【例1】观察下列各式：$-ab,-\frac{a}{2},\frac{2}{a},a+b,a^2+a-1.$回答下列问题：
（1）单项式有：______；
（2）多项式有：______；
（3）整式有：$\_\_\_\_\_\_.$

(1)单项式有：$-ab,-\frac{a}{2}$
(2)多项式有：$a+b,a^2+a-1$
(3)整式有：$-ab,-\frac{a}{2},a+b,a^2+a-1$

【分析】
解题时首先要明确单项式、多项式、整式的核心定义，再逐个判断给出式子的类别：
1. 先回忆判定规则：①单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的数或字母也属于单项式，若式子分母含字母，不属于单项式；②多项式：几个单项式的和组成的代数式；③整式是单项式和多项式的统称，即只要属于单项式或多项式，就属于整式。
2. 逐个分析式子：$-ab$是数与字母的乘积，属于单项式；$-\frac{a}{2}$是分数与字母的乘积，属于单项式；$\frac{2}{a}$分母含字母，既不是单项式也不是多项式；$a+b$是两个单项式的和，属于多项式；$a^2+a-1$是三个单项式的和，属于多项式。最后按要求分类填写即可。
【解析】
先明确相关定义：
单项式：数或字母的积组成的代数式，分母含字母的式子不属于单项式；
多项式：几个单项式的和叫做多项式；
整式：单项式和多项式统称为整式。
逐个判断给定式子：
1. $-ab$是$-1$与$a、b$的积，属于单项式；
2. $-\frac{a}{2}$是$-\frac{1}{2}$与$a$的积，属于单项式；
3. $\frac{2}{a}$分母含有字母$a$，既不是单项式也不是多项式；
4. $a+b$是单项式$a$和$b$的和，属于多项式；
5. $a^2+a-1$是单项式$a^2、a、-1$的和，属于多项式。
据此可得：
（1）单项式为$-ab,-\frac{a}{2}$；
（2）多项式为$a+b,a^2+a-1$；
（3）整式为所有单项式和多项式的集合，即$-ab,-\frac{a}{2},a+b,a^2+a-1$。
【答案】
(1)$-ab,-\frac{a}{2}$
(2)$a+b,a^2+a-1$
(3)$-ab,-\frac{a}{2},a+b,a^2+a-1$
【知识点】
单项式的定义；多项式的定义；整式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题关键是准确掌握三类代数式的判定标准，其中“分母含有字母的式子不属于整式”是高频易错点，判断时要重点关注式子的分母是否含字母。
【难度系数】
0.8

【变式】(2024秋 湄潭县期末)下列式子$\frac{1}{3}ab$，$\frac{a+b}{2}$，$\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$，$x^2+x-3$中，多项式有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

B

【分析】
解题首先要明确相关概念：①单项式是数或字母的积组成的代数式，单独的数或字母也属于单项式；②几个单项式的和叫做多项式；③整式包含单项式和多项式，分母含字母的代数式不属于整式，自然也不是多项式。接下来逐个判断给出的4个式子，筛选出符合多项式定义的选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个式子：
1. $\frac{1}{3}ab$是数$\frac{1}{3}$与字母$a$、$b$的乘积，属于单项式，不是多项式；
2. $\frac{a+b}{2}$可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
3. $\frac{1}{x}+\frac{2}{y}$的分母中含有字母$x$、$y$，不属于整式，因此不是多项式；
4. $x^2+x-3$是单项式$x^2$、$x$、$-3$的和，属于多项式。
综上，多项式共有2个。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义、整式的定义、单项式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，解题的关键是明确分母含字母的代数式不属于整式，自然也不是多项式，避免对含分数形式的式子产生误判。
【难度系数】
0.8

【例2】填表：

多项式对应的项、次数、常数项依次为：
多项式1：项为$-2x^2 y,-3x,2y,-5$，次数为3，常数项为$-5$
多项式2：项为$x^5,-2x^3 y^3,3x,2^7$，次数为6，常数项为$2^7$
多项式3：项为$\frac{4xy}{5},-\frac{1}{5}$，次数为2，常数项为$-\frac{1}{5}$

