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8.设$M=x^2+3x+7$，$N=-x^2+3x-4$，那么
M与N的大小关系是 (
A.$MN$
D.不确定
M与N的大小关系是 (
C
)A.$MN$
D.不确定
答案
8.C
解析
【分析】
比较两个代数式的大小，常用作差法，思路是先计算两个代数式的差，再判断差的正负性：若差＞0，则被减数大于减数；若差＜0，则被减数小于减数；若差=0，则两者相等。本题我们先计算M-N，再通过整式加减运算化简结果，最后结合平方的非负性判断差的正负，就能得出M和N的大小关系。
【解析】
解：使用作差法比较M和N的大小，计算M-N：
$\begin{aligned}M-N&=(x^2+3x+7)-(-x^2+3x-4)\\&=x^2+3x+7+x^2-3x+4 \quad \mathrm{（去括号：括号前是负号，括号内各项要变号）}\\&=2x^2+11 \quad \mathrm{（合并同类项）}\end{aligned}$
∵ 无论x取何值，都有$x^2≥0$，
∴ $2x^2≥0$，
∴ $2x^2+11≥11＞0$，即$M-N＞0$，
∴ $M＞N$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小；整式的加减运算；平方的非负性
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，解题关键是熟练掌握作差法比较代数式大小的逻辑，同时要准确进行去括号、合并同类项的运算，结合平方数的非负性即可快速判断结果。
【难度系数】
0.8
比较两个代数式的大小，常用作差法，思路是先计算两个代数式的差，再判断差的正负性：若差＞0，则被减数大于减数；若差＜0，则被减数小于减数；若差=0，则两者相等。本题我们先计算M-N，再通过整式加减运算化简结果，最后结合平方的非负性判断差的正负，就能得出M和N的大小关系。
【解析】
解：使用作差法比较M和N的大小，计算M-N：
$\begin{aligned}M-N&=(x^2+3x+7)-(-x^2+3x-4)\\&=x^2+3x+7+x^2-3x+4 \quad \mathrm{（去括号：括号前是负号，括号内各项要变号）}\\&=2x^2+11 \quad \mathrm{（合并同类项）}\end{aligned}$
∵ 无论x取何值，都有$x^2≥0$，
∴ $2x^2≥0$，
∴ $2x^2+11≥11＞0$，即$M-N＞0$，
∴ $M＞N$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
作差法比较大小；整式的加减运算；平方的非负性
【点评】
本题是整式加减的基础应用题型，解题关键是熟练掌握作差法比较代数式大小的逻辑，同时要准确进行去括号、合并同类项的运算，结合平方数的非负性即可快速判断结果。
【难度系数】
0.8
9. 能力训练点·批判性思维 以下是嘉淇的计算过程：$-3x^2 + (3x - 4x^2) - (■ + 6 + 2x^2) = -9x^2 + 6x - 6$，已知她的计算结果是正确的，但“■”处被墨水弄脏看不清了，“■”处应是(
A.$3x$
B.$-3x$
C.$3x^2$
D.$-3x^2$
B
)A.$3x$
B.$-3x$
C.$3x^2$
D.$-3x^2$
答案
9.B
解析
【分析】
要确定被墨水弄脏的“■”处的式子，我们可以设该处的代数式为A，利用等式左右两边相等的性质，先对等式左边的整式去括号、合并同类项，再对比等式两边的同类项，或者通过移项将A单独分离出来计算，就能求出A的具体表达式，对应选项得到答案。
【解析】
设“■”处的代数式为A，根据题意得：
$-3x^2 + (3x - 4x^2) - (A + 6 + 2x^2) = -9x^2 + 6x - 6$
第一步：去括号，括号前为负号时括号内各项要变号：
$-3x^2 + 3x - 4x^2 - A - 6 - 2x^2 = -9x^2 + 6x - 6$
