1. (2024秋陇南期末)多项式$x^2 + 3xy^2 - \frac{1}{2}z -1$的一次项系数是（）

A.3
B.1
C.$-\frac{1}{2}$
D.$-1$

C

【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路逐步推导：首先回忆多项式的相关基础概念，第一步先把多项式拆分为独立的项，注意每个项要包含前面的符号；第二步分别计算每个项的次数，项的次数是该项中所有字母的指数之和，不含字母的常数项次数为0；第三步找到次数为1的一次项，最后确定一次项的系数，系数是项中除字母外的数字部分，同样要带上前面的符号，再匹配对应选项即可得到答案。
【解析】
首先拆分多项式$x^2 + 3xy^2 - \frac{1}{2}z -1$的所有项，逐一判断次数：
1. 第一项$x^2$：仅含字母$x$，指数为2，次数是2，属于二次项；
2. 第二项$3xy^2$：含字母$x$（指数1）和$y$（指数2），总次数为$1+2=3$，属于三次项；
3. 第三项$-\frac{1}{2}z$：仅含字母$z$，指数为1，次数是1，属于一次项；
4. 第四项$-1$：不含字母，是常数项，次数为0。
由此可知该多项式的一次项为$-\frac{1}{2}z$，对应的系数为$-\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
多项式的项与次数；单项式的系数
【点评】
本题是多项式相关的基础概念题，解题的关键是准确识别多项式的各个项，明确项的次数、系数的定义，尤其要注意项的系数需要包含前面的符号，避免漏看符号出现错误。
【难度系数】
0.8

2. (2024秋河源期末)在代数式$-1,2x+7,-\frac{x+y}{2π},x(x+1),\frac{m+n}{2}$中，多项式的个数是（）

A.5
B.4
C.3
D.2

B

【分析】
解题需先明确相关定义：单独的数或字母是单项式，几个单项式的和叫做多项式，π是固定常数不属于字母。我们只需逐个判断每个代数式是否符合多项式的定义，排除单项式后统计多项式的个数即可得到答案。
【解析】
首先明确相关概念：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；几个单项式的和叫做多项式。我们逐个分析所给代数式：
1. $-1$：是单独的数字，属于单项式，不是多项式；
2. $2x+7$：是单项式$2x$与单项式$7$的和，属于多项式；
3. $-\frac{x+y}{2π}$：π是常数，因此该式可变形为$-\frac{1}{2π}x - \frac{1}{2π}y$，是两个单项式的和，属于多项式；
4. $x(x+1)$：展开后为$x^2+x$，是单项式$x^2$与单项式$x$的和，属于多项式；
5. $\frac{m+n}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}m+\frac{1}{2}n$，是两个单项式的和，属于多项式。
综上，共有4个多项式。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义；单项式的定义；常数π的性质
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对多项式判定规则的掌握，易错点是容易误将π当做字母、或未对可化简的整式先化简再判断类型。
【难度系数】
0.8

3. (2024秋武汉期末)关于多项式$-5a^2b + 2ab - πb^4 + 2^6$，下列说法正确的是（）

A.这个多项式是六次四项式
B.四次项的系数是π
C.二次项是2ab
D.这个多项式的次数是5

C

【分析】
要解决这道题，需先回忆多项式的相关核心概念：①多项式的每个单项式（带前面的符号）叫做多项式的项，不含字母的项叫常数项；②多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数；③单项式的系数是单项式中的数字因数，单项式的次数是所有字母的指数和。解题时先拆分多项式的所有项，分别确定每一项的系数、次数，再推导整个多项式的次数和项数，最后逐一判断选项即可。
【解析】
先拆分多项式$-5a^2b + 2ab - πb^4 + 2^6$的各项，分别分析：
1. 第一项$-5a^2b$：字母指数和为$2+1=3$，是三次项，系数为$-5$；
2. 第二项$2ab$：字母指数和为$1+1=2$，是二次项，系数为$2$；
3. 第三项$-πb^4$：字母指数和为$4$，是四次项，$π$是常数，因此系数为$-π$；
4. 第四项$2^6$：不含字母，是常数项，次数为0。
接下来逐一判断选项：
A. 该多项式最高次项次数为4，共4个项，是四次四项式，A错误；
B. 四次项为$-πb^4$，系数是$-π$，不是$π$，B错误；
C. 次数为2的项是$2ab$，即二次项为$2ab$，C正确；
D. 多项式的次数是最高次项的次数，为4，不是5，D错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 多项式的项与次数
2. 单项式的系数与次数
【点评】
本题考查多项式的基础概念，解题时需注意π属于常数不是字母，同时不要忽略每一项前面的符号，掌握基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.8

4. 写出一个只含有字母x,y,最高次项系数为-3,且常数项为8的三次二项式:.

