7. 已知代数式 $2x^2 + 7xy + 3y^2 + x^2 - kxy + 5y^2$，请解决下面的问题：
(1)当k为何值时，代数式合并同类项后不含xy项？
(2)在(1)的前提下，当 $x=2$，$y=-1$ 时，求代数式的值。

(1)因为$2x^2 + 7xy + 3y^2 + x^2 - kxy + 5y^2$
$=(2x^2+x^2)+(3y^2+5y^2)+(7xy-kxy)$
$=3x^2+8y^2+(7-k)xy$，
所以只要$7-k=0$,这个代数式就不含$xy$项，
即$k=7$时,代数式中不含$xy$项。
(2)由(1)知,代数式可化为$3x^2+8y^2$，
当$x=2,y=-1$时，
$3x^2+8y^2=3×2^2+8×(-1)^2=12+8=20$。

【分析】
解决本题可按以下思路思考：
(1)要使合并同类项后的代数式不含xy项，首先需要先对原代数式合并同类项，找到所有xy项合并后的系数；代数式不含某一项的含义是这一项的系数为0，据此列方程即可求出k的值。
(2)在(1)的结论下，先将k代入得到化简后的代数式，再把x、y的数值代入化简后的式子计算即可，计算时注意负数的偶次幂是正数。
【解析】
(1)先对原代数式合并同类项：
$2x^2 + 7xy + 3y^2 + x^2 - kxy + 5y^2$
$=(2x^2+x^2)+(3y^2+5y^2)+(7xy-kxy)$
$=3x^2+8y^2+(7-k)xy$
若代数式不含xy项，则xy项的系数为0，即：
$7-k=0$
解得：$k=7$
(2)由(1)可知$k=7$，此时代数式化简为$3x^2+8y^2$，将$x=2$，$y=-1$代入式子：
$3x^2+8y^2=3×2^2+8×(-1)^2=3×4 + 8×1=12+8=20$
【答案】
(1)$k=7$；(2)$20$
【知识点】
合并同类项；代数式求值；多项式的项与系数
【点评】
本题核心考查合并同类项的法则，以及“代数式不含某一项即该项系数为0”的应用，是同类项相关知识点的基础常考题型，掌握合并同类项的运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.8

8. 我们知道，$4x - 2x + x = (4 - 2 + 1)x = 3x$。类似地，我们把$(a + b)$看成一个整体，则$4(a + b) - 2(a + b) + (a + b) = (4 - 2 + 1)(a + b) = 3(a + b)$。“整体思想”是数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用非常广泛。请你应用这种思想方法解答下列问题：
(1) 把$(a - b)^2$看成一个整体，化简$3(a - b)^2 + 6(a - b)^2 - 2(a - b)^2$；
(2) 已知$a = 3, b = 4$，求$3(a - b)^2 + 6(a - b)^2 - 2(a - b)^2$的值；
(3) 已知$a^2 - 2b = 1$，求$2a^2 - 4b$的值。

(1)$3(a - b)^2 + 6(a - b)^2 - 2(a - b)^2$
$=(3+6-2)(a-b)^2$
$=7(a-b)^2$。
(2)原式$=7(a-b)^2=7×(3-4)^2=7×1=7$。
(3)因为$a^2 - 2b = 1$，
所以$2a^2-4b=a^2-2b+a^2-2b=2$。

【分析】
本题运用整体思想解题，解题思路如下：
(1) 把$(a - b)^2$看成一个整体，按照合并同类项的法则，只把整体前面的系数相加减，整体部分保持不变，即可完成化简；
(2) 先利用(1)的化简结果，再将$a=3$、$b=4$代入化简后的式子计算即可；
(3) 观察所求式子$2a^2 - 4b$，可拆分为2个$(a^2 - 2b)$相加，把$a^2 - 2b$看成一个整体，代入已知条件的值即可求出结果。
【解析】
(1) 将$(a - b)^2$看作整体合并同类项：
$3(a - b)^2 + 6(a - b)^2 - 2(a - b)^2$
$=(3+6-2)(a-b)^2$
$=7(a-b)^2$
(2) 把$a=3$，$b=4$代入$7(a-b)^2$得：
原式$=7×(3-4)^2=7×(-1)^2=7×1=7$
(3) 已知$a^2 - 2b = 1$，对所求式子拆分变形：
$2a^2-4b=a^2-2b+a^2-2b=1+1=2$
【答案】
(1)$7(a-b)^2$；(2)$7$；(3)$2$
【知识点】
合并同类项，整体代入思想，代数式求值
【点评】
本题重点考查整体思想在整式运算与代数式求值中的应用，解题的关键是找准可以看作整体的部分，结合合并同类项法则和代换计算即可求解，这类思想是整式相关运算的常用思路，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8