【分析】
解题前先明确三个核心概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式都是多项式的项，注意项的符号要和前面的运算符号保持一致，不能遗漏负号；②多项式的次数：取多项式中次数最高的项的次数作为整个多项式的次数，其中单项式的次数是项内所有字母的指数之和，常数项的次数记为0；③常数项：多项式中不含字母的项就是常数项。
接下来逐个对三个多项式进行分析即可：第一个多项式直接拆分带符号的单项式，再算最高次、找常数项；第二个多项式注意$2^7$是常数，它的指数7不算入多项式次数；第三个分数形式的多项式先拆分为两个单项式的和，再判断对应内容。
【解析】
1. 分析多项式$-2x^2y-3x+2y-5$：
拆分得到各项：$-2x^2y$、$-3x$、$2y$、$-5$；
计算各单项式次数：$-2x^2y$的次数为$2+1=3$，其余项次数均小于3，因此多项式次数为3；
不含字母的项为$-5$，即常数项为$-5$。
2. 分析多项式$x^5-2x^3y^3+3x+2^7$：
拆分得到各项：$x^5$、$-2x^3y^3$、$3x$、$2^7$；
计算各单项式次数：$-2x^3y^3$的次数为$3+3=6$，其余项次数均小于6，因此多项式次数为6；
不含字母的项为$2^7$，即常数项为$2^7$。
3. 分析多项式$\frac{4xy-1}{5}$，先变形为$\frac{4xy}{5}-\frac{1}{5}$：
拆分得到各项：$\frac{4xy}{5}$、$-\frac{1}{5}$；
计算各单项式次数：$\frac{4xy}{5}$的次数为$1+1=2$，因此多项式次数为2；
不含字母的项为$-\frac{1}{5}$，即常数项为$-\frac{1}{5}$。
【答案】
第一个多项式：项为$-2x^2 y,-3x,2y,-5$，次数为3，常数项为$-5$
第二个多项式：项为$x^5,-2x^3 y^3,3x,2^7$，次数为6，常数项为$2^7$
第三个多项式：项为$\frac{4xy}{5},-\frac{1}{5}$，次数为2，常数项为$-\frac{1}{5}$
【知识点】
多项式的项；多项式的次数；常数项
【点评】
本题属于多项式基础概念的考察题，解题易错点有三个：一是容易遗漏项前面的负号；二是计算次数时误把常数的指数算入，比如把$2^7$的7计入多项式次数；三是拆分分数形式的多项式时容易搞错常数项的符号，掌握基础概念就能避免上述错误。
【难度系数】
0.8

【变式1】(2024秋玉田县期末)关于代数式$8a^2b^3+3a^2b-4$，下列说法错误的是 ()

A.它是一个多项式
B.它的次数是5
C.它的项数是3
D.常数项是4

D

【分析】
本题考查多项式的相关基础概念，解题时需先明确多项式、多项式的次数、项数、常数项的定义，再逐一对应选项判断对错即可。解题思路为：先回忆各概念的判定规则，再分别对每个选项的说法进行验证，找出错误的选项。
【解析】
我们结合多项式的相关概念逐一分析选项：
A. 几个单项式的和叫做多项式，代数式$8a^2b^3+3a^2b-4$是$8a^2b^3$、$3a^2b$、$-4$三个单项式的和，属于多项式，该说法正确，不符合题意；
B. 多项式的次数是指多项式里次数最高项的次数，单项式的次数为所有字母的指数和：$8a^2b^3$的次数是$2+3=5$，$3a^2b$的次数是$2+1=3$，$-4$是常数项次数为0，最高次项的次数为5，因此该多项式的次数是5，该说法正确，不符合题意；
C. 多项式中的每个单项式叫做多项式的项，该代数式共有$8a^2b^3$、$3a^2b$、$-4$三项，因此项数是3，该说法正确，不符合题意；
D. 多项式中不含字母的项叫做常数项，该代数式的常数项是$-4$，不是4，该说法错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
多项式的定义；多项式的项与常数项；多项式的次数
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，易错点是判断常数项时容易忽略前面的符号，判断多项式次数时要注意是最高次项所有字母的指数和，不要误算成单个字母的指数。
【难度系数】
0.8

【变式2】多项式$x^2+3x-5$的各项分别是（）

A.$x^2,3x,5$
B.$x^2,-3x,5$
C.$x^2,3x,-5$
D.$x^2,-3x,-5$

C

【分析】
要解决这道题，首先需要明确多项式项的定义：多项式中的每个单项式叫做多项式的项，并且项需要包含它前面的运算符号。我们只需要把给定的多项式拆分为若干个单项式的和，就能确定它的所有项，再对应选项判断即可。
【解析】
根据多项式项的定义，我们可以将多项式$x^2+3x-5$改写为几个单项式相加的形式：$x^2+3x+(-5)$，因此这个多项式的三项分别是$x^2$、$3x$、$-5$，对应选项C符合要求。
【答案】
C
【知识点】
多项式的项；单项式的识别
【点评】
本题属于基础概念题，核心考查对多项式项的定义的掌握，易错点是容易忽略项前面的负号，误将常数项写为5，牢记多项式的项需要包含本身所带的符号即可快速解题。
【难度系数】
0.9