$-3x^2 y+8$(答案不唯一)

【分析】
要解决这道题，我们可以先把题目要求拆解为多个明确的小条件，逐一匹配即可：①“三次二项式”说明这个多项式总共有2项，且次数最高的项的次数为3；②“只含有字母x,y”说明除常数项外，其余项只能出现x、y两个字母；③“最高次项系数为-3”说明次数为3的项的数字因数是-3；④“常数项为8”说明不含字母的项是8。因为是二项式，所以除了常数项8之外，剩下的唯一一项就是最高次项，我们只要构造出满足系数为-3、仅含x和y、字母指数和为3的单项式，再加上常数项8即可。
【解析】
第一步：根据“二项式”和“常数项为8”的要求，可知该多项式由两项组成，其中一项是常数项8，另一项为最高次项。
第二步：构造最高次项：要求系数为-3，仅含字母x、y，且次数为3（即x和y的指数相加等于3），例如取x的指数为2，y的指数为1，此时指数和为2+1=3，满足三次的要求，所以最高次项为$-3x^2y$。
第三步：将最高次项和常数项组合，得到多项式$-3x^2y + 8$，该式满足所有题干要求。此外只要最高次项符合要求，还可以写出$-3xy^2+8$、$-3x^3+8$等其他答案，因此答案不唯一。
【答案】
$-3x^2 y+8$(答案不唯一)
【知识点】
多项式的项与次数；单项式的系数与次数；常数项的定义
【点评】
本题属于基础概念应用题，核心考查对多项式、单项式相关基础定义的理解，解题时只需将题干要求拆解为多个小条件，逐一对应构造即可，需注意满足所有约束条件，避免漏看要求。
【难度系数】
0.8

5. 下列式子$-\dfrac{1}{3},\dfrac{3}{a},-π,-5x^2y^3,\dfrac{4}{x^2+y^2},\dfrac{1}{2}-x$中，整式有个.

4

【分析】
首先明确整式的判断标准：整式包含单项式和多项式，其中单项式是数与字母的乘积，单独的一个数或一个字母也属于单项式；多项式是几个单项式的和。核心判断要点：如果式子的分母中含有字母，就不属于整式。接下来逐个判断每个式子是否符合整式的要求，最后统计个数即可。
【解析】
我们逐个分析给出的式子：
1. $-\dfrac{1}{3}$：是单独的常数，属于单项式，是整式；
2. $\dfrac{3}{a}$：分母中含有字母$a$，不属于整式；
3. $-π$：$π$是固定常数，属于单独的常数，是单项式，是整式；
4. $-5x^2y^3$：是数字与字母的乘积，属于单项式，是整式；
5. $\dfrac{4}{x^2+y^2}$：分母中含有字母$x、y$，不属于整式；
6. $\dfrac{1}{2}-x$：是$\dfrac{1}{2}$和$-x$两个单项式的和，属于多项式，是整式。
综上，符合要求的整式一共有4个。
【答案】
4
【知识点】
整式的定义；单项式的定义；多项式的定义
【点评】
本题主要考查整式的识别，解题关键是牢记整式的分类和判断要点，特别注意π是常数不是字母，分母含字母的式子不属于整式，避开这两个常见易错点即可正确解题。
【难度系数】
0.85

6. 填表：
多项式
项
次数
常数项
$x-3$
$x^2 -4xy^4 -8$

$-6ab^2 -9abc^2 -4$
$b^2 +a^2 -2a^2b^2 -9$

多项式$x-3$：项为$x,-3$，次数为1，常数项为$-3$
多项式$x^2 -4xy^4 -8$：项为$x^2,-4xy^4,-8$，次数为5，常数项为$-8$
多项式$-6ab^2 -9abc^2 -4$：项为$-6ab^2,-9abc^2,-4$，次数为4，常数项为$-4$
多项式$b^2 +a^2 -2a^2b^2 -9$：项为$b^2,a^2,-2a^2b^2,-9$，次数为4，常数项为$-9$

