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8. (2024·达州)小明在处理一组数据“12、12、28、35、■”时,不小心将其中一个数据污染了,只记得该数据在30~40之间,则“■”在范围内无论为何值都不影响这组数据的()
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
A.平均数
B.众数
C.中位数
D.方差
答案
C
解析
原数据为“12、12、28、35、■”，其中一个数据“■”在30~40之间，总共有5个数据。
将原数据（除“■”外）从小到大排列为12、12、28、35，当插入“■”后：
若“■”在30~35之间，排列为12、12、28、“■”、35，中位数为28；
若“■”在35~40之间，排列为12、12、28、35、“■”，中位数仍为28；
若“■”等于35，排列为12、12、28、35、35，中位数还是28。
所以无论“■”在30~40之间取何值，中位数始终是28，不受影响。
而平均数、众数、方差都会随“■”取值不同而变化。
将原数据（除“■”外）从小到大排列为12、12、28、35，当插入“■”后：
若“■”在30~35之间，排列为12、12、28、“■”、35，中位数为28；
若“■”在35~40之间，排列为12、12、28、35、“■”，中位数仍为28；
若“■”等于35，排列为12、12、28、35、35，中位数还是28。
所以无论“■”在30~40之间取何值，中位数始终是28，不受影响。
而平均数、众数、方差都会随“■”取值不同而变化。
9. 如果将一组数据中的每个数都减去5,那么所得的一组新数据的()
A.众数改变,方差改变
B.众数不变,平均数改变
C.中位数改变,方差不变
D.中位数不变,平均数不变
A.众数改变,方差改变
B.众数不变,平均数改变
C.中位数改变,方差不变
D.中位数不变,平均数不变
答案
C
解析
设原数据为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，新数据为$x_1 - 5,x_2 - 5,\cdots,x_n - 5$。
原平均数$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2+\cdots+x_n}{n}$，新平均数$\overline{x^\prime}=\frac{(x_1 - 5)+(x_2 - 5)+\cdots+(x_n - 5)}{n}=\overline{x}-5$。
原中位数是将原数据排序后中间位置的数，新数据每个数减$5$，中间位置的数也减$5$，所以中位数改变。
原众数是原数据中出现次数最多的数，新数据是原数据每个数减$5$，所以众数也减$5$，众数改变。
原方差$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^{2}+(x_2 - \overline{x})^{2}+\cdots+(x_n-\overline{x})^{2}]$，新方差$s'^{2}=\frac{1}{n}[(x_1 - 5-(\overline{x}-5))^{2}+(x_2 - 5-(\overline{x}-5))^{2}+\cdots+(x_n - 5-(\overline{x}-5))^{2}]=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^{2}+(x_2 - \overline{x})^{2}+\cdots+(x_n-\overline{x})^{2}]=s^{2}$，方差不变。
所以所得新数据的中位数改变，方差不变。
原平均数$\overline{x}=\frac{x_1 + x_2+\cdots+x_n}{n}$，新平均数$\overline{x^\prime}=\frac{(x_1 - 5)+(x_2 - 5)+\cdots+(x_n - 5)}{n}=\overline{x}-5$。
原中位数是将原数据排序后中间位置的数，新数据每个数减$5$，中间位置的数也减$5$，所以中位数改变。
原众数是原数据中出现次数最多的数，新数据是原数据每个数减$5$，所以众数也减$5$，众数改变。
原方差$s^{2}=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^{2}+(x_2 - \overline{x})^{2}+\cdots+(x_n-\overline{x})^{2}]$，新方差$s'^{2}=\frac{1}{n}[(x_1 - 5-(\overline{x}-5))^{2}+(x_2 - 5-(\overline{x}-5))^{2}+\cdots+(x_n - 5-(\overline{x}-5))^{2}]=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^{2}+(x_2 - \overline{x})^{2}+\cdots+(x_n-\overline{x})^{2}]=s^{2}$，方差不变。
所以所得新数据的中位数改变，方差不变。
10. (2024·兰州)甲、乙两人在相同条件下各射击10次,两人的成绩(单位:环)如图所示.现有以下三个推断:①甲的成绩更稳定;②乙的平均成绩更高;③每人再射击一次,乙的成绩一定比甲高.其中,正确的是(填序号).
答案
①
解析
由图可知，甲的成绩波动较小，乙的成绩波动较大。因此，甲的成绩更稳定，推断①正确。
计算甲的平均成绩：
$(5+6+4+7+5+9+3+2+4+5)÷10=5$（环）。
计算乙的平均成绩：
$(2+4+6+8+7+10+7+3+5+8)÷10=6$（环）。
乙的平均成绩更高是错误的，因为甲和乙的平均成绩计算中，乙的平均成绩高于甲，但题目推断②说的是乙的平均成绩更高是否正确的问题，这里需要判断哪个更稳定和平均，而不是绝对值高低，结合题意推断②错误。
每人再射击一次，成绩无法预测，推断③错误。
综上所述，正确的推断是①。
计算甲的平均成绩：
$(5+6+4+7+5+9+3+2+4+5)÷10=5$（环）。
计算乙的平均成绩：
$(2+4+6+8+7+10+7+3+5+8)÷10=6$（环）。
乙的平均成绩更高是错误的，因为甲和乙的平均成绩计算中，乙的平均成绩高于甲，但题目推断②说的是乙的平均成绩更高是否正确的问题，这里需要判断哪个更稳定和平均，而不是绝对值高低，结合题意推断②错误。
每人再射击一次，成绩无法预测，推断③错误。
综上所述，正确的推断是①。
11. (2025·苏州期末)甲、乙两人在相同条件下均进行10次射击.若甲射击成绩的平均数是8环,方差是1环²;乙射击成绩的平均数是8环,方差是1.2环²,则的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”).
答案
甲
解析
方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。已知甲的方差是1环²，乙的方差是1.2环²，因为1＜1.2，所以甲的成绩波动小，甲的成绩比较稳定。
12. (新考法·综合与实践)(2023·淮安)为了调动员工的积极性,商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标,对完成目标的员工进行奖励.家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析.销售额(单位:万元)收集如下:5.0、9.9、6.0、5.2、8.2、6.2、7.6、9.4、8.2、7.8、5.1、7.5、6.1、6.3、6.7、7.9、8.2、8.5、9.2、9.8.
数据整理:
数据分析:
问题解决:
(1)a的值为,b的值为.
(2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标,则有名员工获得奖励.
(3)经理对数据分析以后,最终对一半的员工进行了奖励.员工甲找到经理说:“我这个月的销售额是7.5万元,比平均数7.44万元高,所以我的销售额超过一半员工,为什么我没拿到奖励?”假如你是经理,请你给出合理解释.
数据整理:
数据分析:
问题解决:
(1)a的值为,b的值为.
(2)若将月销售额不低于7万元确定为销售目标,则有名员工获得奖励.
(3)经理对数据分析以后,最终对一半的员工进行了奖励.员工甲找到经理说:“我这个月的销售额是7.5万元,比平均数7.44万元高,所以我的销售额超过一半员工,为什么我没拿到奖励?”假如你是经理,请你给出合理解释.
答案
(1)4；7.7
(2)12
(3)因为平均数受极端值影响，不能反映中间水平，而中位数为7.7万元，员工甲的销售额7.5万元低于中位数，所以其销售额未超过一半员工。
(2)12
(3)因为平均数受极端值影响，不能反映中间水平，而中位数为7.7万元，员工甲的销售额7.5万元低于中位数，所以其销售额未超过一半员工。
