12. 如图所示的图形都是按照一定规律组成,第一个图形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角形,第三个图形中共有14个三角形……依此规律,第五个图形中三角形的个数是 ()


A.22
B.24
C.26
D.28

12. C

【分析】
解决这类规律探究题，我们可以先从已知的前几个图形的数量入手：第一个图形有2个三角形，第二个有8个，第三个有14个，先计算相邻两个图形三角形数量的差值：8-2=6，14-8=6，可发现每往后一个图形，三角形的数量就增加6个，我们可以先推导第n个图形的三角形数量的通用公式，再代入n=5计算第五个图形的三角形个数即可。
【解析】
观察已知图形的三角形数量：
第1个图形：三角形个数=2=6×1 - 4
第2个图形：三角形个数=8=6×2 - 4
第3个图形：三角形个数=14=6×3 - 4
据此可总结规律：第n个图形中三角形的个数为$6n-4$（n为正整数）
当n=5时，三角形个数=$6×5 - 4=30-4=26$
【答案】
C
【知识点】
图形规律探究、代数式规律应用
【点评】
本题是典型的图形类规律探究题，解题关键是先通过前几个特殊数据找到数量的变化规律，推导得到通用表达式，再代入对应数值求解即可。
【难度系数】
0.7

13. 6m长的棍子,第1次截去一半,第2次截去剩下的三分之一,第3次截取剩下的四分之一,第4次截取剩下的五分之一,如此下去,第6次截取后剩下的棍子为m。

13. $\frac{6}{7}$

【分析】
我们可以先推导每次截取后剩余长度占上一次剩余长度的比例，找到规律后列算式计算。首先第1次截去一半，剩余长度是原长的$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$；第2次截去当时剩余的$\frac{1}{3}$，剩余长度是第1次截完后长度的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$；以此类推，第n次截完后剩余长度是第n-1次截完后长度的$\frac{n}{n+1}$，将所有剩余比例依次相乘再乘原长，通过约分即可快速算出结果。
【解析】
解：根据题意，第6次截取后剩下的长度为：
$\begin{aligned}&6 × (1-\frac{1}{2}) × (1-\frac{1}{3}) × (1-\frac{1}{4}) × (1-\frac{1}{5}) × (1-\frac{1}{6}) × (1-\frac{1}{7})\\=&6 × \frac{1}{2} × \frac{2}{3} × \frac{3}{4} × \frac{4}{5} × \frac{5}{6} × \frac{6}{7}\\&\mathrm{（相邻分数的分子分母依次约分）}\\=&6 × \frac{1}{7}\\=&\frac{6}{7}\ (\mathrm{m})\end{aligned}$
【答案】
$\frac{6}{7}$
【知识点】
有理数乘法运算，规律归纳，分数约分
【点评】
本题考察分数乘法的实际应用和归纳推理能力，解题的核心是准确找到每次截取后的剩余比例，利用约分可以大幅简化计算，避免繁琐的分步运算。
【难度系数】
0.7

14. 一本书有200页，小英计划三天看完，第一天看了全书的40%，第二天与第三天看的页数之比是5:7。
(1)题中200是用于表示计数还是表示测量？
(2)第二天、第三天分别看了第一天看完后剩下的页数的几分之几？你能求出第二天、第三天各看了多少页吗？

14. (1)题中200是用于表示计数的。
(2)5+7=12,故第二天看了第一天看完后剩下的页数的$\frac{5}{12}$,第三天看了第一天看完后剩下的页数的$\frac{7}{12}$。$200×(1-40\%)=120$(页),$120×\frac{5}{12}=50$(页),$120×\frac{7}{12}=70$(页)。所以第二天看了50页,第三天看了70页。

