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1. 某小区在绿化工程中有一块长为90 m、宽为30 m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为1 500 m²，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（
），求人行通道的宽。
），求人行通道的宽。答案
设人行通道的宽为x m,依题意,得(90-3x)(30-2x)=1 500。解得x₁=5,x₂=40。
∵2x₂=80＞30,
∴x=40(舍去),
∴x=5。因此,人行通道的宽为5 m
∵2x₂=80＞30,
∴x=40(舍去),
∴x=5。因此,人行通道的宽为5 m
解析
【分析】
这是结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 先设人行通道的宽度为x m；2. 分析通道数量：长90m的方向共有3段通道（左右各1段、两块绿地中间1段），因此两块绿地拼合后的总长度为(90-3x)m；宽30m的方向共有2段通道（上下各1段），因此两块绿地拼合后的总宽度为(30-2x)m；3. 根据两块绿地面积之和为1500m²，结合矩形面积公式列方程求解；4. 最后结合实际场景检验解的合理性，通道宽度不能超过原空地的尺寸，舍去不符合要求的解。
【解析】
解：设人行通道的宽为x m，依题意列方程：
$(90-3x)(30-2x)=1500$
整理得：$x^2-45x+200=0$
因式分解得：$(x-5)(x-40)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=40$
检验：当$x=40$时，$2x=80＞30$，超过原矩形空地的宽度，不符合实际，故舍去。
因此$x=5$符合题意。
【答案】
人行通道的宽为5 m
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题解的检验
【点评】
本题属于常规的面积类方程应用题，解题核心是准确梳理通道数量，用未知数正确表示出绿地的总长度和总宽度，同时要注意实际问题中未知数的取值范围，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
这是结合矩形面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：1. 先设人行通道的宽度为x m；2. 分析通道数量：长90m的方向共有3段通道（左右各1段、两块绿地中间1段），因此两块绿地拼合后的总长度为(90-3x)m；宽30m的方向共有2段通道（上下各1段），因此两块绿地拼合后的总宽度为(30-2x)m；3. 根据两块绿地面积之和为1500m²，结合矩形面积公式列方程求解；4. 最后结合实际场景检验解的合理性，通道宽度不能超过原空地的尺寸，舍去不符合要求的解。
【解析】
解：设人行通道的宽为x m，依题意列方程：
$(90-3x)(30-2x)=1500$
整理得：$x^2-45x+200=0$
因式分解得：$(x-5)(x-40)=0$
解得：$x_1=5$，$x_2=40$
检验：当$x=40$时，$2x=80＞30$，超过原矩形空地的宽度，不符合实际，故舍去。
因此$x=5$符合题意。
【答案】
人行通道的宽为5 m
【知识点】
一元二次方程应用、矩形面积计算、实际问题解的检验
【点评】
本题属于常规的面积类方程应用题，解题核心是准确梳理通道数量，用未知数正确表示出绿地的总长度和总宽度，同时要注意实际问题中未知数的取值范围，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
2. 小颖在解方程$2x^2 -8x +4=0$时出现了错误，解答过程如图所示。
(1)小颖的解答过程从第几步开始出错？其错误的原因是什么？
(2)请你在图②框中写出此题正确的解题过程。
(1)小颖的解答过程从第几步开始出错？其错误的原因是什么？
(2)请你在图②框中写出此题正确的解题过程。
答案
(1) 小颖的解答过程从第②步开始出错，错误的原因是等式右边没有除以2
(2) 2x² -8x +4=0,x² -4x +2=0,(x-2)² +2 -4=0,(x-2)²=2,x-2=±√2,
∴x₁=2+√2,x₂=2-√2
