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一、选择题(下列各题的备选答案中,有且仅有一个答案是正确的,每小题3分,共30分)
1. 下列方程中,是一元二次方程的是 （）
A.$2x - 3 = 0$
B.$x^2 - 2y = 0$
C.$x^2 + \frac{1}{x} = -3$
D.$x^2 = 0$
1. 下列方程中,是一元二次方程的是 （）
A.$2x - 3 = 0$
B.$x^2 - 2y = 0$
C.$x^2 + \frac{1}{x} = -3$
D.$x^2 = 0$
答案
D
解析
【分析】
解答本题首先要明确一元二次方程的判定标准，需牢记一元二次方程必须同时满足三个核心条件：一是属于整式方程（分母不含未知数），二是只含有1个未知数，三是未知数的最高次数为2且二次项系数不为0。接下来将四个选项依次对照这三个条件排查，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，需同时满足三个条件：①是整式方程；②仅含1个未知数；③未知数最高次数为2、二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A选项：$2x - 3 = 0$中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义，排除；
B选项：$x^2 - 2y = 0$中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合定义，排除；
C选项：$x^2 + \frac{1}{x} = -3$的分母含未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除；
D选项：$x^2 = 0$只含未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对一元二次方程判定条件的理解和运用，解题时建议先判断方程是否为整式方程，再核对未知数个数和最高次数，可有效避免错选。
【难度系数】
0.9
解答本题首先要明确一元二次方程的判定标准，需牢记一元二次方程必须同时满足三个核心条件：一是属于整式方程（分母不含未知数），二是只含有1个未知数，三是未知数的最高次数为2且二次项系数不为0。接下来将四个选项依次对照这三个条件排查，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，需同时满足三个条件：①是整式方程；②仅含1个未知数；③未知数最高次数为2、二次项系数不为0。
对各选项逐一分析：
A选项：$2x - 3 = 0$中未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合定义，排除；
B选项：$x^2 - 2y = 0$中含有x、y两个未知数，属于二元方程，不符合定义，排除；
C选项：$x^2 + \frac{1}{x} = -3$的分母含未知数x，属于分式方程，不是整式方程，不符合定义，排除；
D选项：$x^2 = 0$只含未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的定义 2. 整式方程与分式方程的区分
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对一元二次方程判定条件的理解和运用，解题时建议先判断方程是否为整式方程，再核对未知数个数和最高次数，可有效避免错选。
【难度系数】
0.9
2. 方程$3x^2 + 1 = 6x$的二次项系数和一次项系数分别为 （）
A.3和6
B.3和－6
C.3和－1
D.3和1
A.3和6
B.3和－6
C.3和－1
D.3和1
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$是常数，$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数。解题步骤分为两步：第一步先把给出的方程整理为一般形式，移项时要注意符号变化；第二步对应找到二次项和一次项的系数即可，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
首先对原方程进行移项，将等号右侧的$6x$移到左侧，注意移项要变号，可得：
$3x^2 + 1 - 6x = 0$
整理为一元二次方程的一般形式为：$3x^2 -6x +1 = 0$
其中二次项为$3x^2$，系数是3；一次项为$-6x$，系数是$-6$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程一般形式；移项法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程基本形式的理解，易错点是移项时忽略符号变化，误将一次项系数判断为6，做题时要注意符号处理的细节。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要回忆一元二次方程的一般形式：$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$是常数，$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数。解题步骤分为两步：第一步先把给出的方程整理为一般形式，移项时要注意符号变化；第二步对应找到二次项和一次项的系数即可，注意系数要包含前面的符号。
【解析】
首先对原方程进行移项，将等号右侧的$6x$移到左侧，注意移项要变号，可得：
$3x^2 + 1 - 6x = 0$
整理为一元二次方程的一般形式为：$3x^2 -6x +1 = 0$
其中二次项为$3x^2$，系数是3；一次项为$-6x$，系数是$-6$。
因此本题选B选项。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程一般形式；移项法则
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对一元二次方程基本形式的理解，易错点是移项时忽略符号变化，误将一次项系数判断为6，做题时要注意符号处理的细节。
【难度系数】
0.9
3.如果关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 - 2x + a^2 -1 =0$有一个根是0，那么$a$的值是（）
A.1或－1
B.1
C.－1
D.0
A.1或－1
B.1
C.－1
