23. (11分)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为直线$BC$上任意一点，连接$AD$，$DE⊥ AB$于点$E$，$DF⊥ AC$于点$F$，$BG⊥ AC$于点$G$.
(1)如图1，观察、测量、猜想、证明$DE$，$DF$，$BG$之间的数量关系，完善空格内容.
小明是这样证明的：$\because S_{△ ABC}=\_\_\_\_\_\_+S_{△ ACD}$.
$\therefore \frac{1}{2}AC· BG=\frac{1}{2}AB· DE+$.
$\because AB=AC$，
$\therefore$；
(2)如图1，当点$D$为$BC$中点时，试判断$BG$与$DE$的数量关系；
(3)如图2，当点$D$在$BC$的延长线上时，请猜想$DE$，$DF$，$BG$之间的数量关系并证明.

23. (1)$\because S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ ACD}$，
$\therefore \frac{1}{2}AC·BG= \frac{1}{2}AB·DE+ \frac{1}{2}AC·DF$.
$\because AB=AC$,
$\therefore BG=DE+DF$;
(2)$\because$点D为BC的中点,
$\therefore S_{△ ABD} = S_{△ ACD}$,
$\therefore \frac{1}{2}AB·DE= \frac{1}{2}AC·DF$,
$\because AB=AC,\therefore DE=DF$;
$\because BG=DE+DF,\therefore BG=2DE$;
(3)$DE=BG+DF$.
证明:$\because S_{△ ABD} = S_{△ ABC} + S_{△ ACD}$,
$\therefore \frac{1}{2}AB×DE= \frac{1}{2}AC×BG+ \frac{1}{2}AC×DF$,
$\because AB=AC$,
$\therefore DE=BG+DF$.

【分析】
本题采用等面积法推导等腰三角形相关线段的数量关系，解题思路如下：
1. 第(1)问：图中垂线段均为对应三角形的高，可将$△ ABC$的面积拆分为$△ ABD$和$△ ACD$的面积之和，代入三角形面积公式后，结合$AB=AC$的条件消去相同项，即可得到三条线段的关系。
2. 第(2)问：当$D$是$BC$中点时，$△ ABD$和$△ ACD$等底同高，面积相等，可推出$DE=DF$，代入第(1)问的结论就能得到$BG$与$DE$的数量关系。
3. 第(3)问：当$D$在$BC$延长线上时，调整面积和差关系，此时$△ ABD$的面积等于$△ ABC$与$△ ACD$的面积之和，代入面积公式后结合$AB=AC$化简，即可得到对应结论。
【解析】
(1) 证明：
$\because S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ACD}$
$\therefore \frac{1}{2}AC· BG=\frac{1}{2}AB· DE+\frac{1}{2}AC· DF$
$\because AB=AC$，等式两边同时除以$\frac{1}{2}AC$
$\therefore BG=DE+DF$
(2) 当$D$为$BC$中点时：
$\because$ 点$D$为$BC$中点，$BD=DC$，$△ ABD$和$△ ACD$等底同高
$\therefore S_{△ ABD}=S_{△ ACD}$
$\therefore \frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· DF$
又$\because AB=AC$，$\therefore DE=DF$
结合(1)的结论$BG=DE+DF$，可得$BG=2DE$
(3) 猜想：$DE=BG+DF$，证明如下：
$\because S_{△ ABD}=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$\therefore \frac{1}{2}AB· DE=\frac{1}{2}AC· BG+\frac{1}{2}AC· DF$
$\because AB=AC$，等式两边同时除以$\frac{1}{2}AC$
$\therefore DE=BG+DF$
【答案】
(1) $S_{△ ABD}$；$\frac{1}{2}AC· DF$；$BG=DE+DF$
(2) $BG=2DE$
(3) $DE=BG+DF$
【知识点】
等腰三角形性质，三角形面积计算，等面积法
【点评】
本题核心考查等面积法的应用，通过面积的和差关系将几何线段的长度关系转化为面积等式，结合等腰三角形边相等的性质化简得到结论，解题时需注意点在直线$BC$上的位置不同，对应的面积和差关系也会发生变化，避免混淆加减关系。
【难度系数】
0.65

24.(12分)在平面直角坐标系中,已知A点坐标为$(0,4)$,B点坐标为$(m,0)(-4＜m＜0)$,点C为第四象限内一点,$∠ BAC=45°$,连接BC.
(1)当$AB⊥ BC$时,
①如图1,若$m=-2$,请直接写出C点坐标;
②如图2,D为AC的中点,连接OD,求$∠ AOD$的度数;
(2)如图3,BC与y轴交于点E.若$EA=EC$,求点C的横坐标.