(2) 2x² -8x +4=0,x² -4x +2=0,(x-2)² +2 -4=0,(x-2)²=2,x-2=±√2,
∴x₁=2+√2,x₂=2-√2
解析
【分析】
(1) 判断错误步骤可先回顾配方法解一元二次方程的标准流程：移项→二次项系数化为1→配方→开方→求解。其中二次项系数化为1时，需依据等式的基本性质，等式两边所有项同时除以二次项系数。观察小颖的步骤：第①步移项是正确的，第②步仅将左边各项除以2，右边的-4没有除以2，不符合等式性质，因此从第②步开始出错。
(2) 正确解题严格按照配方法步骤执行即可：先移项，再将二次项系数化为1，接着在等式两边加一次项系数一半的平方完成配方，最后开方求出方程的根。
【解析】
(1) 小颖的解答第①步移项，将常数项移到等号右侧，变形正确；第②步将二次项系数化为1时，仅对左侧各项除以2，右侧的-4没有除以2，违背了等式的基本性质，因此从第②步开始出错。
(2) 正确解题过程：
$2x^2 -8x +4=0$
移项，得$2x^2 -8x = -4$
二次项系数化为1，得$x^2 -4x = -2$
配方，得$x^2 -4x +4 = -2 +4$，即$(x-2)^2=2$
开平方，得$x-2=\pm\sqrt{2}$
解得$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$
【答案】
(1) 从第②步开始出错，错误原因是将二次项系数化为1时，等式右边的-4没有除以2；
(2) $2x^2 -8x +4=0$，$x^2 -4x +2=0$，$(x-2)^2=2$，$x-2=\pm\sqrt{2}$，$\therefore x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质、一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点是在对二次项系数化1或配方时，忽略对等式两侧同时做相同变形。解题时严格遵循等式的基本性质执行每一步变形，就能有效规避这类错误。
【难度系数】
0.7
(1) 判断错误步骤可先回顾配方法解一元二次方程的标准流程：移项→二次项系数化为1→配方→开方→求解。其中二次项系数化为1时，需依据等式的基本性质，等式两边所有项同时除以二次项系数。观察小颖的步骤：第①步移项是正确的，第②步仅将左边各项除以2，右边的-4没有除以2，不符合等式性质，因此从第②步开始出错。
(2) 正确解题严格按照配方法步骤执行即可：先移项，再将二次项系数化为1，接着在等式两边加一次项系数一半的平方完成配方，最后开方求出方程的根。
【解析】
(1) 小颖的解答第①步移项，将常数项移到等号右侧，变形正确；第②步将二次项系数化为1时，仅对左侧各项除以2，右侧的-4没有除以2，违背了等式的基本性质，因此从第②步开始出错。
(2) 正确解题过程：
$2x^2 -8x +4=0$
移项，得$2x^2 -8x = -4$
二次项系数化为1，得$x^2 -4x = -2$
配方，得$x^2 -4x +4 = -2 +4$，即$(x-2)^2=2$
开平方，得$x-2=\pm\sqrt{2}$
解得$x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$
【答案】
(1) 从第②步开始出错，错误原因是将二次项系数化为1时，等式右边的-4没有除以2；
(2) $2x^2 -8x +4=0$，$x^2 -4x +2=0$，$(x-2)^2=2$，$x-2=\pm\sqrt{2}$，$\therefore x_1=2+\sqrt{2}$，$x_2=2-\sqrt{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、等式的基本性质、一元二次方程求解
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的规范步骤，易错点是在对二次项系数化1或配方时，忽略对等式两侧同时做相同变形。解题时严格遵循等式的基本性质执行每一步变形，就能有效规避这类错误。
【难度系数】
0.7
以方程$x^2 +5x -14=0$即$x(x+5)=14$为例,数学家赵爽(公元2~3世纪)在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是,构造图(如图①)中大正方形的面积是$(x+x+5)^2$,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积,即$4×14 +5^2$,据此易得$x=2$。那么在图②三个构图(矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上)中,能够说明方程$x^2 -4x -12=0$的正确构图是