【例3】一个花坛的形状如图所示，它的两端是半径相等的半圆.
(1)求花坛的周长$l$.
(2)求花坛的面积$S$.
(3)以上两式分别是几次几项式？分别由哪些项组成？每项的系数是什么？

解:(1)$l=2a+2π r$.
(2)$S=2ar+π r^2$.
(3)$2a+2π r$是一次二项式,由$2a,2π r$组成,系数分别是$2,2π$;$2ar+π r^2$是二次二项式,由$2ar,π r^2$组成,系数分别是$2,π$.

【分析】
解题时先将组合花坛拆分：两端是完全相同的半圆，可拼接成1个完整的圆，中间是长为a、宽为2r的长方形。
(1) 求周长时，花坛的外围周长=整圆的周长+长方形两条长边的长度，注意长方形的两条宽是内部线段，不计入外围周长。
(2) 求面积时，花坛总面积=长方形面积+整圆的面积，分别计算两部分面积再相加即可。
(3) 判断多项式的次数、项、系数时，要明确：多项式的次数是最高次项的次数，每个单项式是多项式的项，单项式的数字因数是系数，注意π是常数，不属于字母因数。
【解析】
(1) 两个半径为r的半圆弧长之和等于半径为r的整圆周长，即$2π r$；中间直道部分是两条长度为a的线段，总长为$2a$。
因此花坛周长$l=2a + 2π r$。
(2) 中间长方形的长为a，宽为$2r$，面积为$a×2r=2ar$；两端拼成的整圆面积为$π r^2$。
因此花坛面积$S=2ar + π r^2$。
(3) 对于式子$2a+2π r$：最高次项的次数是1，共包含2个项，因此是一次二项式；组成的项为$2a$和$2π r$，$2a$的系数是2，$2π r$的系数是$2π$。
对于式子$2ar+π r^2$：最高次项的次数是2，共包含2个项，因此是二次二项式；组成的项为$2ar$和$π r^2$，$2ar$的系数是2，$π r^2$的系数是$π$。
【答案】
(1)$l=2a+2π r$
(2)$S=2ar+π r^2$
(3)$2a+2π r$是一次二项式，由$2a、2π r$组成，系数分别是$2、2π$；$2ar+π r^2$是二次二项式，由$2ar、π r^2$组成，系数分别是$2、π$。
【知识点】
组合图形周长面积计算，多项式的相关概念，单项式的系数
【点评】
本题将几何图形运算和代数多项式概念相结合，既需要掌握拆分组合图形求周长、面积的方法，又要准确理解多项式的项、次数、系数的定义，解题时要注意π是常数，不要误将其作为字母判断次数和系数。
【难度系数】
0.8

【变式】小陈同学买了5本笔记本，12支圆珠笔，设笔记本的单价为a元，圆珠笔的单价为b元，则小陈同学共花费元.(用含a,b的代数式表示)

(5a+12b)

【分析】
要计算小陈的总花费，需先分别求出买笔记本和圆珠笔的花费，再将两部分花费相加即可。首先根据“总价=单价×数量”的关系，分别计算两种文具的总价，再求和，最后按照代数式的书写规范整理结果即可。
【解析】
第一步：计算购买笔记本的总费用：已知笔记本单价为a元，购买数量为5本，根据总价=单价×数量，可得笔记本总费用为$5× a=5a$元；
第二步：计算购买圆珠笔的总费用：已知圆珠笔单价为b元，购买数量为12支，同理可得圆珠笔总费用为$12× b=12b$元；
第三步：计算总花费：总花费为两种文具费用之和，即$5a+12b$元，由于结果是含加减运算的代数式，带单位时需添加括号，因此最终总花费为$(5a+12b)$元。
【答案】
$(5a+12b)$
【知识点】
列代数式；总价计算公式；代数式书写规范
【点评】
本题是基础的代数式应用题型，核心考查实际问题中数量关系的梳理和代数式的规范书写，掌握基本的数量运算公式即可顺利求解。
【难度系数】
0.9