【分析】
解决本题需要先明确多项式的三个核心概念：1. 多项式的项：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，注意项要包含它前面的符号；2. 多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数就是该多项式的次数，计算单项式次数时要把所有字母的指数相加；3. 常数项：多项式中不含字母的项叫做常数项。解题时对每个多项式依次拆分找项、计算各单项次数取最大值、提取不含字母的项即可。
【解析】
1. 对于多项式$x-3$：
组成它的单项式为$x$、$-3$，即项为$x,-3$；最高次项是$x$，次数为1；不含字母的项是$-3$，即常数项为$-3$。
2. 对于多项式$x^2 -4xy^4 -8$：
组成它的单项式为$x^2$、$-4xy^4$、$-8$，即项为$x^2,-4xy^4,-8$；其中$-4xy^4$的次数为$1+4=5$，是最高次项，故多项式次数为5；常数项为$-8$。
3. 对于多项式$-6ab^2 -9abc^2 -4$：
组成它的单项式为$-6ab^2$、$-9abc^2$、$-4$，即项为$-6ab^2,-9abc^2,-4$；其中$-9abc^2$的次数为$1+1+2=4$，是最高次项，故多项式次数为4；常数项为$-4$。
4. 对于多项式$b^2 +a^2 -2a^2b^2 -9$：
组成它的单项式为$b^2$、$a^2$、$-2a^2b^2$、$-9$，即项为$b^2,a^2,-2a^2b^2,-9$；其中$-2a^2b^2$的次数为$2+2=4$，是最高次项，故多项式次数为4；常数项为$-9$。
【答案】
多项式$x-3$：项为$x,-3$，次数为1，常数项为$-3$
多项式$x^2 -4xy^4 -8$：项为$x^2,-4xy^4,-8$，次数为5，常数项为$-8$
多项式$-6ab^2 -9abc^2 -4$：项为$-6ab^2,-9abc^2,-4$，次数为4，常数项为$-4$
多项式$b^2 +a^2 -2a^2b^2 -9$：项为$b^2,a^2,-2a^2b^2,-9$，次数为4，常数项为$-9$
【知识点】
多项式的项、多项式的次数、常数项
【点评】
本题是多项式基本概念的基础考查题，解题时要注意多项式的项需要包含前面的正负号，多项式的次数是最高次项的次数，不要误算为所有项次数的和，熟记相关概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9

7.如图,已知长方形的宽为r,长为半圆的直径,半圆的半径为r.
(1)求阴影部分的面积(用代数式表示);
(2)当r=4时,求阴影部分的面积.

解:(1)$S_{阴影}=S_{长方形}-S_{半圆}=2r· r-\frac{1}{2}π r^2=2r^2-\frac{1}{2}π r^2$.
答:阴影部分的面积是$2r^2-\frac{1}{2}π r^2$.
(2)当$r=4$时,$2r^2-\frac{1}{2}π r^2=2×4^2-\frac{1}{2}π×4^2=32-8π$.
答:当$r=4$时,阴影部分的面积是$32-8π$.

【分析】
要求阴影部分面积，可采用割补法中的面积差法求解：首先观察到阴影部分是长方形减去内部空白半圆得到的不规则图形。第一步先确定长方形的参数：长方形宽为r，长等于半圆的直径，已知半圆半径为r，因此长方形的长为2r，根据长方形面积公式即可算出长方形面积；第二步根据圆的面积公式求出整圆面积再除以2得到空白半圆的面积；第三步用长方形面积减去半圆面积就能得到阴影部分面积的代数式。第二问属于代数式求值，只需将r=4直接代入第一问得到的代数式，按先乘方、再乘法、最后加减的运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先计算长方形面积：
长方形的长为半圆的直径=2r，宽为r，因此$S_{长方形}=长×宽=2r·r=2r^2$。
再计算空白半圆的面积：
半圆面积是整圆面积的$\frac{1}{2}$，因此$S_{半圆}=\frac{1}{2}πr^2$。
阴影部分面积为长方形面积减去半圆面积：
$S_{阴影}=S_{长方形}-S_{半圆}=2r^2-\frac{1}{2}πr^2$。
(2) 当$r=4$时，将$r=4$代入$2r^2-\frac{1}{2}πr^2$中计算：
$2r^2-\frac{1}{2}πr^2=2×4^2-\frac{1}{2}π×4^2=2×16-\frac{1}{2}π×16=32-8π$。
【答案】
(1) 阴影部分的面积是$\boldsymbol{2r^2-\frac{1}{2}π r^2}$；
(2) 当$r=4$时，阴影部分的面积是$\boldsymbol{32-8π}$。
【知识点】
列代数式、代数式求值、组合图形面积计算
【点评】
本题核心是通过割补法把不规则阴影面积转化为两个规则图形的面积差，解题时要牢记长方形、圆的面积公式，代入数值计算时注意遵循运算顺序，避免计算错误。
【难度系数】
0.8

8.已知$-5x^{2}y^{m+1}+xy^{2}-3x^{3}-6$是六次四项式，且与单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数相同.
(1)求$m,n$的值；
(2)请写出多项式的各项，并求出各项的系数和.