第二步：合并等式左侧的同类项：
$(-3x^2 - 4x^2 - 2x^2) + 3x - 6 - A = -9x^2 + 6x - 6$
化简得：$-9x^2 + 3x - 6 - A = -9x^2 + 6x - 6$
第三步：等式两边同时消去相同的项（同时加$9x^2$、加6），可得：
$3x - A = 6x$
第四步：移项求解A：
$-A = 6x - 3x$
$-A = 3x$
$A = -3x$
因此“■”处为$-3x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的逆向应用题型，核心考查去括号、合并同类项的运算规则，解题时通过设未知量建立等式，利用等式性质计算即可，是整式加减部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8
要确定被墨水弄脏的“■”处的式子，我们可以设该处的代数式为A，利用等式左右两边相等的性质，先对等式左边的整式去括号、合并同类项，再对比等式两边的同类项，或者通过移项将A单独分离出来计算，就能求出A的具体表达式，对应选项得到答案。
【解析】
设“■”处的代数式为A，根据题意得：
$-3x^2 + (3x - 4x^2) - (A + 6 + 2x^2) = -9x^2 + 6x - 6$
第一步：去括号，括号前为负号时括号内各项要变号：
$-3x^2 + 3x - 4x^2 - A - 6 - 2x^2 = -9x^2 + 6x - 6$
第二步：合并等式左侧的同类项：
$(-3x^2 - 4x^2 - 2x^2) + 3x - 6 - A = -9x^2 + 6x - 6$
化简得：$-9x^2 + 3x - 6 - A = -9x^2 + 6x - 6$
第三步：等式两边同时消去相同的项（同时加$9x^2$、加6），可得：
$3x - A = 6x$
第四步：移项求解A：
$-A = 6x - 3x$
$-A = 3x$
$A = -3x$
因此“■”处为$-3x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的逆向应用题型，核心考查去括号、合并同类项的运算规则，解题时通过设未知量建立等式，利用等式性质计算即可，是整式加减部分的典型基础题。
【难度系数】
0.8
10.聪聪做一道题:已知两个多项式$A$,$B$,计算$A-3B$,其中$B=2x^2+2xy+y^2$.他误将“$A-3B$”看成了“$3A-B$”,求得的结果为$x^2-14xy-4y^2$.
(1)求多项式$A$;
(2)若$x=-3$,$y=2$,求$A-3B$的值.
(1)求多项式$A$;
(2)若$x=-3$,$y=2$,求$A-3B$的值.
答案
10.解：(1)由题意，得$3A-B=x^2-14xy-4y^2$，
则$3A=x^2-14xy-4y^2+B=x^2-14xy-4y^2+2x^2+2xy+y^2=3x^2-12xy-3y^2$，
所以$A=\frac{1}{3}(3x^2-12xy-3y^2)=x^2-4xy-y^2$.
(2)$A-3B=x^2-4xy-y^2-3(2x^2+2xy+y^2)=x^2-4xy-y^2-6x^2-6xy-3y^2=-5x^2-10xy-4y^2$.
当$x=-3,y=2$时，
$A-3B=-5×(-3)^2-10×(-3)×2-4×2^2=-1$.
则$3A=x^2-14xy-4y^2+B=x^2-14xy-4y^2+2x^2+2xy+y^2=3x^2-12xy-3y^2$，
所以$A=\frac{1}{3}(3x^2-12xy-3y^2)=x^2-4xy-y^2$.
(2)$A-3B=x^2-4xy-y^2-3(2x^2+2xy+y^2)=x^2-4xy-y^2-6x^2-6xy-3y^2=-5x^2-10xy-4y^2$.
当$x=-3,y=2$时，
$A-3B=-5×(-3)^2-10×(-3)×2-4×2^2=-1$.
