知识梳理
一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=(a,b,c是常数,≠0)的形式,那么称y是x的二次函数。

1. ax²+bx+c
2. a

【分析】
本题考查二次函数的基本定义，解题时需回忆二次函数定义的两个核心要点：1. 函数表达式是关于x的二次整式，形式为ax²+bx+c（a、b、c为常数）；2. 必须保证二次项的系数不为0，否则x²项消失，函数最高次低于2次，就不属于二次函数了。结合这两个要点即可直接填出空缺内容。
【解析】
根据二次函数的定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成$y=ax^2+bx+c$（a，b，c是常数，$a≠0$）的形式，那么称y是x的二次函数。因此第一个空缺处填$ax^2+bx+c$，第二个空缺处填$a$。
【答案】
1. $ax^2+bx+c$；2. $a$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，直接针对二次函数的核心定义设题，只要准确记忆二次函数的表达式形式及系数要求，即可快速得分。
【难度系数】
0.9

1. 下列函数一定是二次函数的是()。

A.$y=5x+3$
B.$y=ax^2 + bx + c$
C.$y=2t^2 + t + 1$
D.$y=x^2 + \frac{1}{x}$

1. C

【分析】
要判断一个函数是不是二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项的系数不为0。我们只要按照这三个标准逐一分析每个选项，就能选出正确答案。
【解析】
首先明确二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠ 0$）的函数叫做二次函数。我们逐一分析选项：
选项A：$y=5x+3$中自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数的定义，排除；
选项B：$y=ax^2+bx+c$没有说明$a≠ 0$，当$a=0$时，函数变为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数，排除；
选项C：$y=2t^2+t+1$中自变量为$t$，最高次数是2，二次项系数$2≠ 0$，且表达式是整式，完全符合二次函数的定义，正确；
选项D：$y=x^2+\frac{1}{x}$中$\frac{1}{x}$是分式，整体不是整式函数，不符合二次函数的定义，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；整式的概念；一次函数的定义
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，易错点是容易忽略B选项中二次项系数不为0的前提条件，以及误将含分式的表达式判定为整式函数，只要牢记二次函数的三个判定要点，就能轻松解题。
【难度系数】
0.8

2.若函数$y=(a-1)x^2 +2x$是二次函数，则a。

2. ≠1

【分析】
要判断函数为二次函数，需结合二次函数的定义思考：二次函数的核心特征是含有二次项，且二次项的系数不能为0（若二次项系数为0，二次项消失，函数就不再是二次函数）。解题时先找到给定函数的二次项系数，令其不等于0，解不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
根据二次函数的定义：形如$y=Ax^2+Bx+C$（$A、B、C$为常数，且$A≠0$）的函数是二次函数。
本题中函数$y=(a-1)x^2 +2x$的二次项系数为$a-1$，要使该函数为二次函数，需满足二次项系数不为0，即：
$a-1≠0$
解得：$a≠1$
【答案】
≠1
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题关键是牢记二次函数中二次项系数不为0的限制条件，避免遗漏该条件导致出错。
【难度系数】
0.9

3. 下列函数关系是二次函数关系的是()。

A.在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系
B.当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系
C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系
D.圆心角为90°的扇形面积S与半径r之间的关系

3. D

【分析】
要判断选项中的函数关系是否为二次函数，首先要明确二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$）的函数为二次函数，其最高次项的次数为2。解题时先根据每个选项描述的实际场景，推导对应的函数关系式，再对照二次函数的定义逐一排查即可得出答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 弹性限度内，弹簧长度$y$的计算公式为$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$），属于一次函数，不符合二次函数定义，排除；
B. 设行驶距离为定值$s$，由路程公式$s=vt$可得$t=\frac{s}{v}$，$s$为常数，属于反比例函数，不符合二次函数定义，排除；
C. 等边三角形周长$C=3a$，$3$为常数，属于正比例函数（特殊的一次函数），不符合二次函数定义，排除；
D. 圆心角为$90°$的扇形面积是对应圆面积的$\frac{1}{4}$，因此$S=\frac{90°}{360°}π r^2=\frac{1}{4}π r^2$，符合二次函数的形式，满足要求。
【答案】
D
【知识点】
1. 二次函数的定义 2. 一次函数的识别 3. 反比例函数的识别
【点评】
本题考查不同类型函数的区分，解题核心是先结合实际情境写出对应的函数表达式，再对照各类函数的定义判断，属于基础题型，熟练掌握各类函数的形式即可快速作答。
【难度系数】
0.8

