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5. 如图①，矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为a m，隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行。设BC的长为x m，矩形ABCD的面积为y m²，y关于x的函数图象如图②所示，则下列结论正确的是（
A.矩形面积的最大值是8 m²
B.y与x之间的关系式为$y=-x^2 +4x$
C.当x=4时，矩形的面积最大
D.a的值为10
B
）。A.矩形面积的最大值是8 m²
B.y与x之间的关系式为$y=-x^2 +4x$
C.当x=4时，矩形的面积最大
D.a的值为10
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先分析窗框的线段组成：矩形ABCD的周长加两条隔断的总长为a，其中水平方向的线段有BC、AD、EF共3条，长度均为x，竖直方向的线段有AB、CD、GH共3条，长度相等，据此可将矩形竖直边的长度用a和x表示，再结合面积公式得到y关于x的二次函数；再结合图②中二次函数的顶点坐标(2,4)，利用二次函数对称轴和最值的性质求解参数，最后逐一判断选项即可。
【解析】
设矩形ABCD的边AB长为b m。
由题意，总长度a包含3条水平线段（BC、AD、EF）和3条竖直线段（AB、CD、GH），因此：
$a=3x+3b$，整理得$b=\frac{a-3x}{3}$。
矩形面积$y=x· b = x· \frac{a-3x}{3}=-x^2+\frac{a}{3}x$。
由图②可知，二次函数的顶点为$(2,4)$，即当$x=2$时，y取最大值4。
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴为$x=-\frac{B}{2A}$，代入本式A=-1，$B=\frac{a}{3}$，得：
对称轴$x=\frac{a}{6}=2$，解得$a=12$。
将$a=12$代入面积表达式，得$y=-x^2+4x$。
逐一判断选项：
A. 由顶点坐标可知矩形面积最大值为$4m^2$，A错误；
B. 推导得y与x的关系式为$y=-x^2+4x$，B正确；
C. 由对称轴为$x=2$可知，$x=2$时矩形面积最大，C错误；
D. 计算得$a=12$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图像与性质；列代数式
【点评】
本题结合实际生活中的窗框场景考查二次函数的应用，解题的关键是正确梳理图形中的线段构成，结合二次函数顶点信息求解函数解析式，需要注意区分各线段的长度关系，避免遗漏线段导致计算错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先分析窗框的线段组成：矩形ABCD的周长加两条隔断的总长为a，其中水平方向的线段有BC、AD、EF共3条，长度均为x，竖直方向的线段有AB、CD、GH共3条，长度相等，据此可将矩形竖直边的长度用a和x表示，再结合面积公式得到y关于x的二次函数；再结合图②中二次函数的顶点坐标(2,4)，利用二次函数对称轴和最值的性质求解参数，最后逐一判断选项即可。
【解析】
设矩形ABCD的边AB长为b m。
由题意，总长度a包含3条水平线段（BC、AD、EF）和3条竖直线段（AB、CD、GH），因此：
$a=3x+3b$，整理得$b=\frac{a-3x}{3}$。
矩形面积$y=x· b = x· \frac{a-3x}{3}=-x^2+\frac{a}{3}x$。
由图②可知，二次函数的顶点为$(2,4)$，即当$x=2$时，y取最大值4。
对于二次函数$y=Ax^2+Bx+C$，对称轴为$x=-\frac{B}{2A}$，代入本式A=-1，$B=\frac{a}{3}$，得：
对称轴$x=\frac{a}{6}=2$，解得$a=12$。
将$a=12$代入面积表达式，得$y=-x^2+4x$。
逐一判断选项：
A. 由顶点坐标可知矩形面积最大值为$4m^2$，A错误；
B. 推导得y与x的关系式为$y=-x^2+4x$，B正确；
C. 由对称轴为$x=2$可知，$x=2$时矩形面积最大，C错误；
D. 计算得$a=12$，D错误。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的应用；二次函数的图像与性质；列代数式
【点评】
本题结合实际生活中的窗框场景考查二次函数的应用，解题的关键是正确梳理图形中的线段构成，结合二次函数顶点信息求解函数解析式，需要注意区分各线段的长度关系，避免遗漏线段导致计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 某抛物线形的拱桥如图所示，已知该抛物线的表达式为 $y=-\frac{4}{25}x^2 + 10$。为了给行人提供安全保障，决定在该拱桥上距水面AB高6 m的点E，F处悬挂两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离EF为