解:(1)由题意,可知该多项式是六次多项式,
所以$2+m+1=6$,
所以$m=3$.
因为$3x^{2n}y^{5-m}$的次数也是六次,
所以$2n+5-m=6$,
所以$n=2$,
所以$m=3,n=2$.
(2)该多项式为:$-5x^2 y^4 +xy^2 -3x^3 -6$.
各项为$-5x^2 y^4,xy^2,-3x^3,-6$.
各项系数为:$-5,1,-3,-6$,
故系数和为:$-5+1-3-6=-13$.

【分析】
(1) 解题首先回忆相关概念：多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数，单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。观察给出的六次四项式，其余项的次数都低于6，因此最高次项为$-5x^2y^{m+1}$，根据该项次数为6可求出m的值；再根据单项式和多项式次数相同，将m的值代入单项式次数的计算式，即可求出n的值。
(2) 把求得的m代入原多项式，拆分出所有的项（注意保留每项的符号），再分别提取每一项的系数，常数项的系数就是它本身，最后将所有系数相加即可得到系数和。
【解析】
(1) 已知$-5x^{2}y^{m+1}+xy^{2}-3x^{3}-6$是六次四项式，最高次项为$-5x^2y^{m+1}$，因此：
$2+m+1=6$
解得$m=3$
因为单项式$3x^{2n}y^{5-m}$的次数和多项式次数相同，也为6，因此：
$2n+5-m=6$
将$m=3$代入上式，得$2n+5-3=6$
解得$n=2$
(2) 将$m=3$代入原多项式，得多项式为$-5x^2y^4+xy^2-3x^3-6$
各项分别为：$-5x^2y^4$，$xy^2$，$-3x^3$，$-6$
各项的系数依次为：$-5$，$1$，$-3$，$-6$
系数和为：$-5+1-3-6=-13$
【答案】
(1) $m=3$，$n=2$；
(2) 各项为$-5x^2y^4$、$xy^2$、$-3x^3$、$-6$，各项系数和为$-13$。
【知识点】
多项式的次数，单项式的次数，多项式的项与系数
【点评】
本题是整式章节的基础典型题，核心考查基础概念的应用，解题关键是准确掌握多项式、单项式次数的计算规则，拆分多项式项时注意不要遗漏符号，避免因概念混淆或者漏看符号出错。
【难度系数】
0.8

9.如图①,②,③,…是由花盆摆成的图案,图①中有1盆花,图②中有7盆花,图③中有19盆花,…….

(1)根据图中花盆摆放的规律,图④中,应该有盆花,图⑤中,应该有盆花;
(2)请你根据图中花盆摆放的规律,写出第n个图形中花盆的盆数.

(1)37 61
(2)$3n(n-1)+1$

【分析】
我们先观察已知的前3个图形的花盆数量，计算相邻两个图形花盆数的差值寻找规律：图①有1盆，图②比图①多6盆，图③比图②多12盆，差值依次是6的1倍、2倍，由此可推出第k个图形比第k-1个图形多$6×(k-1)$盆，就可以计算图④、图⑤的花盆数；再将规律推广到第n个图形，通过累加差值结合整式运算推导通用公式。
【解析】
(1) 已知各图花盆数如下：
图①：1盆
图②：$1 + 6×1 = 7$盆
图③：$7 + 6×2 = 19$盆
按照规律计算：
图④花盆数 = 图③花盆数 + $6×3$ = $19 + 18 = 37$盆
图⑤花盆数 = 图④花盆数 + $6×4$ = $37 + 24 = 61$盆
(2) 推导第n个图形的花盆数：
第n个图形的花盆数 = 初始1盆 + 每次增加的花盆数之和
每次增加的数量依次为$6×1$、$6×2$、……、$6×(n-1)$，总和为$6×(1+2+3+\dots+(n-1))$
根据连续正整数求和规则，$1+2+\dots+(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$，代入得：
总盆数 = $1 + 6×\frac{n(n-1)}{2}=3n(n-1)+1$
【答案】
(1) $\boxed{37}$；$\boxed{61}$
(2) $\boxed{3n(n-1)+1}$
【知识点】
图形规律探究，整式化简，数式归纳
【点评】
本题是典型的规律探究类题目，需要学生从已知图形的数量变化中总结差量规律，再结合代数运算推导通用表达式，能够有效锻炼学生的观察归纳能力和整式运算能力。
【难度系数】
0.6