26. 将一块含 $30^{\circ}$ 角的直角三角尺与一把直尺按如图所示的方式放置,$\angle C = 90^{\circ}$,$\angle A = 30^{\circ}$. 若 $\angle 1= \alpha^{\circ}$,则 $\angle 3-\angle 2$ 的大小为______(用含 $\alpha$ 的式子表示).
答案
$ (30 + 2\alpha)^{\circ} $ 解析：用含 $ \alpha $ 的式子分别表示出 $ \angle 2 = 60^{\circ} - \alpha^{\circ} $，$ \angle 3 = 90^{\circ} + \alpha^{\circ} $。
27. 如图,直线 $AB$,$CD$ 相交于点 $O$,$\angle AOC = 75^{\circ}$,$\angle BOE:\angle DOE = 2:3$.
(1) 求 $\angle BOE$ 的度数;
(2) 若 $OF$ 平分 $\angle AOE$,试说明 $OA$ 是 $\angle COF$ 的平分线.
(1) 求 $\angle BOE$ 的度数;
(2) 若 $OF$ 平分 $\angle AOE$,试说明 $OA$ 是 $\angle COF$ 的平分线.
答案
(1) 因为直线 $ AB $，$ CD $ 相交于点 $ O $，所以 $ \angle BOD = \angle AOC = 75^{\circ} $。因为 $ \angle BOE : \angle DOE = 2 : 3 $，所以 $ \angle BOE = \frac{2}{2 + 3} \angle BOD = \frac{2}{5} \times 75^{\circ} = 30^{\circ} $
(2) 因为 $ \angle AOE + \angle BOE = 180^{\circ} $，$ \angle BOE = 30^{\circ} $，所以 $ \angle AOE = 150^{\circ} $。因为 $ OF $ 平分 $ \angle AOE $，所以 $ \angle AOF = \frac{1}{2} \angle AOE = 75^{\circ} $。因为 $ \angle AOC = 75^{\circ} $，所以 $ \angle AOC = \angle AOF $，所以 $ OA $ 是 $ \angle COF $ 的平分线
(2) 因为 $ \angle AOE + \angle BOE = 180^{\circ} $，$ \angle BOE = 30^{\circ} $，所以 $ \angle AOE = 150^{\circ} $。因为 $ OF $ 平分 $ \angle AOE $，所以 $ \angle AOF = \frac{1}{2} \angle AOE = 75^{\circ} $。因为 $ \angle AOC = 75^{\circ} $，所以 $ \angle AOC = \angle AOF $，所以 $ OA $ 是 $ \angle COF $ 的平分线
28. (新考法·探究题)如图,线段 $AB = 28\mathrm{cm}$,点 $D$ 和点 $C$ 在线段 $AB$ 上,且 $AC:BC = 5:2$,$DC:AB = 1:4$. 点 $P$ 从点 $A$ 出发,以 $4\mathrm{cm/s}$ 的速度沿射线 $AD$ 向点 $C$ 运动,点 $P$ 到达点 $C$ 所在位置后立即按照原路原速返回,到达点 $D$ 所在位置后停止运动,点 $Q$ 从点 $B$ 出发,以 $1\mathrm{cm/s}$ 的速度沿射线 $BC$ 的方向运动,点 $Q$ 到达点 $D$ 所在的位置后停止运动. 点 $P$ 和点 $Q$ 同时出发,点 $Q$ 运动的时间为 $t\mathrm{s}$.
(1) 线段 $AD$ 的长为______$\mathrm{cm}$;
(2) 当 $C$ 恰好为 $PQ$ 的中点时,求 $t$ 的值;
(3) 当 $PQ = 7\mathrm{cm}$ 时,$t$ 的值为______.
(1) 线段 $AD$ 的长为______$\mathrm{cm}$;
(2) 当 $C$ 恰好为 $PQ$ 的中点时,求 $t$ 的值;
(3) 当 $PQ = 7\mathrm{cm}$ 时,$t$ 的值为______.
