登录
13. 某同学使用计算器求30个数据的平均数时,错将其中的一个数据406输入为46,那么由此求出的平均数与实际平均数的差是()
A.-12
B.9
C.-9
D.12
A.-12
B.9
C.-9
D.12
答案
A
解析
设其余29个数据的和为$ S $，实际总和为$ S + 406 $，错误总和为$ S + 46 $。实际平均数为$\frac{S + 406}{30}$，错误平均数为$\frac{S + 46}{30}$。两者的差为$\frac{S + 46}{30} - \frac{S + 406}{30} = \frac{46 - 406}{30} = \frac{-360}{30} = -12$。
14. (2023·牡丹江)一组数据1、x、5、7有唯一众数,且中位数是6,则平均数是()
A.6
B.5
C.4
D.3
A.6
B.5
C.4
D.3
答案
B
解析
已知数据1、x、5、7有唯一众数且中位数是6。
数据共4个数，中位数为第2、3个数的平均数，即$\frac{第2个数+第3个数}{2}=6$，故第2个数+第3个数=12。
讨论x的位置：
若x≤5，排序后数据为1,x,5,7，第2、3个数为x和5，$x+5=12$得x=7，与x≤5矛盾，舍去；
若5＜x≤7，排序后数据为1,5,x,7，第2、3个数为5和x，$5+x=12$得x=7，符合条件；
若x＞7，排序后数据为1,5,7,x，各数均出现1次，无众数，不符合“唯一众数”。
综上，x=7，数据为1,5,7,7。众数为7（唯一），中位数为$\frac{5+7}{2}=6$，符合题意。
平均数为$\frac{1+5+7+7}{4}=5$。
数据共4个数，中位数为第2、3个数的平均数，即$\frac{第2个数+第3个数}{2}=6$，故第2个数+第3个数=12。
讨论x的位置：
若x≤5，排序后数据为1,x,5,7，第2、3个数为x和5，$x+5=12$得x=7，与x≤5矛盾，舍去；
若5＜x≤7，排序后数据为1,5,x,7，第2、3个数为5和x，$5+x=12$得x=7，符合条件；
若x＞7，排序后数据为1,5,7,x，各数均出现1次，无众数，不符合“唯一众数”。
综上，x=7，数据为1,5,7,7。众数为7（唯一），中位数为$\frac{5+7}{2}=6$，符合题意。
平均数为$\frac{1+5+7+7}{4}=5$。
15. (2024·德阳)为了推进“阳光体育”,学校积极开展球类运动,在一次定点投篮测试中,每人投篮5次,七年级某班统计全班50名学生投中的次数,并记录如下:
表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了,下列关于投中次数的统计量中可以确定的是()
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
表格中有两处数据不小心被墨汁遮盖了,下列关于投中次数的统计量中可以确定的是()
A.平均数
B.中位数
C.众数
D.方差
答案
C
解析
设投中1次人数为x，投中4次人数为y，由总人数50得1+x+10+17+y+6=50，即x+y=16。众数是出现次数最多的数据，投中3次人数为17，x≤16，y≤16，均小于17，故众数为3，可确定。平均数、方差依赖x,y值，中位数因x取值不同位置不同，均不可确定。
16. 第1组数据为0、0、0、1、1、1,第2组数据为$\underbrace{0、0、\cdots、0}_{m个0}$、$\underbrace{1、1、\cdots、1}_{n个1}$,其中m、n是正整数.有下列结论:①当m=n时,两组数据的平均数相等;②当m＞n时,第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数;③当m＜n时,第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数;④当m=n时,第2组数据的方差小于第1组数据的方差.其中,正确的是()
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
A.①②
B.①③
C.①④
D.③④
答案
B
解析
①第1组数据平均数：$(0×3+1×3)/6=0.5$；当$m=n$时，第2组数据平均数：$(0×m+1×m)/(m+n)=m/(2m)=0.5$，两组平均数相等，①正确。
②当$m＞n$时，第2组平均数$n/(m+n)＜n/(2n)=0.5$（第1组平均数），故第1组平均数大于第2组，②错误。
③第1组数据中位数：$(0+1)/2=0.5$；当$m＜n$时，第2组数据排序后前$m$个为0，后$n$个为1，中位数位置在$m+1$到$n$之间，值为1，$0.5＜1$，③正确。
④当$m=n$时，第2组方差：$[m×(0-0.5)^2+m×(1-0.5)^2]/(2m)=0.25$，与第1组方差相等，④错误。
正确的是①③。
②当$m＞n$时，第2组平均数$n/(m+n)＜n/(2n)=0.5$（第1组平均数），故第1组平均数大于第2组，②错误。
③第1组数据中位数：$(0+1)/2=0.5$；当$m＜n$时，第2组数据排序后前$m$个为0，后$n$个为1，中位数位置在$m+1$到$n$之间，值为1，$0.5＜1$，③正确。
④当$m=n$时，第2组方差：$[m×(0-0.5)^2+m×(1-0.5)^2]/(2m)=0.25$，与第1组方差相等，④错误。
正确的是①③。
17. 一组数据-2、4、-7、a、5的极差为16,则这组数据的平均数为.