D.0
答案
C
解析
【分析】
解题分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，得到关于a的方程，求出a的初步取值；第二步，结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，对求出的a的取值进行筛选，排除不符合条件的取值，即可得到正确的a值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 - 2x + a^2 -1 =0$有一个根是0，
∴ 将x=0代入方程，等式成立：
$(a-1)×0^2 - 2×0 + a^2 -1 = 0$
化简得$a^2 -1=0$，解得$a=1$或$a=-1$。
又
∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$，
因此舍去$a=1$，最终得$a=-1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是典型的易错题，解题时要注意一元二次方程的隐含限制条件：二次项系数不为0，不能仅根据根的定义求出a的取值就直接选答案，要对结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
解题分两步思考：第一步，根据方程根的定义，将根x=0代入原方程，得到关于a的方程，求出a的初步取值；第二步，结合一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，对求出的a的取值进行筛选，排除不符合条件的取值，即可得到正确的a值。
【解析】
解：
∵ 关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 - 2x + a^2 -1 =0$有一个根是0，
∴ 将x=0代入方程，等式成立：
$(a-1)×0^2 - 2×0 + a^2 -1 = 0$
化简得$a^2 -1=0$，解得$a=1$或$a=-1$。
又
∵ 原方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数$a-1≠0$，即$a≠1$，
因此舍去$a=1$，最终得$a=-1$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是典型的易错题，解题时要注意一元二次方程的隐含限制条件：二次项系数不为0，不能仅根据根的定义求出a的取值就直接选答案，要对结果进行验证筛选。
【难度系数】
0.6
4.若关于$x$的一元二次方程$kx^2 + 2(k+1)x + k -1=0$有两个实数根，则实数$k$的取值范围为 （）
A.$k＞-\dfrac{1}{3}$
B.$k≥-\dfrac{1}{3}$
C.$k≥-\dfrac{1}{3}$且$k≠0$
D.$k≤-\dfrac{1}{3}$
A.$k＞-\dfrac{1}{3}$
B.$k≥-\dfrac{1}{3}$
C.$k≥-\dfrac{1}{3}$且$k≠0$
D.$k≤-\dfrac{1}{3}$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题需紧扣两个核心条件：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会退化为一次方程，不符合题意；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先分别根据这两个条件列出不等式，再求解两个不等式的公共解集，即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 方程$kx^2 + 2(k+1)x + k -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=2(k+1)$，$c=k-1$，代入得：
$\Delta = [2(k+1)]^2 - 4 · k · (k-1) ≥ 0$
展开计算：
$4(k^2 + 2k + 1) - 4k(k-1) ≥ 0$
$4k^2 + 8k + 4 - 4k^2 + 4k ≥ 0$
合并同类项得：$12k + 4 ≥ 0$
解得：$k ≥ -\dfrac{1}{3}$
结合$k≠0$的条件，最终$k$的取值范围是$k≥-\dfrac{1}{3}$且$k≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础考题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解误选B，审题时需重点关注题目中对方程类型的限定。
【难度系数】
0.7
要解决本题需紧扣两个核心条件：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，否则方程会退化为一次方程，不符合题意；②方程有两个实数根，说明根的判别式Δ≥0。我们先分别根据这两个条件列出不等式，再求解两个不等式的公共解集，即可得到k的取值范围。
【解析】
∵ 方程$kx^2 + 2(k+1)x + k -1=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k≠0$
∵ 方程有两个实数根
∴ 根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$
其中$a=k$，$b=2(k+1)$，$c=k-1$，代入得：
$\Delta = [2(k+1)]^2 - 4 · k · (k-1) ≥ 0$
展开计算：
$4(k^2 + 2k + 1) - 4k(k-1) ≥ 0$
$4k^2 + 8k + 4 - 4k^2 + 4k ≥ 0$
合并同类项得：$12k + 4 ≥ 0$
解得：$k ≥ -\dfrac{1}{3}$
结合$k≠0$的条件，最终$k$的取值范围是$k≥-\dfrac{1}{3}$且$k≠0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式
【点评】
本题是一元二次方程相关性质的基础考题，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”的隐含条件，仅通过判别式求解误选B，审题时需重点关注题目中对方程类型的限定。
【难度系数】
0.7
5. 实数$x,y$满足$(x^2+y^2)(x^2+y^2+1)=2$，则$x^2+y^2$的值为（）
A.1
B.2
C.$-2$或1
D.2或$-1$
