1. (2024·惠山区月考)对于二次函数 $ y = - 2 ( x + 5 ) ^ { 2 } $ 的图像,下列说法不正确的是 ()

A.开口向下
B.对称轴是直线 $ x = - 5 $
C.顶点坐标为 $ ( - 5, 0 ) $
D.当 $ x ＜ - 5 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小

1. D

对于二次函数$y = -2(x + 5)^2$：
因为$a=-2＜0$，所以开口向下，A正确；
对称轴为直线$x=-5$，B正确；
顶点坐标为$(-5,0)$，C正确；
当$x＜ -5$时，$y$随$x$的增大而增大，D错误。
D

2. (2023·南充)若点 $ P ( m, n ) $ 在抛物线 $ y = a x ^ { 2 } ( a ≠ 0 ) $ 上,则下列各点在抛物线 $ y = a ( x + 1 ) ^ { 2 } $ 上的是 ()

A.$ ( m, n + 1 ) $
B.$ ( m + 1, n ) $
C.$ ( m, n - 1 ) $
D.$ ( m - 1, n ) $

2. D

∵点$P(m,n)$在抛物线$y = ax^2(a ≠ 0)$上，
$\therefore n = am^2$。
对于抛物线$y = a(x + 1)^2$，令$y = n$，则$n = a(x + 1)^2$。
$\because n = am^2$，
$\therefore am^2 = a(x + 1)^2$。
$\because a ≠ 0$，
$\therefore m^2 = (x + 1)^2$，
$\therefore x + 1 = \pm m$，
$\therefore x = m - 1$或$x = -m - 1$。
选项中只有$(m - 1, n)$符合。
D

3. (1)已知二次函数 $ y = a ( x - 1 ) ^ { 2 } + 2 $,当 $ x ＜ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ a $ 的取值范围是；
(2)已知二次函数 $ y = 3 ( x - a ) ^ { 2 } $,当 $ x ＞ 2 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大,则 $ a $ 的取值范围是.

3. (1) $ a ＜ 0 $ (2) $ a ≤ 2 $

3. (1) $a ＜ 0$
(2) $a ≤ 2$

4. 已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } - k $,当 $ x = 0 $ 时,$ y $ 有最大值 2,且此函数的图像经过点 $ ( 1, - 3 ) $.
(1)求此函数的表达式；
(2)当 $ x $ 在什么范围内时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大?
(3)怎样平移该抛物线,可得到二次函数 $ y = a x ^ { 2 } $ 的图像?

4. 解: (1) 根据题意, 得 $ -k = 2 $,
把 $ (1, -3) $ 代入 $ y = ax^{2} + 2 $, 得 $ -3 = a + 2 $, 解得 $ a = -5 $,
所以此函数的表达式为 $ y = -5x^{2} + 2 $.
(2) 当 $ x ＜ 0 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而增大.
(3) 把抛物线 $ y = -5x^{2} + 2 $ 向下平移 2 个单位长度可得到二次函数 $ y = -5x^{2} $ 的图像.

5. 抛物线 $ y = x ^ { 2 } + 3 $ 上有两点 $ A ( x _ { 1 }, y _ { 1 } ), B ( x _ { 2 }, y _ { 2 } ) $,若 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $,则下列结论正确的是 ()

A.$ 0 ≤ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $
B.$ x _ { 2 } ＜ x _ { 1 } ≤ 0 $
C.$ x _ { 2 } ＜ x _ { 1 } ≤ 0 $ 或 $ 0 ≤ x _ { 1 } ＜ x _ { 2 } $
D.以上都不对

5. D

抛物线$y = x^2 + 3$的对称轴为$x = 0$，开口向上。当$x ＞ 0$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x ＜ 0$时，$y$随$x$的增大而减小。
若$y_1 ＜ y_2$，存在多种情况：
当$x_1$，$x_2$都在对称轴右侧（$x_1$，$x_2 ＞ 0$）时，$x_1 ＜ x_2$；
当$x_1$，$x_2$都在对称轴左侧（$x_1$，$x_2 ＜ 0$）时，$x_1 ＞ x_2$；
当$x_1$在对称轴左侧，$x_2$在对称轴右侧时，若$|x_1| ＜ |x_2|$，也满足$y_1 ＜ y_2$。
选项A、B、C均只涵盖部分情况，不全面。
D

6. (2024·赤峰)如图,正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ A, C $ 在抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 4 $ 上,点 $ D $ 在 $ y $ 轴上. 若 $ A, C $ 两点的横坐标分别为 $ m, n ( m ＞ n ＞ 0 ) $,下列结论正确的是 ()