答案
$1.8$或$- 2.2$（若用分数表示为$\frac{9}{5}$或$-\frac{11}{5}$）
解析
极差为最大值与最小值之差，已知数据$-2,4,-7,a,5$的极差为$16$。
分两种情况：
当$a$是最大值时，$a-(-7)=16$，解得$a = 9$。
此时这组数据的平均数为$\frac{-2 + 4-7 + 9+5}{5}=\frac{9}{5}=1.8$。
当$a$是最小值时，$5 - a=16$，解得$a=-11$。
此时这组数据的平均数为$\frac{-2 + 4-7-11 + 5}{5}=\frac{-11}{5}=-2.2$。
分两种情况：
当$a$是最大值时，$a-(-7)=16$，解得$a = 9$。
此时这组数据的平均数为$\frac{-2 + 4-7 + 9+5}{5}=\frac{9}{5}=1.8$。
当$a$是最小值时，$5 - a=16$，解得$a=-11$。
此时这组数据的平均数为$\frac{-2 + 4-7-11 + 5}{5}=\frac{-11}{5}=-2.2$。
18. 某小组6名学生的平均身高为a cm,规定超过a cm的部分记为正数,不足a cm的部分记为负数,他们的身高与平均身高的差值情况记录如下表:
据此判断,2号学生的身高为cm(用含a的式子表示).
据此判断,2号学生的身高为cm(用含a的式子表示).
答案
$a + 1$
解析
因为6名学生的平均身高为a cm，所以他们身高差值的总和为0。即$2 + x + 3 + (-1) + (-4) + (-1) = 0$，解得$x = 1$。2号学生的身高差值为$x = 1$，所以2号学生的身高为$a + 1$ cm。
19. (2023·衢州)某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额(单位:元)为30、50、50、60、60.若捐款最少的员工又多捐了20元,则分析这5名员工捐款额的数据时,下列统计量:①平均数;②中位数;③众数;④方差.其中,不受影响的统计量是(填序号).
答案
②
解析
原数据：30、50、50、60、60。捐款最少的员工多捐20元后，新数据为50、50、50、60、60。
①原平均数：(30+50+50+60+60)÷5=48，新平均数：(50+50+50+60+60)÷5=54，平均数变化；
②原中位数：50，新中位数：50，中位数不变；
③原众数：50和60，新众数：50，众数变化；
④原方差：[(30-48)²+(50-48)²×2+(60-48)²×2]÷5=176，新方差：[(50-54)²×3+(60-54)²×2]÷5=24，方差变化。
不受影响的是②。
①原平均数：(30+50+50+60+60)÷5=48，新平均数：(50+50+50+60+60)÷5=54，平均数变化；
②原中位数：50，新中位数：50，中位数不变；
③原众数：50和60，新众数：50，众数变化；
④原方差：[(30-48)²+(50-48)²×2+(60-48)²×2]÷5=176，新方差：[(50-54)²×3+(60-54)²×2]÷5=24，方差变化。
不受影响的是②。
20. 小聪用$s^{2}=\frac{1}{9}[(x_{1}-5)^{2}+(x_{2}-5)^{2}+\cdots+(x_{8}-5)^{2}+(x_{9}-5)^{2}]$计算一组数据的方差,那么$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{8}+x_{9}$的值为.