A.1
B.2
C.$-2$或1
D.2或$-1$
答案
A
解析
【分析】
观察方程结构，发现式子中多次出现整体$x^2+y^2$，因此可采用换元法简化计算：首先设$t=x^2+y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后结合$t$的取值范围舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，由平方的非负性可得$t≥ 0$。
将其代入原方程得：$t(t + 1) = 2$
整理得一元二次方程：$t^2 + t - 2 = 0$
因式分解得：$(t + 2)(t - 1) = 0$
解得：$t_1 = -2$，$t_2 = 1$
$\because t≥ 0$，$\therefore t=-2$不符合题意，舍去
$\therefore x^2 + y^2 = 1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
换元法解方程、平方的非负性、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题解题关键是利用换元法将复杂方程转化为常见的一元二次方程，易错点是忽略$x^2+y^2≥0$的隐含条件，直接选择两根导致错选，解题时要注意结合隐含条件对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
观察方程结构，发现式子中多次出现整体$x^2+y^2$，因此可采用换元法简化计算：首先设$t=x^2+y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$，将原方程转化为关于$t$的一元二次方程，求解后结合$t$的取值范围舍去不符合要求的根，即可得到结果。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，由平方的非负性可得$t≥ 0$。
将其代入原方程得：$t(t + 1) = 2$
整理得一元二次方程：$t^2 + t - 2 = 0$
因式分解得：$(t + 2)(t - 1) = 0$
解得：$t_1 = -2$，$t_2 = 1$
$\because t≥ 0$，$\therefore t=-2$不符合题意，舍去
$\therefore x^2 + y^2 = 1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
换元法解方程、平方的非负性、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题解题关键是利用换元法将复杂方程转化为常见的一元二次方程，易错点是忽略$x^2+y^2≥0$的隐含条件，直接选择两根导致错选，解题时要注意结合隐含条件对根进行取舍。
【难度系数】
0.7
6.若一个菱形的两条对角线长分别是关于$x$的一元二次方程$x^2 -10x +m=0$的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（）
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$\sqrt{14}$
D.$2\sqrt{14}$
答案
C
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：①首先回忆菱形面积公式，结合已知面积求出两条对角线的乘积；②利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到两条对角线的和与积；③再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理，将边长用两条对角线的和与积表示，代入数值计算即可得到边长。
【解析】
设菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$。
1. 根据菱形面积公式：$S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2}ab$，已知面积为11，可得：
$\frac{1}{2}ab=11$，解得$ab=22$。
2. 因为$a$、$b$是一元二次方程$x^2-10x+m=0$的两个实数根，由韦达定理得：
$a+b=10$，$ab=m=22$。
3. 菱形的对角线互相垂直平分，因此菱形的边长满足勾股定理：
$\mathrm{边长}^2=(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2=\frac{a^2+b^2}{4}$
对$a^2+b^2$变形得：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入$a+b=10$，$ab=22$：
$a^2+b^2=10^2-2×22=100-44=56$
因此$\mathrm{边长}^2=\frac{56}{4}=14$，解得边长为$\sqrt{14}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
C
【知识点】
1.菱形的性质与面积计算
2.一元二次方程根与系数的关系
3.勾股定理
【点评】
本题属于综合类基础题，将代数与几何知识点结合考察，解题的核心是熟练掌握菱形的相关性质，同时能灵活对完全平方公式进行变形，进而代入数值求解。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：①首先回忆菱形面积公式，结合已知面积求出两条对角线的乘积；②利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），得到两条对角线的和与积；③再根据菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理，将边长用两条对角线的和与积表示，代入数值计算即可得到边长。
【解析】
设菱形的两条对角线长分别为$a$、$b$。
1. 根据菱形面积公式：$S_{\mathrm{菱形}}=\frac{1}{2}ab$，已知面积为11，可得：
$\frac{1}{2}ab=11$，解得$ab=22$。
2. 因为$a$、$b$是一元二次方程$x^2-10x+m=0$的两个实数根，由韦达定理得：
$a+b=10$，$ab=m=22$。
3. 菱形的对角线互相垂直平分，因此菱形的边长满足勾股定理：
$\mathrm{边长}^2=(\frac{a}{2})^2+(\frac{b}{2})^2=\frac{a^2+b^2}{4}$