解析
【分析】
(1) 要推导多项式A，需利用误算的关系建立等式：已知误将$A-3B$算成$3A-B$，得到结果为$x^2-14xy-4y^2$，且B的表达式已知，因此可先通过“$3A=错误运算结果+B$”求出3A的表达式，再将结果除以3即可得到A；
(2) 求$A-3B$的值时，先把求出的A和已知的B代入表达式，通过去括号、合并同类项完成化简，再将$x=-3、y=2$代入化简后的式子计算即可，运算时要注意符号规则，避免出错。
【解析】
(1) 由题意得：$3A - B = x^2 - 14xy - 4y^2$，已知$B=2x^2+2xy+y^2$，
移项代入B的表达式得：
$\begin{aligned}3A&=x^2 - 14xy - 4y^2 + B\\&=x^2 - 14xy - 4y^2 + 2x^2 + 2xy + y^2\\&=3x^2 -12xy -3y^2\end{aligned}$
两边同时除以3得：$A=x^2 -4xy -y^2$。
(2) 将A、B代入$A-3B$得：
$\begin{aligned}A-3B&=(x^2 -4xy -y^2)-3(2x^2+2xy+y^2)\\&=x^2 -4xy -y^2 -6x^2 -6xy -3y^2\\&=-5x^2 -10xy -4y^2\end{aligned}$
把$x=-3$，$y=2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-5×(-3)^2 -10×(-3)×2 -4×2^2\\&=-5×9 +60 -4×4\\&=-45+60-16\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=x^2 -4xy -y^2$；
(2) 当$x=-3,y=2$时，$A-3B$的值为$\boldsymbol{-1}$。
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式加减的典型错中求解题型，核心是利用错误运算关系建立等式求出未知多项式，重点考查去括号符号规则、合并同类项以及代数式代入求值的运算能力，是整式加减模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
(1) 要推导多项式A，需利用误算的关系建立等式：已知误将$A-3B$算成$3A-B$，得到结果为$x^2-14xy-4y^2$，且B的表达式已知，因此可先通过“$3A=错误运算结果+B$”求出3A的表达式，再将结果除以3即可得到A；
(2) 求$A-3B$的值时，先把求出的A和已知的B代入表达式，通过去括号、合并同类项完成化简，再将$x=-3、y=2$代入化简后的式子计算即可，运算时要注意符号规则，避免出错。
【解析】
(1) 由题意得：$3A - B = x^2 - 14xy - 4y^2$，已知$B=2x^2+2xy+y^2$，
移项代入B的表达式得：
$\begin{aligned}3A&=x^2 - 14xy - 4y^2 + B\\&=x^2 - 14xy - 4y^2 + 2x^2 + 2xy + y^2\\&=3x^2 -12xy -3y^2\end{aligned}$
两边同时除以3得：$A=x^2 -4xy -y^2$。
(2) 将A、B代入$A-3B$得：
$\begin{aligned}A-3B&=(x^2 -4xy -y^2)-3(2x^2+2xy+y^2)\\&=x^2 -4xy -y^2 -6x^2 -6xy -3y^2\\&=-5x^2 -10xy -4y^2\end{aligned}$
把$x=-3$，$y=2$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-5×(-3)^2 -10×(-3)×2 -4×2^2\\&=-5×9 +60 -4×4\\&=-45+60-16\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=x^2 -4xy -y^2$；
(2) 当$x=-3,y=2$时，$A-3B$的值为$\boldsymbol{-1}$。
【知识点】
整式的加减运算，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题是整式加减的典型错中求解题型，核心是利用错误运算关系建立等式求出未知多项式，重点考查去括号符号规则、合并同类项以及代数式代入求值的运算能力，是整式加减模块的基础常考题。
【难度系数】
0.7
11.某校开展了“读书分享”活动,并设立了一、二、三等奖.学校根据需要买了80件奖品,其中二等奖奖品的数量比一等奖奖品数量的4倍少10件,各种奖品的单价及数量如下表:
(1)将表格补充完整.
(2)用含x的代数式表示买这80件奖品所需的总费用.
(3)若一等奖奖品买了12件,则该校买这80件奖品共花费多少元?
(1)将表格补充完整.
(2)用含x的代数式表示买这80件奖品所需的总费用.
(3)若一等奖奖品买了12件,则该校买这80件奖品共花费多少元?
答案
11.解：(1)$4x-10$；$90-5x$
(2)买这80件奖品所需的总费用为$18x+12(4x-10)+6(90-5x)=36x+420$(元).
(3)当$x=12$时，$36x+420=36×12+420=852$.
答：该校买这80件奖品共花费852元.
(2)买这80件奖品所需的总费用为$18x+12(4x-10)+6(90-5x)=36x+420$(元).
