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例3 某地生产的一种绿色蔬菜,在市场上若直接销售,每吨利润为1 000元;经粗加工后销售,每吨利润可达4 500元;经精加工后销售,每吨利润涨至7 500元. 当地一家公司收获这种蔬菜140 t. 该公司加工厂的生产能力:如果对蔬菜进行粗加工,每天可加工16 t;如果对蔬菜进行精加工,每天可加工6 t,但两种加工方式不能同时进行. 受季节等条件限制,该公司必须用15天的时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕. 为此,该公司有如下三种方案.
方案一:将蔬菜全部进行粗加工.
方案二:将部分蔬菜进行精加工,其余粗加工,并恰好用15天完成.
方案三:尽可能多地对蔬菜进行精加工,没来得及进行精加工的蔬菜,在市场上直接出售.
你认为选择哪种方案获利最多?为什么?
解:
方案一:将蔬菜全部进行粗加工.
方案二:将部分蔬菜进行精加工,其余粗加工,并恰好用15天完成.
方案三:尽可能多地对蔬菜进行精加工,没来得及进行精加工的蔬菜,在市场上直接出售.
你认为选择哪种方案获利最多?为什么?
解:
答案
选择第二种方案获利最多.理由如下:
设总利润为 W.
方案一:因为每天可以粗加工蔬菜 16 t,16×15＞140. 所以 140 t 可以在 15 天内加工完.
又所以全部售出后总利润 $W_1 = 4\ 500×140 = 630\ 000$(元).
方案二:设 15 天中粗加工蔬菜 x 天,则精加工蔬菜$(15-x)$天.
由题意,得 $16x+6(15-x)=140$,解得 $x=5$,
所以粗加工 5 天,精加工 $15-5=10$(天).
所以全部售出后总利润 $W_2 = 6×10×7\ 500+16×5×4\ 500 = 810\ 000$(元).
方案三:由题意,得每天可以精加工蔬菜 6 t,15 天一共可以精加工蔬菜 $6×15=90$(t),则直接销售的蔬菜有 $140-90=50$(t),
所以全部售出后总利润 $W_3 = 90×7\ 500+50×1\ 000 = 725\ 000$(元).
因为 $W_1＜W_3＜W_2$,所以选择第二种方案获利最多.
设总利润为 W.
方案一:因为每天可以粗加工蔬菜 16 t,16×15＞140. 所以 140 t 可以在 15 天内加工完.
又所以全部售出后总利润 $W_1 = 4\ 500×140 = 630\ 000$(元).
方案二:设 15 天中粗加工蔬菜 x 天,则精加工蔬菜$(15-x)$天.
由题意,得 $16x+6(15-x)=140$,解得 $x=5$,
所以粗加工 5 天,精加工 $15-5=10$(天).
所以全部售出后总利润 $W_2 = 6×10×7\ 500+16×5×4\ 500 = 810\ 000$(元).
方案三:由题意,得每天可以精加工蔬菜 6 t,15 天一共可以精加工蔬菜 $6×15=90$(t),则直接销售的蔬菜有 $140-90=50$(t),
所以全部售出后总利润 $W_3 = 90×7\ 500+50×1\ 000 = 725\ 000$(元).
因为 $W_1＜W_3＜W_2$,所以选择第二种方案获利最多.