对$a^2+b^2$变形得：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入$a+b=10$，$ab=22$：
$a^2+b^2=10^2-2×22=100-44=56$
因此$\mathrm{边长}^2=\frac{56}{4}=14$，解得边长为$\sqrt{14}$（边长为正，舍去负根）。
【答案】
C
【知识点】
1.菱形的性质与面积计算
2.一元二次方程根与系数的关系
3.勾股定理
【点评】
本题属于综合类基础题，将代数与几何知识点结合考察，解题的核心是熟练掌握菱形的相关性质，同时能灵活对完全平方公式进行变形，进而代入数值求解。
【难度系数】
0.6
7.某电商服务中心决定改善运营方式，计划经过两年时间将营业额增加44%，那么这两年该服务中心平均每年营业额的增长率是 （）
A.11%
B.20%
C.22%
D.44%
A.11%
B.20%
C.22%
D.44%
答案
B
解析
【分析】
解决这类平均增长率问题，首先要明确增长率的基本等量关系：增长后的量=原量×(1+平均增长率)^增长次数。我们可以先设原营业额为单位“1”（或任意不为0的常数），平均每年的增长率为x，两年后营业额要增加44%，也就是两年后营业额是原营业额的1+44%=1.44倍，据此列方程求解即可，注意增长率为正数，要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设该服务中心原营业额为a（a≠0），平均每年营业额的增长率为x。
根据两年后营业额增加44%，可得两年后营业额为a×(1+44%)；
同时按照增长率公式，两年后营业额也可表示为a(1+x)²，因此列方程：
$a(1+x)^2 = a(1+44\%)$
∵a≠0，方程两边同时除以a得：
$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = ±1.2$
∵增长率x＞0，
∴$1+x=1.2$
解得$x=0.2=20\%$
所以平均每年营业额的增长率是20%，选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率类基础题型，核心是掌握增长率的通用计算公式，求解后注意结合实际意义对根进行取舍，是考试中较为常见的基础考点。
【难度系数】
0.8
解决这类平均增长率问题，首先要明确增长率的基本等量关系：增长后的量=原量×(1+平均增长率)^增长次数。我们可以先设原营业额为单位“1”（或任意不为0的常数），平均每年的增长率为x，两年后营业额要增加44%，也就是两年后营业额是原营业额的1+44%=1.44倍，据此列方程求解即可，注意增长率为正数，要舍去不符合实际意义的负根。
【解析】
设该服务中心原营业额为a（a≠0），平均每年营业额的增长率为x。
根据两年后营业额增加44%，可得两年后营业额为a×(1+44%)；
同时按照增长率公式，两年后营业额也可表示为a(1+x)²，因此列方程：
$a(1+x)^2 = a(1+44\%)$
∵a≠0，方程两边同时除以a得：
$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = ±1.2$
∵增长率x＞0，
∴$1+x=1.2$
解得$x=0.2=20\%$
所以平均每年营业额的增长率是20%，选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用，平均增长率计算
【点评】
本题是平均增长率类基础题型，核心是掌握增长率的通用计算公式，求解后注意结合实际意义对根进行取舍，是考试中较为常见的基础考点。
【难度系数】
0.8
8.某次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份礼品，同学小丁因事未能到场，无法送给同学礼品，但所有同学给小丁送出了礼品，共送出121份礼品，求到现场参加聚会的人数.设到现场参加聚会的同学有$x$名，根据题意列出的方程是（）
A.$x(x-1)+x=121$
B.$x(x-1)-x=121$
C.$\dfrac{x(x-1)}{2}+x=121$
D.$\dfrac{x(x-1)}{2}-x=121$
A.$x(x-1)+x=121$
B.$x(x-1)-x=121$
C.$\dfrac{x(x-1)}{2}+x=121$
D.$\dfrac{x(x-1)}{2}-x=121$
答案
A
解析
【分析】
解题时需先将总礼品数分为两部分计数：第一部分是到场x名同学之间互相赠送的礼品，第二部分是到场同学给小丁赠送的礼品。针对第一部分：互赠礼品属于单向计数，每人要给除自身外的其余(x-1)名到场同学各送1份，总份数不用除以2；针对第二部分：每名到场同学给小丁送1份，共x份。两部分礼品数相加等于总礼品数121，即可列出对应方程。
【解析】
解：①计算到场同学互赠的礼品数：
到场共x人，每人向其他(x-1)名到场同学各送1份礼品，这部分礼品总数为$x(x-1)$份；
②计算给小丁赠送的礼品数：
每名到场同学给小丁送1份，共x名到场同学，这部分礼品总数为x份；
已知总礼品数为121份，因此可列方程：$x(x-1)+x=121$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；分类计数
【点评】
本题易错点为混淆单向赠送问题和双向握手问题，送礼品时甲送乙、乙送甲是两份不同礼品，计数时不需要除以2，只要理清礼品的两个构成部分，就能快速列出正确方程。
【难度系数】
0.7
解题时需先将总礼品数分为两部分计数：第一部分是到场x名同学之间互相赠送的礼品，第二部分是到场同学给小丁赠送的礼品。针对第一部分：互赠礼品属于单向计数，每人要给除自身外的其余(x-1)名到场同学各送1份，总份数不用除以2；针对第二部分：每名到场同学给小丁送1份，共x份。两部分礼品数相加等于总礼品数121，即可列出对应方程。
【解析】
解：①计算到场同学互赠的礼品数：
到场共x人，每人向其他(x-1)名到场同学各送1份礼品，这部分礼品总数为$x(x-1)$份；
②计算给小丁赠送的礼品数：
每名到场同学给小丁送1份，共x名到场同学，这部分礼品总数为x份；
已知总礼品数为121份，因此可列方程：$x(x-1)+x=121$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用；分类计数
【点评】
本题易错点为混淆单向赠送问题和双向握手问题，送礼品时甲送乙、乙送甲是两份不同礼品，计数时不需要除以2，只要理清礼品的两个构成部分，就能快速列出正确方程。
【难度系数】
0.7
