称；
纵坐标相同的两点$(x_1,y)$与$(x_2,y)$关于直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$对称.
(4)$N(5,-3),Q(-1,5).$
【知识点】
坐标表示轴对称，轴对称的性质，点的坐标特征
【点评】
本题从具体点的对称关系出发，引导学生归纳平行于坐标轴的直线为对称轴时的坐标变化规律，再应用规律解决问题，侧重考查归纳能力和规律应用能力，是坐标轴对称相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据点的横纵坐标在坐标系中定位描点；判断两点是否对称时，先观察坐标共性：若横坐标相同，两点连线平行于y轴，对称轴是过两点中点、平行于x轴的直线；若纵坐标相同，两点连线平行于x轴，对称轴是过两点中点、平行于y轴的直线。再根据两类情况归纳对称点与对称轴的关系，最后应用规律求解对称点坐标：关于平行于y轴的直线对称时纵坐标不变，横坐标的平均值等于对称轴的x值；关于平行于x轴的直线对称时横坐标不变，纵坐标的平均值等于对称轴的y值，列等式计算即可。
【解析】
1. 描点：根据各点横纵坐标，在坐标系中找到对应位置：A(3,2)对应x=3、y=2的交点，B(3,4)对应x=3、y=4的交点，C(-4,-2)对应x=-4、y=-2的交点，D(2,-2)对应x=2、y=-2的交点，依次描出即可。
(1) 点A、B横坐标均为3，两点连线为竖直线，中点坐标为$(3,\frac{2+4}{2})=(3,3)$，对称轴过中点且垂直于AB，故对称轴为水平直线$y=3$，因此A、B是对称点，过点(0,3)作平行于x轴的直线即为对称轴。
(2) 点C、D纵坐标均为-2，两点连线为水平线，中点坐标为$(\frac{-4+2}{2},-2)=(-1,-2)$，对称轴过中点且垂直于CD，故对称轴为竖直直线$x=-1$，因此C、D是对称点，过点(-1,0)作平行于y轴的直线即为对称轴。
(3) 结合前两问归纳规律：
① 横坐标相同的两点$(x,y_1)$与$(x,y_2)$，关于直线$y=\frac{y_1+y_2}{2}$对称；
② 纵坐标相同的两点$(x_1,y)$与$(x_2,y)$，关于直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$对称。
(4) 求M(-1,-3)的对称点：
① 关于$x=2$对称的点N：纵坐标不变，设N横坐标为$a$，则$\frac{-1+a}{2}=2$，解得$a=5$，即$N(5,-3)$；
② 关于$y=1$对称的点Q：横坐标不变，设Q纵坐标为$b$，则$\frac{-3+b}{2}=1$，解得$b=5$，即$Q(-1,5)$。
【答案】
描点略.
(1)$A,B$两点能是对称点,对称轴是直线$y=3$(画图略).
(2)$C,D$两点能是对称点,对称轴是直线$x=-1$(画图略).
(3)横坐标相同的两点$(x,y_1)$与$(x,y_2)$关于直线$y=\frac{y_1+y_2}{2}$对称；
纵坐标相同的两点$(x_1,y)$与$(x_2,y)$关于直线$x=\frac{x_1+x_2}{2}$对称.
(4)$N(5,-3),Q(-1,5).$
【知识点】
坐标表示轴对称，轴对称的性质，点的坐标特征
【点评】
本题从具体点的对称关系出发，引导学生归纳平行于坐标轴的直线为对称轴时的坐标变化规律，再应用规律解决问题，侧重考查归纳能力和规律应用能力，是坐标轴对称相关知识的基础应用题型。
【难度系数】
0.7