10
m。答案
6.10
解析
【分析】
要计算两个救生圈之间的水平距离EF，首先明确距水面AB高6m的点的纵坐标为6（水面AB在x轴上，纵坐标为0）。解题思路为：将y=6代入抛物线的表达式，求解对应的x的两个值，两个x值的差的绝对值就是EF的长度，也可以利用抛物线关于y轴对称的性质，计算正根的2倍得到距离。
【解析】
由题意可知，距水面高6m的点对应的纵坐标y=6，将y=6代入抛物线解析式$y=-\frac{4}{25}x^2 + 10$，得：
$6=-\frac{4}{25}x^2 + 10$
移项整理得：
$\frac{4}{25}x^2=4$
两边同时乘$\frac{25}{4}$得：
$x^2=25$
解得$x_1=5$，$x_2=-5$。
因为点E在y轴左侧，F在y轴右侧，所以E点横坐标为-5，F点横坐标为5，因此EF的长度为$5 - (-5)=10$（m）。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数图像性质，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题的关键是结合题意确定对应点的函数值，代入解析式求解横坐标即可，核心考查二次函数图像上点的坐标特征。
【难度系数】
0.8
要计算两个救生圈之间的水平距离EF，首先明确距水面AB高6m的点的纵坐标为6（水面AB在x轴上，纵坐标为0）。解题思路为：将y=6代入抛物线的表达式，求解对应的x的两个值，两个x值的差的绝对值就是EF的长度，也可以利用抛物线关于y轴对称的性质，计算正根的2倍得到距离。
【解析】
由题意可知，距水面高6m的点对应的纵坐标y=6，将y=6代入抛物线解析式$y=-\frac{4}{25}x^2 + 10$，得：
$6=-\frac{4}{25}x^2 + 10$
移项整理得：
$\frac{4}{25}x^2=4$
两边同时乘$\frac{25}{4}$得：
$x^2=25$
解得$x_1=5$，$x_2=-5$。
因为点E在y轴左侧，F在y轴右侧，所以E点横坐标为-5，F点横坐标为5，因此EF的长度为$5 - (-5)=10$（m）。
【答案】
10
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数图像性质，解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题的关键是结合题意确定对应点的函数值，代入解析式求解横坐标即可，核心考查二次函数图像上点的坐标特征。
【难度系数】
0.8
7. 如图，校园中有两面互相垂直的围墙，墙角内的P处有一棵古树，与墙CD，AD的距离分别是16 m和9 m。在美化校园的活动中，兴趣小组的同学们想借助围墙(围墙足够长)，用32 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，将古树P围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)。
(1)花园的面积能否为240 m²？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由。
(2)当AB的长为何值时，花园面积S最大？最大值为多少？
(1)花园的面积能否为240 m²？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由。
(2)当AB的长为何值时，花园面积S最大？最大值为多少？
答案
解:(1)设 $AB=x\ \mathrm{m}$,则 $BC=(32-x)\ \mathrm{m}$。
根据题意得 $x(32-x)=240$,
解得 $x_1=12,x_2=20$。
$\because P$ 与 $CD,AD$ 的距离分别是 16 m 和 9 m,
$\therefore \begin{cases} x≥ 9,\\ 32-x≥ 6, \end{cases}$
$\therefore 9≤ x≤ 16$,
$\therefore x=12$。
故花园的面积可以为 $240\ \mathrm{m}^2$,此时 $AB$ 的长为12 m。
(2)花园的面积 $S=x(32-x)=-x^2+32x=-(x-16)^2+256$。
$\because -1＜0$,且 $9≤ x≤ 16$,
$\therefore$ 当 $x=16$ 时,花园面积 $S$ 最大,最大值为 $256\ \mathrm{m}^2$。
根据题意得 $x(32-x)=240$,
解得 $x_1=12,x_2=20$。
$\because P$ 与 $CD,AD$ 的距离分别是 16 m 和 9 m,
$\therefore \begin{cases} x≥ 9,\\ 32-x≥ 6, \end{cases}$
$\therefore 9≤ x≤ 16$,
$\therefore x=12$。
故花园的面积可以为 $240\ \mathrm{m}^2$,此时 $AB$ 的长为12 m。
(2)花园的面积 $S=x(32-x)=-x^2+32x=-(x-16)^2+256$。
