5. (2024·太原)如图,在正方形$ABCD$中,以$BC为边在正方形内部作等边三角形BCE$,则$\angle AEB = $______.

$ 75 ^ { \circ } $

6. 已知$□ ABCD的周长为60\mathrm{cm}$,对角线$AC$,$BD交于点O$,$\triangle AOB的周长比\triangle BOC的周长多8\mathrm{cm}$,则$AB$,$BC$的长分别为______,______.

$ 19 \mathrm { ~cm } $ $ 11 \mathrm { ~cm } $

7. 如图,已知$\triangle ABC$中,$D$,$E$,$F分别为AB$,$BC和AC$的中点,且$\triangle ABC的周长为46\mathrm{cm}$,则$\triangle DEF$的周长是______$\mathrm{cm}$.

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8. 在$□ ABCD$中,$AB = 2\mathrm{cm}$,$BC = 5\mathrm{cm}$,$\angle ABC与\angle BCD的平分线分别交AD于点E$,$F$,则$EF$的长为______$\mathrm{cm}$.

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9. (2024·河源)将$n个边长都为1\mathrm{cm}$的正方形按如图所示的方式摆放,点$A_1$,$A_2$,…,$A_n$分别是正方形对角线的交点,则$n$个正方形重叠形成的重叠部分的面积和是______$\mathrm{cm}^2$.

$ \frac { n - 1 } { 4 } $

10. (2023·杭州)如图,平行四边形$ABCD的对角线AC$,$BD相交于点O$,点$E$,$F在对角线BD$上,且$BE = EF = FD$,连接$AE$,$EC$,$CF$,$FA$.
(1)求证：四边形$AECF$是平行四边形；
(2)若$\triangle ABE的面积等于2$,求$\triangle CFO$的面积.

(1) 证明：∵ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，
∴ $ O A = O C $，$ O B = O D $．∵ $ B E = F D $，∴ $ O B - B E = O D - F D $，∴ $ O E = O F $．又 ∵ $ O A = O C $，
∴ 四边形 $ A E C F $ 是平行四边形．
(2) ∵ $ S _ { \triangle A B E } = 2 $，$ B E = E F $，∴ $ S _ { \triangle A E F } = S _ { \triangle A B E } = 2 $．∵ 四边形 $ A E C F $ 是平行四边形，
∴ $ S _ { \triangle C F O } = \frac { 1 } { 2 } S _ { \triangle C E F } = \frac { 1 } { 2 } S _ { \triangle A E F } = \frac { 1 } { 2 } × 2 = 1 $．