4. 从半径为2 cm的圆中挖去一个半径为x cm的圆面，剩下的圆环面积为y cm²，则y与x之间的关系式是()。

A.$y = π x^2 - 4$
B.$y = π (2 - x)^2$
C.$y = -π x^2 + 4π$
D.$y = -(x^2 + 4)$

4. C

【分析】
要确定y与x的函数关系式，首先明确圆环面积的计算方法：圆环面积等于外圆面积减去挖去的内圆面积。我们可以先分别计算出外圆和内圆的面积，再根据等量关系列式整理，最后匹配选项即可。
【解析】
解：已知外圆半径为2cm，根据圆的面积公式$S=π r^2$，
外圆面积为：$S_{\mathrm{外}}=π × 2^2 = 4π \ \mathrm{cm}^2$
挖去的小圆半径为x cm，小圆面积为：$S_{\mathrm{小}}=π x^2 \ \mathrm{cm}^2$
因为圆环面积$y = S_{\mathrm{外}} - S_{\mathrm{小}}$，代入得：
$y = 4π - π x^2$，整理为$y = -π x^2 + 4π$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
圆环面积计算；列函数关系式
【点评】
本题是基础类题目，核心是掌握圆环面积的推导逻辑，只要牢记“圆环面积=外圆面积-内圆面积”的等量关系，结合圆的面积公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.85

5. 进入冬季后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价。若设平均每次降价的百分率是$ x $，降价后的价格为$ y $元，原价为$ a $元，则$ y $与$ x $之间的关系式为()。

A.$ y=2a-1 $
B.$ y=a(2-x)^2 $
C.$ y=-ax^2+4a $
D.$ y=a(1-x)^2 $

5. D

【分析】
本题是平均降价百分率的典型应用问题，解题思路可按以下逻辑梳理：首先明确每次降价的计算基数，第一次降价的基数是原价a，第二次降价的基数是第一次降价后的价格，而非原价；其次牢记降价后的价格=原价×(1-降价百分率)的基本计算规则，逐步推导两次降价后的价格表达式，最后匹配选项判断即可。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的价格。已知原价为a元，平均每次降价百分率为x，因此第一次降价后的价格为$ a(1-x) $元。
第二步：计算第二次降价后的价格。第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次降价x，因此最终降价后的价格y为：
$ y = a(1-x) × (1-x) = a(1-x)^2 $
对比选项，D选项符合推导结果。
【答案】
D
【知识点】
1. 平均变化率问题
2. 列函数表达式
【点评】
本题属于基础应用题，核心易错点是混淆多次降价的计算基数，需注意每次降价都是在上一次降价后的价格基础上计算，避免出现直接将两次降价合并为降价2x的错误。
【难度系数】
0.8

6. 一块矩形木板的长为5 cm，宽为4 cm，若长、宽各锯掉x cm，则剩下的木板面积$y(\mathrm{cm}^2)$与$x(\mathrm{cm})$之间的关系式是，它是次函数。

6. $y=x^2 -9x +20$ 二

【分析】
解题时首先需要明确锯掉x cm后剩下矩形的长和宽：原矩形长5cm、宽4cm，各锯掉x cm后，长变为(5-x)cm，宽变为(4-x)cm；再结合矩形面积公式“面积=长×宽”列出y与x的关系式，将关系式整理为一般形式后，根据函数最高次项的次数判断函数类型即可。
【解析】
解：锯掉x cm后，剩下木板的长为$(5 - x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(4 - x)\ \mathrm{cm}$。
根据矩形面积公式可得：
$y=(5-x)(4-x)$
展开并整理得：
$y=x^2 - 5x - 4x + 20 = x^2 -9x +20$
观察该函数表达式，最高次项为$x^2$，次数为2，因此它是二次函数。
【答案】
$y=x^2 -9x +20$；二
【知识点】
矩形面积计算；列函数关系式；二次函数的判定
【点评】
本题为基础应用题，解题的核心是准确表示出变化后矩形的长和宽，结合几何面积公式列出函数表达式后即可顺利判断函数类型，难度较低。
【难度系数】
0.8