$\because -1＜0$,且 $9≤ x≤ 16$,
$\therefore$ 当 $x=16$ 时,花园面积 $S$ 最大,最大值为 $256\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先设AB的长度为x m，根据篱笆总长32 m，可得BC的长度为(32-x) m；2. 结合古树P的位置确定x的取值范围：要将P围在花园内，AB的长度需不小于P到AD的距离9 m，BC的长度需不小于P到CD的距离16 m，由此列不等式组得到x的取值范围是$9≤x≤16$；3. 第一问：根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证根是否在取值范围内，即可判断能否达到对应面积并求出AB的长；4. 第二问：将面积S表示为关于x的二次函数，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可求出面积的最大值及对应AB的长度。
【解析】
(1) 设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(32-x)\ \mathrm{m}$。
要使古树P在花园内，需满足：
$\begin{cases} x≥ 9 \\ 32-x≥ 16 \end{cases}$，解得$9≤ x≤ 16$。
若花园面积为$240\ \mathrm{m^2}$，则可列方程：
$x(32-x)=240$
整理得$x^2-32x+240=0$
因式分解得$(x-12)(x-20)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=20$。
结合x的取值范围$9≤ x≤ 16$，舍去$x=20$，故$x=12$。
(2) 矩形花园的面积$S=x(32-x)=-x^2+32x$，配方得：
$S=-(x-16)^2+256$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，且自变量取值范围为$9≤ x≤ 16$，
$\therefore$ 在取值范围内S随x的增大而增大，当$x=16$时，S取得最大值。
最大值为$S=-(16-16)^2+256=256$。
【答案】
(1) 能，此时AB的长为12 m；
(2) 当AB的长为16 m时，花园面积S最大，最大值为$256\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 二次函数的最值
3. 不等式组的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查代数知识的应用，解题的关键是根据实际限制条件准确确定自变量的取值范围，避免忽略实际意义得到不符合要求的解，是二次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：1. 先设AB的长度为x m，根据篱笆总长32 m，可得BC的长度为(32-x) m；2. 结合古树P的位置确定x的取值范围：要将P围在花园内，AB的长度需不小于P到AD的距离9 m，BC的长度需不小于P到CD的距离16 m，由此列不等式组得到x的取值范围是$9≤x≤16$；3. 第一问：根据矩形面积公式列一元二次方程，求解后验证根是否在取值范围内，即可判断能否达到对应面积并求出AB的长；4. 第二问：将面积S表示为关于x的二次函数，结合二次函数的开口方向和自变量的取值范围，即可求出面积的最大值及对应AB的长度。
【解析】
(1) 设$AB=x\ \mathrm{m}$，则$BC=(32-x)\ \mathrm{m}$。
要使古树P在花园内，需满足：
$\begin{cases} x≥ 9 \\ 32-x≥ 16 \end{cases}$，解得$9≤ x≤ 16$。
若花园面积为$240\ \mathrm{m^2}$，则可列方程：
$x(32-x)=240$
整理得$x^2-32x+240=0$
因式分解得$(x-12)(x-20)=0$
解得$x_1=12$，$x_2=20$。
结合x的取值范围$9≤ x≤ 16$，舍去$x=20$，故$x=12$。
(2) 矩形花园的面积$S=x(32-x)=-x^2+32x$，配方得：
$S=-(x-16)^2+256$
$\because$ 二次项系数$-1＜0$，抛物线开口向下，且自变量取值范围为$9≤ x≤ 16$，
$\therefore$ 在取值范围内S随x的增大而增大，当$x=16$时，S取得最大值。
最大值为$S=-(16-16)^2+256=256$。
【答案】
(1) 能，此时AB的长为12 m；
(2) 当AB的长为16 m时，花园面积S最大，最大值为$256\ \mathrm{m^2}$。
【知识点】
1. 一元二次方程的应用
2. 二次函数的最值
3. 不等式组的应用
【点评】
本题结合实际生活场景考查代数知识的应用，解题的关键是根据实际限制条件准确确定自变量的取值范围，避免忽略实际意义得到不符合要求的解，是二次函数实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