解析
【分析】
本题属于方案优选类实际应用题，解题核心是分别计算三种方案的总利润，再比较利润大小选出最优方案。思考步骤如下：1. 计算方案一利润：先验证15天全部粗加工能否完成140吨蔬菜的加工，若能完成，直接用总吨数乘粗加工每吨利润即可。2. 计算方案二利润：已知两种加工方式总时长15天、总加工量140吨，可设粗加工天数为未知数，根据“粗加工总吨数+精加工总吨数=140吨”列一元一次方程求解，再分别计算两种加工方式的利润求和。3. 计算方案三利润：尽可能多精加工即15天全部安排精加工，先算出15天精加工的总吨数，剩余未加工的蔬菜直接销售，分别计算两部分利润求和。4. 对比三个方案的总利润，利润最大的即为最优方案。
【解析】
设总利润为W。
方案一：15天粗加工的总加工量为$16×15=240(\mathrm{t})$，$240＞140$，因此140t蔬菜可以在15天内全部完成粗加工。
总利润$W_1=4500×140=630000$（元）。
方案二：设15天中粗加工蔬菜$x$天，则精加工蔬菜为$(15-x)$天。
根据总加工量为140t列方程：$16x + 6(15-x)=140$
解方程得：
$16x + 90 - 6x = 140$
$10x = 50$
$x=5$
即粗加工5天，精加工天数为$15-5=10$（天）
总利润$W_2=6×10×7500 + 16×5×4500 = 810000$（元）。
方案三：15天全部安排精加工，总精加工量为$6×15=90(\mathrm{t})$
剩余直接销售的蔬菜量为$140-90=50(\mathrm{t})$
总利润$W_3=90×7500 + 50×1000 = 725000$（元）。
对比三个方案的利润可得$W_1＜W_3＜W_2$。
【答案】
选择第二种方案获利最多。
【知识点】
一元一次方程应用，利润计算，方案优选
【点评】
本题结合生产生活实际，考察学生对实际问题的分析能力和一元一次方程的应用能力，解题关键是准确梳理每个方案的加工、销售规则，正确计算各方案的利润，避免混淆不同加工方式的利润、加工效率而出错。
【难度系数】
0.7
本题属于方案优选类实际应用题，解题核心是分别计算三种方案的总利润，再比较利润大小选出最优方案。思考步骤如下：1. 计算方案一利润：先验证15天全部粗加工能否完成140吨蔬菜的加工，若能完成，直接用总吨数乘粗加工每吨利润即可。2. 计算方案二利润：已知两种加工方式总时长15天、总加工量140吨，可设粗加工天数为未知数，根据“粗加工总吨数+精加工总吨数=140吨”列一元一次方程求解，再分别计算两种加工方式的利润求和。3. 计算方案三利润：尽可能多精加工即15天全部安排精加工，先算出15天精加工的总吨数，剩余未加工的蔬菜直接销售，分别计算两部分利润求和。4. 对比三个方案的总利润，利润最大的即为最优方案。
【解析】
设总利润为W。
方案一：15天粗加工的总加工量为$16×15=240(\mathrm{t})$，$240＞140$，因此140t蔬菜可以在15天内全部完成粗加工。
总利润$W_1=4500×140=630000$（元）。
方案二：设15天中粗加工蔬菜$x$天，则精加工蔬菜为$(15-x)$天。
根据总加工量为140t列方程：$16x + 6(15-x)=140$
解方程得：
$16x + 90 - 6x = 140$
$10x = 50$
$x=5$
即粗加工5天，精加工天数为$15-5=10$（天）
总利润$W_2=6×10×7500 + 16×5×4500 = 810000$（元）。
方案三：15天全部安排精加工，总精加工量为$6×15=90(\mathrm{t})$
剩余直接销售的蔬菜量为$140-90=50(\mathrm{t})$
总利润$W_3=90×7500 + 50×1000 = 725000$（元）。
对比三个方案的利润可得$W_1＜W_3＜W_2$。
【答案】
选择第二种方案获利最多。
【知识点】
一元一次方程应用，利润计算，方案优选
【点评】
本题结合生产生活实际，考察学生对实际问题的分析能力和一元一次方程的应用能力，解题关键是准确梳理每个方案的加工、销售规则，正确计算各方案的利润，避免混淆不同加工方式的利润、加工效率而出错。
【难度系数】
0.7
3. 小明用的数学练习本可以到甲、乙两家商店购买，已知两家商店的标价都是2元/本，元旦期间两家商店均打折促销. 甲商店全部按标价的80%出售，乙商店的优惠方案是购买12本以上，从第13本开始按标价的70%出售. 设小明要购买$ x(x＞12) $本练习本.
(1)当小明到甲商店购买时，需付款多少元（用含$ x $的代数式表示）？
(2)购买多少本练习本时，两家商店的收费相同？
(3)小明准备买50本练习本，为了节约开支，在哪家商店购买更划算？
(1)当小明到甲商店购买时，需付款多少元（用含$ x $的代数式表示）？
(2)购买多少本练习本时，两家商店的收费相同？
(3)小明准备买50本练习本，为了节约开支，在哪家商店购买更划算？
答案
(1)依题意,得小明到甲商店购买需付款 $2×80\%x=1.6x$(元);
(2)小明到乙商店购买需付款 $2×12+2×70\%(x-12)=(1.4x+7.2)$元,
由题意,得 $1.4x+7.2=1.6x$,解得 $x=36$.