答案
45
解析
根据方差的定义，方差 $s^2$ 是各个数据与平均数之差的平方的平均数。
题目中给出的方差公式为：$s^{2}=\frac{1}{9}[(x_{1}-5)^{2}+(x_{2}-5)^{2}+\cdots+(x_{8}-5)^{2}+(x_{9}-5)^{2}]$。
从这个公式可以看出，数据组中的每一个数据 $x_i$ 都是与 5 进行比较（即求差），因此可以判断这组数据的平均数是 5。
根据平均数的定义，有：$\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{8}+x_{9}}{9} = 5$。
解这个方程，得到：$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{8}+x_{9} = 45$。
题目中给出的方差公式为：$s^{2}=\frac{1}{9}[(x_{1}-5)^{2}+(x_{2}-5)^{2}+\cdots+(x_{8}-5)^{2}+(x_{9}-5)^{2}]$。
从这个公式可以看出，数据组中的每一个数据 $x_i$ 都是与 5 进行比较（即求差），因此可以判断这组数据的平均数是 5。
根据平均数的定义，有：$\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{8}+x_{9}}{9} = 5$。
解这个方程，得到：$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{8}+x_{9} = 45$。
21. (2024·牡丹江改编)已知一组数据11、12、a、b、c、13、12有唯一的众数13.若这组数据的平均数是12,则它的中位数是.
答案
$12$（填对应选项字母即可，如题目未给选项，则直接填数值）
解析
已知数据组为$11, 12, a, b, c, 13, 12$，有唯一众数$13$，因此$a, b, c$中必须至少有两个$13$，且另一个数不等于$13$或$12$（保证众数唯一）。
设$a = 13, b = 13, c = x$，其中$x \neq 13$且$x \neq 12$。
根据平均数为$12$，有：
$\frac{11 + 12 + 13 + 13 + 13 + 12 + x}{7} = 12$，
$\frac{74 + x}{7} = 12$，
$74 + x = 84$，
$x = 10$，
完整数据组为$10, 11, 12, 12, 13, 13, 13$（需排序确定中位数）。
数据排序后为$10, 11, 12, 12, 13, 13, 13$，中位数为第4个数，即$12$。
设$a = 13, b = 13, c = x$，其中$x \neq 13$且$x \neq 12$。
根据平均数为$12$，有：
$\frac{11 + 12 + 13 + 13 + 13 + 12 + x}{7} = 12$，
$\frac{74 + x}{7} = 12$，
$74 + x = 84$，
$x = 10$，
完整数据组为$10, 11, 12, 12, 13, 13, 13$（需排序确定中位数）。
数据排序后为$10, 11, 12, 12, 13, 13, 13$，中位数为第4个数，即$12$。
22. 某次化学测验满分为60分,其中九年级(1)班成绩的平均数为43分,方差为9分².若把每名同学的成绩按100分进行换算,则换算后该班化学测验的成绩的方差为分².
答案
25
解析
设原成绩为$x_1,x_2,\cdots,x_n$，平均数为$\overline{x}=43$，方差为$s^{2}=9$。
换算后的成绩为$y_i = \frac{100}{60}x_i=\frac{5}{3}x_i$，平均数为$\overline{y}=\frac{5}{3}\overline{x}=\frac{5}{3}×43$。
根据方差性质，若$y_i = a x_i + b$，则$s_y^{2}=a^{2}s_x^{2}$，这里$a = \frac{5}{3}$，$b = 0$。
所以换算后的方差$s_y^{2}=(\frac{5}{3})^{2}×9 = 25$。
换算后的成绩为$y_i = \frac{100}{60}x_i=\frac{5}{3}x_i$，平均数为$\overline{y}=\frac{5}{3}\overline{x}=\frac{5}{3}×43$。
根据方差性质，若$y_i = a x_i + b$，则$s_y^{2}=a^{2}s_x^{2}$，这里$a = \frac{5}{3}$，$b = 0$。
所以换算后的方差$s_y^{2}=(\frac{5}{3})^{2}×9 = 25$。