24. 解:(1)①过点 C 作 $CM⊥ x$ 轴于点 M,
则$∠BMC=90°$.
∵A点坐标为(0,4),
B点坐标为(m,0),m=-2,
∴OA=4,OB=2.
∵$AB⊥ BC$,
∴$∠ABC=90°$,
即$∠ABO+∠CBM=90°$.
∵$∠AOB=90°$,
∴$∠ABO+∠BAO=90°$,
∴$∠CBM=∠BAO$.
∵$∠BAC=45°$,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴AB=BC,
∴△CBM≌△BAO(AAS),
∴BM=AO=4,CM=BO=2,
∴OM=BM-BO=2,
∴C点坐标为(2,-2).
②过点 C 作 $CM⊥ x$ 轴于点 M,过点 D 作 $DN⊥ OA$ 于点 N,
则$∠BMC=∠DNO=90°$.
由①得:△CBM≌△BAO(AAS),
∴BM=AO=4,CM=BO=|m|=-m,
∴OM=BM-BO=4+m,
∴C点坐标为(4+m,m).
∵A点坐标为(0,4),D为AC的中点,
∴D点坐标为$(\frac{0+4+m}{2},\frac{4+m}{2})$,
即$D(\frac{4+m}{2},\frac{4+m}{2})$,
∴DN=ON,
∴△ODN是等腰直角三角形,
∴$∠AOD=45°$.
(2)过点 C 作 $CG⊥ AB$ 的延长线于点 G,交 y 轴于点 P,$CH⊥ y$ 轴于点 H,
则$∠AGC=90°$.
∵$∠BAC=45°$,
∴△AGC是等腰直角三角形,
∴$∠ACG=45°=∠BAC$.
∵EA=EC,
∴$∠EAC=∠ECA$,
∴$∠ACG-∠ECA=∠BAC-∠EAC$,
即$∠PCE=∠BAE$.
又
∵$∠CEP=∠AEB$,
∴△PCE≌△BAE(ASA),
∴CP=AB.
∵$∠CHP=∠AGC=90°$,
∴$∠PCH+∠CPH$
=$∠BAO+∠APG$
=$90°$,
∵$∠CPH=∠APG$,
∴$∠PCH=∠BAO$,
∴△CHP≌△AOB(AAS),
∴CH=AO=4,
即点C的横坐标为4.

【分析】
本题是平面直角坐标系与几何结合的综合题，解题思路如下：
(1)①已知$AB⊥BC$且$∠BAC=45°$，可先判定$△ ABC$为等腰直角三角形，得到$AB=BC$，再通过作$CM⊥x$轴构造全等三角形，证明$△ CBM≌△ BAO$，利用全等三角形对应边相等计算C点的横纵坐标；
②沿用①的全等结论，用含m的代数式表示出C点坐标，再根据中点坐标公式求出AC中点D的坐标，分析D点坐标特征可发现$DN=ON$，判定$△ ODN$为等腰直角三角形，即可求出$∠AOD$的度数；
(2)已知$EA=EC$可得对应角相等，结合$∠BAC=45°$，作$CG⊥AB$构造等腰直角$△ AGC$，通过角的等量代换证明$△ PCE≌△ BAE$、$△ CHP≌△ AOB$，利用全等性质得到$CH=AO$，即可求出C点的横坐标。
【解析】
(1)①过点 C 作 $CM⊥ x$ 轴于点 M,
则$∠BMC=90°$.
∵A点坐标为$(0,4)$,B点坐标为$(m,0)$,$m=-2$,
∴$OA=4$,$OB=2$.
∵$AB⊥ BC$,
∴$∠ABC=90°$,
即$∠ABO+∠CBM=90°$.
∵$∠AOB=90°$,
∴$∠ABO+∠BAO=90°$,
∴$∠CBM=∠BAO$.
∵$∠BAC=45°$,
∴$△ ABC$是等腰直角三角形,
∴$AB=BC$,
∴$△ CBM≌△ BAO(AAS)$,
∴$BM=AO=4$,$CM=BO=2$,
∴$OM=BM-BO=2$,
∴C点坐标为$(2,-2)$.
②过点 C 作 $CM⊥ x$ 轴于点 M,过点 D 作 $DN⊥ OA$ 于点 N,
则$∠BMC=∠DNO=90°$.
由①得:$△ CBM≌△ BAO(AAS)$,
∴$BM=AO=4$,$CM=BO=|m|=-m$,
∴$OM=BM-BO=4+m$,
∴C点坐标为$(4+m,m)$.
∵A点坐标为$(0,4)$,D为AC的中点,
∴D点坐标为$(\frac{0+4+m}{2},\frac{4+m}{2})$,
即$D(\frac{4+m}{2},\frac{4+m}{2})$,
∴$DN=ON$,
∴$△ ODN$是等腰直角三角形,
∴$∠AOD=45°$.
(2)过点 C 作 $CG⊥ AB$ 的延长线于点 G,交 y 轴于点 P,$CH⊥ y$ 轴于点 H,
则$∠AGC=90°$.
∵$∠BAC=45°$,
∴$△ AGC$是等腰直角三角形,
∴$∠ACG=45°=∠BAC$.
∵$EA=EC$,
∴$∠EAC=∠ECA$,
∴$∠ACG-∠ECA=∠BAC-∠EAC$,
即$∠PCE=∠BAE$.
又
∵$∠CEP=∠AEB$,
∴$△ PCE≌△ BAE(ASA)$,
∴$CP=AB$.
∵$∠CHP=∠AGC=90°$,
∴$∠PCH+∠CPH=∠BAO+∠APG=90°$,
∵$∠CPH=∠APG$,
∴$∠PCH=∠BAO$,
∴$△ CHP≌△ AOB(AAS)$,
∴$CH=AO=4$,
即点C的横坐标为4.
【答案】
(1)①$\boldsymbol{(2,-2)}$；②$\boldsymbol{45°}$；
(2)点C的横坐标为$\boldsymbol{4}$
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
3. 坐标与图形性质
【点评】
本题为坐标系与几何的综合题，核心考查全等三角形的构造与应用，解题的关键是结合已知条件合理作辅助线构造全等三角形，将角和线段的数量关系转化为坐标关系，既考查了基础几何性质的应用，也对辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.4