答:购买 36 本练习本时,两家商店的收费相同;
(3)由(1)(2)得,当 $x=50$ 时, $1.6x=1.6×50=80$,
$1.4x+7.2=1.4×50+7.2=77.2$.
因为 $80＞77.2$,
所以在乙商店购买更划算.
(2)小明到乙商店购买需付款 $2×12+2×70\%(x-12)=(1.4x+7.2)$元,
由题意,得 $1.4x+7.2=1.6x$,解得 $x=36$.
答:购买 36 本练习本时,两家商店的收费相同;
(3)由(1)(2)得,当 $x=50$ 时, $1.6x=1.6×50=80$,
$1.4x+7.2=1.4×50+7.2=77.2$.
因为 $80＞77.2$,
所以在乙商店购买更划算.
解析
【分析】
(1) 甲商店所有商品均按标价的80%销售，先算出甲商店每本练习本的实际售价，再乘以购买数量x即可得到总付款。
(2) 先根据乙商店的分段优惠规则，算出购买x(x＞12)本时乙商店的总付款代数式，再令甲、乙两家的总付款相等，列一元一次方程求解即可得到收费相同的购买数量。
(3) 将x=50分别代入甲、乙两家的总付款代数式，计算出两个费用后比较大小，费用更低的商店更划算。
【解析】
(1) 甲商店每本练习本的实际售价为$2×80\%$元，购买x本的总付款为：
$2×80\%x=1.6x$（元）
(2) 乙商店的优惠为前12本按原价出售，超过12本的部分按标价的70%出售，因此购买x(x＞12)本的总付款为：
$2×12 + 2×70\%(x-12) = 24 + 1.4(x-12) = (1.4x+7.2)$元
令两家商店收费相同，列方程：
$1.4x + 7.2 = 1.6x$
移项得$0.2x=7.2$，解得$x=36$
答：购买36本练习本时，两家商店的收费相同。
(3) 当$x=50$时：
甲商店总付款：$1.6×50=80$（元）
乙商店总付款：$1.4×50 +7.2=77.2$（元）
因为$80＞77.2$，所以乙商店费用更低。
【答案】
(1) $1.6x$元；
(2) 36本；
(3) 在乙商店购买更划算。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，方案选择
【点评】
本题结合生活中常见的商店促销场景，考查分段计费规则的理解、代数式的列写以及一元一次方程的实际应用，解题时需注意乙商店的优惠为分段计算，仅超过12本的部分享受7折优惠，避免混淆计费规则出错。
【难度系数】
0.7
(1) 甲商店所有商品均按标价的80%销售，先算出甲商店每本练习本的实际售价，再乘以购买数量x即可得到总付款。
(2) 先根据乙商店的分段优惠规则，算出购买x(x＞12)本时乙商店的总付款代数式，再令甲、乙两家的总付款相等，列一元一次方程求解即可得到收费相同的购买数量。
(3) 将x=50分别代入甲、乙两家的总付款代数式，计算出两个费用后比较大小，费用更低的商店更划算。
【解析】
(1) 甲商店每本练习本的实际售价为$2×80\%$元，购买x本的总付款为：
$2×80\%x=1.6x$（元）
(2) 乙商店的优惠为前12本按原价出售，超过12本的部分按标价的70%出售，因此购买x(x＞12)本的总付款为：
$2×12 + 2×70\%(x-12) = 24 + 1.4(x-12) = (1.4x+7.2)$元
令两家商店收费相同，列方程：
$1.4x + 7.2 = 1.6x$
移项得$0.2x=7.2$，解得$x=36$
答：购买36本练习本时，两家商店的收费相同。
(3) 当$x=50$时：
甲商店总付款：$1.6×50=80$（元）
乙商店总付款：$1.4×50 +7.2=77.2$（元）
因为$80＞77.2$，所以乙商店费用更低。
【答案】
(1) $1.6x$元；
(2) 36本；
(3) 在乙商店购买更划算。
【知识点】
列代数式，一元一次方程的应用，方案选择
【点评】
本题结合生活中常见的商店促销场景，考查分段计费规则的理解、代数式的列写以及一元一次方程的实际应用，解题时需注意乙商店的优惠为分段计算，仅超过12本的部分享受7折优惠，避免混淆计费规则出错。
【难度系数】
0.7