A.$ m + n = 1 $
B.$ m - n = 1 $
C.$ m = 1 $
D.$ \frac { m } { n } = 1 $

6. B

解：设点$A(m, -m^2 + 4)$，$C(n, -n^2 + 4)$，$D(0, d)$。
∵四边形$ABCD$是正方形，
∴$AD = CD$，$AD ⊥ CD$。
$AD^2 = m^2 + (-m^2 + 4 - d)^2$，$CD^2 = n^2 + (-n^2 + 4 - d)^2$，
$k_{AD} = \frac{-m^2 + 4 - d}{m}$，$k_{CD} = \frac{-n^2 + 4 - d}{n}$。
由$AD = CD$得：$m^2 + (-m^2 + 4 - d)^2 = n^2 + (-n^2 + 4 - d)^2$，
化简得：$(m^2 - n^2) + [(-m^2 + 4 - d)^2 - (-n^2 + 4 - d)^2] = 0$，
$(m - n)(m + n) + (n^2 - m^2)(-m^2 - n^2 + 8 - 2d) = 0$，
$(m - n)(m + n) - (m - n)(m + n)(-m^2 - n^2 + 8 - 2d) = 0$，
$(m - n)(m + n)[1 - (-m^2 - n^2 + 8 - 2d)] = 0$。
∵$m ＞ n ＞ 0$，
∴$m - n ≠ 0$，$m + n ≠ 0$，
∴$1 - (-m^2 - n^2 + 8 - 2d) = 0$，即$d = \frac{-m^2 - n^2 + 7}{2}$。
由$AD ⊥ CD$得：$k_{AD} · k_{CD} = -1$，
$\frac{(-m^2 + 4 - d) · (-n^2 + 4 - d)}{mn} = -1$。
将$d = \frac{-m^2 - n^2 + 7}{2}$代入上式：
$\frac{(\frac{m^2 - n^2 - 1}{2}) · (\frac{n^2 - m^2 - 1}{2})}{mn} = -1$，
$\frac{-(m^2 - n^2 - 1)^2}{4mn} = -1$，
$(m^2 - n^2 - 1)^2 = 4mn$，
$( (m - n)(m + n) - 1 )^2 = 4mn$。
设$m - n = t$，$m + n = s$（$t ＞ 0$，$s ＞ 0$），则$m = \frac{s + t}{2}$，$n = \frac{s - t}{2}$，$mn = \frac{s^2 - t^2}{4}$。
代入得：$(ts - 1)^2 = 4 · \frac{s^2 - t^2}{4}$，
$t^2s^2 - 2ts + 1 = s^2 - t^2$，
$t^2s^2 - s^2 - 2ts + t^2 + 1 = 0$，
$s^2(t^2 - 1) - 2ts + (t^2 + 1) = 0$。
当$t = 1$时，方程化为$0 - 2s + 2 = 0$，解得$s = 1$，有解。
∴$m - n = 1$。
结论正确的是B。

7. 已知抛物线 $ y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 1 $ 具有如下性质:该抛物线上任意一点到定点 $ F ( 0, 2 ) $ 的距离与到 $ x $ 轴的距离始终相等. 如图,点 $ M $ 的坐标为 $ ( \sqrt { 3 }, 3 ) $,$ P $ 是抛物线 $ y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + 1 $ 上的一个动点,则 $ △ PMF $ 周长的最小值是 ()


A.3
B.4
C.5
D.6

7. C

解：由抛物线性质知，点$P$到$F(0,2)$的距离等于到$x$轴的距离，即$PF = y_P$。
$△ PMF$的周长为$PM + PF + MF$，则周长$= PM + y_P + MF$。
点$M(\sqrt{3},3)$，$F(0,2)$，$MF = \sqrt{(\sqrt{3}-0)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2$。
$PM + y_P$可看作点$M$到点$P$的距离与$P$到$x$轴距离之和，当$PM$垂直于$x$轴时，$PM + y_P$最小，此时$P$的横坐标为$\sqrt{3}$，代入抛物线方程得$y_P = \frac{1}{4}(\sqrt{3})^2 + 1 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$，$PM = 3 - \frac{7}{4} = \frac{5}{4}$，$PM + y_P = \frac{5}{4} + \frac{7}{4} = 3$。
故$△ PMF$周长最小值为$3 + 2 = 5$。
答案：C