(3)当$x=12$时，$36x+420=36×12+420=852$.
答：该校买这80件奖品共花费852元.
解析
【分析】
1. 第(1)问解题思路：设一等奖奖品数量为x件，根据“二等奖奖品的数量比一等奖奖品数量的4倍少10件”可直接写出二等奖数量的表达式；再结合总奖品数为80件，用总数量减去一等奖、二等奖的数量，化简后即可得到三等奖数量的表达式。
2. 第(2)问解题思路：总费用等于三类奖品的费用之和，分别按“单价×数量”计算每类奖品的费用，相加后通过去括号、合并同类项化简，即可得到总费用的代数式。
3. 第(3)问解题思路：将x=12直接代入第(2)问得到的总费用代数式中，按运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 设一等奖奖品数量为x件，由题意得二等奖奖品数量为$4x-10$件；
三等奖奖品数量为：$80 - x - (4x - 10) = 90 - 5x$件，故表格依次填$4x-10$、$90-5x$。
(2) 总费用为三类奖品费用之和：
$\begin{aligned}&18x + 12(4x - 10) + 6(90 - 5x)\\=&18x + 48x - 120 + 540 - 30x\\=&36x + 420\end{aligned}$
即买这80件奖品所需总费用为$(36x+420)$元。
(3) 当$x=12$时，代入总费用表达式：
$36×12 + 420 = 432 + 420 = 852$（元）
答：该校买这80件奖品共花费852元。
【答案】
(1) $4x-10$；$90-5x$
(2) $(36x+420)$元
(3) $852$元
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考查对数量关系的梳理能力、整式加减的运算能力以及代数式代入求值的应用能力，解题时要注意去括号的符号规则，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.8
1. 第(1)问解题思路：设一等奖奖品数量为x件，根据“二等奖奖品的数量比一等奖奖品数量的4倍少10件”可直接写出二等奖数量的表达式；再结合总奖品数为80件，用总数量减去一等奖、二等奖的数量，化简后即可得到三等奖数量的表达式。
2. 第(2)问解题思路：总费用等于三类奖品的费用之和，分别按“单价×数量”计算每类奖品的费用，相加后通过去括号、合并同类项化简，即可得到总费用的代数式。
3. 第(3)问解题思路：将x=12直接代入第(2)问得到的总费用代数式中，按运算规则计算出结果即可。
【解析】
(1) 设一等奖奖品数量为x件，由题意得二等奖奖品数量为$4x-10$件；
三等奖奖品数量为：$80 - x - (4x - 10) = 90 - 5x$件，故表格依次填$4x-10$、$90-5x$。
(2) 总费用为三类奖品费用之和：
$\begin{aligned}&18x + 12(4x - 10) + 6(90 - 5x)\\=&18x + 48x - 120 + 540 - 30x\\=&36x + 420\end{aligned}$
即买这80件奖品所需总费用为$(36x+420)$元。
(3) 当$x=12$时，代入总费用表达式：
$36×12 + 420 = 432 + 420 = 852$（元）
答：该校买这80件奖品共花费852元。
【答案】
(1) $4x-10$；$90-5x$
(2) $(36x+420)$元
(3) $852$元
【知识点】
列代数式；整式的加减；代数式求值
【点评】
本题结合生活实际场景命题，核心考查对数量关系的梳理能力、整式加减的运算能力以及代数式代入求值的应用能力，解题时要注意去括号的符号规则，合并同类项时不要漏项。
【难度系数】
0.8
12. 推理能力一个四位正整数M的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“和谐数”。将“和谐数”M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新的四位数N。若N能被9整除，则满足条件的M的最大值是
8721
。答案
12.8721
解析
【分析】