答案
(1) 13 解析：因为 $ AB = 28cm $，$ AC : BC = 5 : 2 $，所以 $ AC = 28 \times \frac{5}{7} = 20(cm) $，$ BC = AB - AC = 28 - 20 = 8(cm) $。因为 $ DC : AB = 1 : 4 $，所以 $ DC = 28 \times \frac{1}{4} = 7(cm) $。所以 $ AD = AC - DC = 20 - 7 = 13(cm) $。
(2) 根据题意，得点 $ P $ 从 $ A \to C $ 需要 $ 20 \div 4 = 5(s) $，从 $ A \to C \to D $ 共需要 $ (20 + 7) \div 4 = \frac{27}{4}(s) $；点 $ Q $ 从 $ B \to C $ 需要 $ 8 \div 1 = 8(s) $，从 $ B \to D $ 共需要 $ (8 + 7) \div 1 = 15(s) $。分情况讨论：① 当 $ 0 \leq t \leq 5 $ 时，$ PC = (20 - 4t)cm $，$ CQ = (8 - t)cm $。由 $ 20 - 4t = 8 - t $，得 $ t = 4 $。② 当 $ 5 ＜ t \leq \frac{27}{4} $ 时，$ PC = (4t - 20)cm $，$ CQ = (8 - t)cm $。由 $ 4t - 20 = 8 - t $，得 $ t = \frac{28}{5} $。③ 当 $ \frac{27}{4} ＜ t \leq 8 $ 时，$ PC = DC = 7cm $，$ CQ = (8 - t)cm $。由 $ 7 = 8 - t $，解得 $ t = 1 $（不合题意，舍去）。④ 当 $ 8 ＜ t \leq 15 $ 时，点 $ P $，$ Q $ 在点 $ C $ 同侧，不符合题意。综上所述，当 $ C $ 恰好为 $ PQ $ 的中点时，$ t $ 的值为 4 或 $ \frac{28}{5} $
(3) $ \frac{21}{5} $ 或 $ \frac{19}{3} $ 或 8 解析：① 当 $ 0 \leq t \leq 5 $ 时，由 $ 4t + t = 28 - 7 $，得 $ t = \frac{21}{5} $。② 当 $ 5 ＜ t \leq \frac{27}{4} $ 时，由 $ 8 + (4t - 20) - t = 7 $，得 $ t = \frac{19}{3} $。③ 当 $ \frac{27}{4} ＜ t \leq 15 $ 时，由 $ 7 = 15 - t $，得 $ t = 8 $。综上所述，当 $ PQ = 7cm $ 时，$ t $ 的值为 $ \frac{21}{5} $ 或 $ \frac{19}{3} $ 或 8。
(2) 根据题意，得点 $ P $ 从 $ A \to C $ 需要 $ 20 \div 4 = 5(s) $，从 $ A \to C \to D $ 共需要 $ (20 + 7) \div 4 = \frac{27}{4}(s) $；点 $ Q $ 从 $ B \to C $ 需要 $ 8 \div 1 = 8(s) $，从 $ B \to D $ 共需要 $ (8 + 7) \div 1 = 15(s) $。分情况讨论：① 当 $ 0 \leq t \leq 5 $ 时，$ PC = (20 - 4t)cm $，$ CQ = (8 - t)cm $。由 $ 20 - 4t = 8 - t $，得 $ t = 4 $。② 当 $ 5 ＜ t \leq \frac{27}{4} $ 时，$ PC = (4t - 20)cm $，$ CQ = (8 - t)cm $。由 $ 4t - 20 = 8 - t $，得 $ t = \frac{28}{5} $。③ 当 $ \frac{27}{4} ＜ t \leq 8 $ 时，$ PC = DC = 7cm $，$ CQ = (8 - t)cm $。由 $ 7 = 8 - t $，解得 $ t = 1 $（不合题意，舍去）。④ 当 $ 8 ＜ t \leq 15 $ 时，点 $ P $，$ Q $ 在点 $ C $ 同侧，不符合题意。综上所述，当 $ C $ 恰好为 $ PQ $ 的中点时，$ t $ 的值为 4 或 $ \frac{28}{5} $
(3) $ \frac{21}{5} $ 或 $ \frac{19}{3} $ 或 8 解析：① 当 $ 0 \leq t \leq 5 $ 时，由 $ 4t + t = 28 - 7 $，得 $ t = \frac{21}{5} $。② 当 $ 5 ＜ t \leq \frac{27}{4} $ 时，由 $ 8 + (4t - 20) - t = 7 $，得 $ t = \frac{19}{3} $。③ 当 $ \frac{27}{4} ＜ t \leq 15 $ 时，由 $ 7 = 15 - t $，得 $ t = 8 $。综上所述，当 $ PQ = 7cm $ 时，$ t $ 的值为 $ \frac{21}{5} $ 或 $ \frac{19}{3} $ 或 8。