【分析】
（1）先明确自然数的两类常见作用：计数是表示事物的具体个数，是统计得到的准确数值；测量是表示事物的度量结果，一般存在近似性。判断200页是书的总页数，属于统计的数量，即可得出结论。
（2）解题先明确：第二天和第三天看的页数总和是第一天看完后剩下的页数，已知两者页数比为5:7，总份数为5与7的和，用各自的份数除以总份数就能得到两者分别占剩余页数的分率。接下来先算出第一天看完后剩下的页数，再用剩余页数分别乘第二天、第三天对应的分率，就能求出两者的具体页数。
【解析】
(1) 计数是表示事物的个数，测量是表示事物的度量结果，题中200是书的总页数，是统计得到的具体数量，因此属于计数。
(2) 先计算第二天、第三天的页数总份数：$5+7=12$，
因此第二天看的页数占第一天看完后剩下页数的$\frac{5}{12}$，第三天看的页数占第一天看完后剩下页数的$\frac{7}{12}$。
再计算第一天看完后剩余的页数：$200×(1-40\%)=120$（页），
第二天看的页数：$120×\frac{5}{12}=50$（页），
第三天看的页数：$120×\frac{7}{12}=70$（页）。
【答案】
(1) 题中200是用于表示计数的。
(2) 第二天看了第一天看完后剩下的页数的$\frac{5}{12}$，第三天看了第一天看完后剩下的页数的$\frac{7}{12}$；第二天看了50页，第三天看了70页。
【知识点】
自然数的意义；百分数的应用；按比分配
【点评】
本题基础考察了自然数的作用区分和百分数、比的综合计算，解题的关键是找准第二天、第三天看的页数对应的单位“1”是第一天看完后剩余的页数，而非全书总页数，避免直接用总页数按比分配出错。
【难度系数】
0.8

15. 无限循环小数都可以转化为分数。例如:把无限循环小数$0.\dot{6}$化为分数的过程如下,由$10×0.\dot{6}-0.\dot{6}=6.\dot{6}-0.\dot{6}=6$,即$9×0.\dot{6}=6$,可得$0.\dot{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$。类比上述过程,把无限循环小数$0.\dot{1}\dot{2}$化为分数的结果是。

15. $\frac{4}{33}$

【分析】
这是一道类比探究类题目，解题关键是参照给出的无限循环小数化分数的方法，先确定循环节的位数。本题中$0.\dot{1}\dot{2}$的循环节是2位，所以需要将原数扩大100倍，使得扩大后的数和原数的小数部分完全相同，再通过两数相减消去无限循环的小数部分，最后约分得到最简分数即可。
【解析】
设$ x = 0.\dot{1}\dot{2} = 0.121212··· $ ①
因为循环节为2位，将等式两边同时乘100，可得：
$ 100x = 12.121212··· $ ②
用②式减去①式，消去小数部分的循环项：
$ 100x - x = 12.1212··· - 0.1212··· $
即 $ 99x = 12 $
解得 $ x = \frac{12}{99} = \frac{4}{33} $
【答案】
$\frac{4}{33}$
【知识点】
无限循环小数化分数；等式的性质；分数约分
【点评】
本题属于材料类比题，重点考查对给定方法的迁移应用能力，解题核心是根据循环节的位数将原数扩大对应整十倍，消去循环部分后转化为整式计算，掌握规律后可快速求解。
【难度系数】
0.7

16. 某商店销售某种商品，若因到了旺季，价格上调10%，旺季过后又下调10%，则价格下调后的商品比调价前是贵了，还是便宜了？试说明理由。

16. 便宜了。理由如下:设调价前商品价格为单位“1”,$1×(1+10\%)×(1-10\%)=1.1×0.9=0.99＜1$,所以价格下调后的商品比调价前便宜了。

【分析】
遇到这类没有给出商品具体原价的调价问题，我们可以先把调价前的价格设为单位“1”来简化计算。解题思路分三步：第一步先计算价格上调10%后的旺季价格，第二步再以旺季价格为基础，计算下调10%后的最终价格，第三步把最终价格和调价前的单位“1”比较大小，就能判断是贵了还是便宜了。需要注意两次调价的基准（单位“1”）不同，上调是在原价基础上调整，下调是在上涨后的价格基础上调整。
【解析】
设调价前商品的价格为单位“1”。
旺季上调10%后的价格为：$1×(1+10\%)=1.1$
旺季过后下调10%，是以上涨后的1.1为基准调整，因此下调后的价格为：$1.1×(1-10\%)=1.1×0.9=0.99$
因为$0.99＜1$，所以价格下调后的商品比调价前便宜。
【答案】
便宜了
【知识点】
百分数的实际应用、单位“1”的运用、有理数大小比较
【点评】
本题是百分数实际应用的常见基础题型，易错点是容易误认为上调和下调的10%都以原价为基准，解题时明确两次调价对应的单位“1”不同，就能避免出错。
【难度系数】
0.7