要找到最大的“和谐数”M，我们可以按以下思路推导：首先明确题目的三个核心限制：①四位数各数位数字互不相等且均不为0；②千位数字+个位数字=百位数字+十位数字（和谐数定义）；③对调得到的N能被9整除。首先回忆能被9整除的数的特征：各数位数字之和是9的倍数，由于N和M的数字完全相同，因此M的四个数字之和是9的倍数。结合和谐数定义，四个数字之和=2×(千位+个位)，因此千位+个位必须是9的倍数。要M最大，优先让高位数字尽可能大：先试千位为9，此时个位只能为0或9，均不符合要求，排除；再试千位为8，可得个位为1，此时百位+十位=9，再让百位尽可能大，排除不符合数字限制的取值后即可得到最大的M。
【解析】
设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据题意：
1. 由N能被9整除，且N和M的数位数字完全相同，可得四个数字之和$a+b+c+d$是9的倍数。
2. 由和谐数定义得$a+d=b+c$，因此四个数字之和$a+b+c+d=2(a+d)$，即$2(a+d)$是9的倍数，又因为2和9互质，所以$a+d$是9的倍数。
3. 求M的最大值，优先取最大的千位a：
若$a=9$：$a+d$为9的倍数时，$d=0$（不符合数字不为0的要求）或$d=9$（和千位重复），故a不能为9。
取$a=8$：$a+d$只能取9（若取18则d=10，不符合数位要求），因此$d=9-8=1$，此时$b+c=a+d=9$。
4. 要M最大，需让百位b尽可能大：
若$b=9$，则$c=9-9=0$，不符合数字不为0的要求；
取$b=7$，则$c=9-7=2$，此时四个数字为8、7、2、1，互不相等且均不为0，满足所有条件。
验证：M=8721，对调后得到N=2187，$2+1+8+7=18$，18是9的倍数，N能被9整除，符合要求。
【答案】
8721
【知识点】
能被9整除的数的特征，新定义应用，数字最值
【点评】
本题结合新定义考查数的性质和最值求解，解题的关键是先通过整除特征和和谐数定义推出千位与个位的和的规律，再按从高到低的数位顺序依次确定数字，兼顾最大值要求和数字限制条件即可得出结果。
【难度系数】
0.6
要找到最大的“和谐数”M，我们可以按以下思路推导：首先明确题目的三个核心限制：①四位数各数位数字互不相等且均不为0；②千位数字+个位数字=百位数字+十位数字（和谐数定义）；③对调得到的N能被9整除。首先回忆能被9整除的数的特征：各数位数字之和是9的倍数，由于N和M的数字完全相同，因此M的四个数字之和是9的倍数。结合和谐数定义，四个数字之和=2×(千位+个位)，因此千位+个位必须是9的倍数。要M最大，优先让高位数字尽可能大：先试千位为9，此时个位只能为0或9，均不符合要求，排除；再试千位为8，可得个位为1，此时百位+十位=9，再让百位尽可能大，排除不符合数字限制的取值后即可得到最大的M。
【解析】
设M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据题意：
1. 由N能被9整除，且N和M的数位数字完全相同，可得四个数字之和$a+b+c+d$是9的倍数。
2. 由和谐数定义得$a+d=b+c$，因此四个数字之和$a+b+c+d=2(a+d)$，即$2(a+d)$是9的倍数，又因为2和9互质，所以$a+d$是9的倍数。
3. 求M的最大值，优先取最大的千位a：
若$a=9$：$a+d$为9的倍数时，$d=0$（不符合数字不为0的要求）或$d=9$（和千位重复），故a不能为9。
取$a=8$：$a+d$只能取9（若取18则d=10，不符合数位要求），因此$d=9-8=1$，此时$b+c=a+d=9$。
4. 要M最大，需让百位b尽可能大：
若$b=9$，则$c=9-9=0$，不符合数字不为0的要求；
取$b=7$，则$c=9-7=2$，此时四个数字为8、7、2、1，互不相等且均不为0，满足所有条件。
验证：M=8721，对调后得到N=2187，$2+1+8+7=18$，18是9的倍数，N能被9整除，符合要求。
【答案】
8721
【知识点】
能被9整除的数的特征，新定义应用，数字最值
【点评】
本题结合新定义考查数的性质和最值求解，解题的关键是先通过整除特征和和谐数定义推出千位与个位的和的规律，再按从高到低的数位顺序依次确定数字，兼顾最大值要求和数字限制条件即可得出结果。
【难度系数】
0.6