b
。(填序号)答案
b
解析
【分析】
首先仿照题干给出的示例思路，先将目标方程变形为两式乘积等于常数的形式，得到构造所用矩形的两边长及两边的差值，据此确定四个矩形拼接后中间小正方形的边长，再通过面积关系计算大正方形的边长，最后对应验证三个构图是否符合特征即可。
第一步：将方程$x^2-4x-12=0$移项得$x(x-4)=12$，可知矩形邻边长为$x$和$x-4$，两边差为4，因此中间小正方形边长为4；
第二步：计算大正方形面积=4个矩形面积+中间小正方形面积=$4×12 +4^2=64$，因此大正方形边长为8，同时大正方形边长也等于矩形两邻边之和$x+(x-4)=2x-4$，解得$x=6$，即矩形长为6、宽为2；
第三步：观察三个构图，只有图b符合上述所有特征。
【解析】
首先对方程$x^2-4x-12=0$进行变形：
移项得 $\boldsymbol{x(x-4)=12}$，
可知构造用的矩形两条邻边长分别为$x$和$x-4$，两边的差为$x-(x-4)=4$，因此四个矩形拼接为大正方形时，中间小正方形的边长为4。
根据示例的面积关系：大正方形的面积 = 4个矩形的面积 + 中间小正方形的面积
代入得大正方形面积 $=4×12 + 4^2=48+16=64$，因此大正方形边长为$\sqrt{64}=8$。
同时大正方形边长也等于矩形两邻边的和：$x+(x-4)=2x-4$，
因此$2x-4=8$，解得$x=6$，即矩形的长为6，宽为$6-4=2$。
观察三个构图：
图a中间小正方形边长不为4，不符合要求；
图b中间小正方形边长为4，矩形长为6、宽为2，大正方形边长为8，完全符合特征；
图c不符合上述特征。
因此正确构图是b。
【答案】
b
【知识点】
完全平方公式的几何背景，一元二次方程的几何解法，数形结合思想
【点评】
本题结合古代数学家的构造方法，将一元二次方程求解和几何面积关系结合考查，解题核心是仿照示例梳理方程与图形各部分的对应关系，再结合网格特征判断即可，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
首先仿照题干给出的示例思路，先将目标方程变形为两式乘积等于常数的形式，得到构造所用矩形的两边长及两边的差值，据此确定四个矩形拼接后中间小正方形的边长，再通过面积关系计算大正方形的边长，最后对应验证三个构图是否符合特征即可。
第一步：将方程$x^2-4x-12=0$移项得$x(x-4)=12$，可知矩形邻边长为$x$和$x-4$，两边差为4，因此中间小正方形边长为4；
第二步：计算大正方形面积=4个矩形面积+中间小正方形面积=$4×12 +4^2=64$，因此大正方形边长为8，同时大正方形边长也等于矩形两邻边之和$x+(x-4)=2x-4$，解得$x=6$，即矩形长为6、宽为2；
第三步：观察三个构图，只有图b符合上述所有特征。
【解析】
首先对方程$x^2-4x-12=0$进行变形：
移项得 $\boldsymbol{x(x-4)=12}$，
可知构造用的矩形两条邻边长分别为$x$和$x-4$，两边的差为$x-(x-4)=4$，因此四个矩形拼接为大正方形时，中间小正方形的边长为4。
根据示例的面积关系：大正方形的面积 = 4个矩形的面积 + 中间小正方形的面积
代入得大正方形面积 $=4×12 + 4^2=48+16=64$，因此大正方形边长为$\sqrt{64}=8$。
同时大正方形边长也等于矩形两邻边的和：$x+(x-4)=2x-4$，
因此$2x-4=8$，解得$x=6$，即矩形的长为6，宽为$6-4=2$。
观察三个构图：
图a中间小正方形边长不为4，不符合要求；
图b中间小正方形边长为4，矩形长为6、宽为2，大正方形边长为8，完全符合特征；
图c不符合上述特征。
因此正确构图是b。
【答案】
b
【知识点】
完全平方公式的几何背景，一元二次方程的几何解法，数形结合思想
【点评】
本题结合古代数学家的构造方法，将一元二次方程求解和几何面积关系结合考查，解题核心是仿照示例梳理方程与图形各部分的对应关系，再结合网格特征判断即可，能很好地锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.6
