学习任务一 绝对值的几何意义
|情境创设|
已知两辆汽车从同一地点出发，其中一辆向东行驶10 km，到达A处，另一辆向西行驶10 km，到达B处。
问题1:它们的行驶路线相同吗？它们的行驶路程相同吗？
问题2:如图，规定出发点为原点(点O)，用0表示点O，向东为正方向，用1个单位长度(线段OC的长)代表1 km长，则点A用数表示为，点B用数表示为。
|情境创设|
观察下面数轴上的点。
问题3:数轴上表示－3的点与原点的距离是多少？表示3的点与原点的距离是多少？表示－2和2的两点与原点的距离分别又是多少？
|知识梳理|
一般地，数轴上表示数a的点与原点的叫作数a的绝对值，记作。

问题1:它们的行驶路线不同，行驶路程相同。
问题2:+10 -10
问题3:数轴上表示－3的点与原点的距离是3，表示3的点与原点的距离是3，表示－2和2的点与原点的距离都是2。
知识梳理：距离 |a|

【分析】
解题时按照问题顺序逐个突破：1. 解决问题1需明确“路线”包含方向属性，“路程”仅统计移动的长度，对比两辆车的行驶方向和移动长度即可得出结论。2. 解决问题2结合数轴的规定，正方向对应向东，负方向对应向西，移动多少千米就对应多少个单位长度，即可写出A、B对应的数。3. 解决问题3需清楚数轴上点到原点的距离是不带符号的非负长度，去掉数的正负号就是对应的距离。4. 知识梳理结合前面的实例，直接总结绝对值的几何定义即可。
【解析】
问题1：行驶路线有方向属性，两辆车分别向东、向西行驶，方向相反，因此行驶路线不同；行驶路程仅统计移动的长度，两辆车都行驶了10km，因此行驶路程相同。
问题2：规定出发点为原点，向东为正方向，1个单位长度代表1km，向东行驶10km的A点对应正方向10个单位，即表示为+10；向西行驶10km的B点对应负方向10个单位，即表示为-10。
问题3：数轴上点到原点的距离为非负长度，与数的符号无关：表示-3的点与原点的距离是3，表示3的点与原点的距离是3，表示-2的点与原点的距离是2，表示2的点与原点的距离是2。
知识梳理：结合上述实例可知，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|。
【答案】
问题1:它们的行驶路线不同，行驶路程相同。
问题2:+10 -10
问题3:数轴上表示－3的点与原点的距离是3，表示3的点与原点的距离是3，表示－2和2的点与原点的距离都是2。
知识梳理：距离 |a|
【知识点】
正负数的意义，数轴的概念，绝对值的定义
【点评】
本题从生活实际情境出发，逐步引导学生认知绝对值的几何意义，侧重基础概念的理解，能帮助学生建立数轴和绝对值的关联，为后续学习绝对值的相关性质打下基础。
【难度系数】
0.9

1.一个正数的绝对值是它$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$；一个负数的绝对值是它的$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$；0的绝对值是$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$。
(1)如果$a$是正数，那么$|a|=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$；
(2)如果$a$是0，那么$|a|=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$；
(3)如果$a$是负数，那么$|a|=\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$。
2.互为相反数的两个数的绝对值$\boldsymbol{\_\_\_\_\_\_}$。

1.本身 相反数 0
(1)a (2)0 (3)-a
2.相等

【分析】
我们可以从绝对值的含义入手思考：绝对值指的是数轴上某个数对应的点到原点的距离，距离一定是非负的。由此推导不同符号的数的绝对值：①正数本身在原点正侧，到原点的距离就是它自己的大小，所以正数绝对值是它本身；②负数在原点负侧，到原点的距离和它的相反数（在原点正侧，和它到原点距离相等）的大小一致，所以负数绝对值是它的相反数；③0就在原点上，到原点的距离是0，所以0的绝对值是0。再用字母对应三种情况填写即可；互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称，到原点的距离相同，因此绝对值相等。
【解析】
1. 根据绝对值的代数意义：
正数的绝对值是它本身，例如$\vert3\vert=3$；
负数的绝对值是它的相反数，例如$\vert-3\vert=3$，3是-3的相反数；
0的绝对值是0。
用字母表示对应规则：
(1) 若$a$是正数，$\vert a\vert=a$；
(2) 若$a$是0，$\vert a\vert=0$；
(3) 若$a$是负数，$\vert a\vert=-a$（此处$-a$表示正数，例如$a=-2$时，$-a=2$，符合绝对值非负的要求）。
2. 互为相反数的两个数，例如3和-3，绝对值都是3，因此互为相反数的两个数的绝对值相等。
【答案】
1.本身 相反数 0
(1)$a$ (2)$0$ (3)$-a$
2.相等
【知识点】
绝对值的性质；相反数的特征
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考查对绝对值分类性质的理解与掌握，是学习绝对值化简、有理数运算的必备基础，需熟练记忆绝对值的三种分类情况。
【难度系数】
0.9

【例1】求下列各数的绝对值：
(1)219； (2)+3.5； (3)$-\frac{3}{2}$； (4)0；
(5)$-4\frac{3}{4}$。
解：

(1)219. (2)3.5. (3)$\frac{3}{2}$. (4)0.
(5)$4\frac{3}{4}$.

【分析】
解题前先回忆绝对值的运算规则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。解题时依次判断每个数的正负属性，再对应套用上述规则计算即可，无需复杂变形，重点是准确识别数的符号。
【解析】
根据绝对值的性质计算：
(1) 219是正数，正数的绝对值等于它本身，因此$\left|219\right|=219$；
(2) $+3.5$是正数，因此$\left|+3.5\right|=3.5$；
(3) $-\frac{3}{2}$是负数，负数的绝对值等于它的相反数，因此$\left|-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$；
(4) 0的绝对值是0，因此$\left|0\right|=0$；
(5) $-4\frac{3}{4}$是负数，因此$\left|-4\frac{3}{4}\right|=4\frac{3}{4}$。
【答案】
(1)219；(2)3.5；(3)$\frac{3}{2}$；(4)0；(5)$4\frac{3}{4}$
【知识点】
绝对值的性质
【点评】
本题是绝对值运算的基础题型，核心考查对绝对值运算法则的记忆与应用，熟练掌握该知识点是后续学习有理数混合运算的重要基础。
【难度系数】
0.9