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典例1 如图，在$△ ABC$中，$AD$平分$∠ BAC$，$EG// AD$，找出图中的等腰三角形，并给出证明。
举一反三 如图，$AD$平分$∠ BAC$，$AD⊥ BD$，垂足为$D$，$DE// AC$。$△ BDE$是等腰三角形吗？请说明理由。
举一反三 如图，$AD$平分$∠ BAC$，$AD⊥ BD$，垂足为$D$，$DE// AC$。$△ BDE$是等腰三角形吗？请说明理由。
答案
举一反三 解 $△ BDE$ 是等腰三角形.
$\because DE// AC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$.
$\because AD$ 平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$.
$\therefore ∠ BAD=∠ ADE$.
$\because AD⊥ BD$,
$\therefore ∠ BAD + ∠ B = 90°, ∠ ADE + ∠ BDE=90°$,
$\therefore ∠ B=∠ BDE$.
$\therefore BE=DE$.
$\therefore △ BDE$ 是等腰三角形.
$\because DE// AC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ ADE$.
$\because AD$ 平分$∠ BAC$,
$\therefore ∠ CAD=∠ BAD$.
$\therefore ∠ BAD=∠ ADE$.
$\because AD⊥ BD$,
$\therefore ∠ BAD + ∠ B = 90°, ∠ ADE + ∠ BDE=90°$,
$\therefore ∠ B=∠ BDE$.
$\therefore BE=DE$.
$\therefore △ BDE$ 是等腰三角形.
解析
【分析】
要判断△BDE是否为等腰三角形，依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明△BDE中有两个内角相等即可。我们可以结合已知条件逐步推导角的等量关系：首先利用平行线的性质得到一组内错角相等，再结合角平分线的定义推出角的等量关系，最后利用直角三角形两锐角互余、等角的余角相等的性质，得到△BDE中两个相等的内角，即可完成证明。
【解析】
△BDE是等腰三角形，理由如下：
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠CAD=∠ADE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠CAD=∠BAD$（角平分线的定义）。
$\therefore ∠BAD=∠ADE$（等量代换）。
$\because AD⊥BD$，
$\therefore ∠ADB=90^{\circ }$，即$∠BAD + ∠B = 90°$，$∠ADE + ∠BDE=90°$（直角三角形的两个锐角互余）。
$\therefore ∠B=∠BDE$（等角的余角相等）。
$\therefore BE=DE$（等角对等边）。
$\therefore △BDE$是等腰三角形。
【答案】
$\boxed{△BDE}$是等腰三角形。
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心是通过已知的平行、垂直、角平分线条件推导角的等量关系，解题时要注意每一步推导都要有对应的定理依据，养成严谨的几何证明习惯。
【难度系数】
0.7
要判断△BDE是否为等腰三角形，依据等腰三角形“等角对等边”的判定定理，只需证明△BDE中有两个内角相等即可。我们可以结合已知条件逐步推导角的等量关系：首先利用平行线的性质得到一组内错角相等，再结合角平分线的定义推出角的等量关系，最后利用直角三角形两锐角互余、等角的余角相等的性质，得到△BDE中两个相等的内角，即可完成证明。
【解析】
△BDE是等腰三角形，理由如下：
$\because DE// AC$，
$\therefore ∠CAD=∠ADE$（两直线平行，内错角相等）。
$\because AD$平分$∠BAC$，
$\therefore ∠CAD=∠BAD$（角平分线的定义）。
$\therefore ∠BAD=∠ADE$（等量代换）。
$\because AD⊥BD$，
$\therefore ∠ADB=90^{\circ }$，即$∠BAD + ∠B = 90°$，$∠ADE + ∠BDE=90°$（直角三角形的两个锐角互余）。
$\therefore ∠B=∠BDE$（等角的余角相等）。
$\therefore BE=DE$（等角对等边）。
$\therefore △BDE$是等腰三角形。
【答案】
$\boxed{△BDE}$是等腰三角形。
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 角平分线的定义
3. 等腰三角形的判定
【点评】
本题属于几何基础证明题，核心是通过已知的平行、垂直、角平分线条件推导角的等量关系，解题时要注意每一步推导都要有对应的定理依据，养成严谨的几何证明习惯。
【难度系数】
0.7
典例2 利用直尺和圆规作图:已知线段a,求作等腰三角形ABC,使AB=AC,BC=a,高AD=$\frac{1}{2}a$.
答案
解：
作法：
1. 作线段$BC = a$；
2. 分别以点$B$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}a$的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，该直线为$BC$的垂直平分线，交$BC$于点$D$；
3. 在$BC$的垂直平分线上，以点$D$为端点，截取线段$DA = \frac{1}{2}a$，得到点$A$；
4. 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
作法：
1. 作线段$BC = a$；
2. 分别以点$B$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}a$的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，该直线为$BC$的垂直平分线，交$BC$于点$D$；
3. 在$BC$的垂直平分线上，以点$D$为端点，截取线段$DA = \frac{1}{2}a$，得到点$A$；
4. 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
解析
【分析】
要构造符合要求的等腰三角形，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高与底边的垂直平分线重合，因此顶点A必然在底边BC的垂直平分线上，且高的垂足D是BC的中点。我们可以先确定长度为a的底边BC，再作出BC的垂直平分线找到中点D，接着在垂直平分线上截取长度为$\frac{1}{2}a$的高DA确定顶点A的位置，最后连接AB、AC即可得到目标三角形。
【解析】
按照尺规作图的规范步骤操作：
1. 先用直尺画出线段$BC = a$，确定等腰三角形的底边；
2. 作BC的垂直平分线：分别以B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}a$的长度为半径画弧，两弧交于上下两个点，过这两个点画直线，这条直线就是BC的垂直平分线，它和BC的交点即为BC的中点D；
3. 以D为端点，在BC的垂直平分线上截取线段$DA=\frac{1}{2}a$，得到顶点A；
4. 用直尺连接AB、AC，完成三角形作图。
【答案】
作法：
1. 作线段$BC = a$；
2. 分别以点$B$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}a$的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，该直线为$BC$的垂直平分线，交$BC$于点$D$；
3. 在$BC$的垂直平分线上，以点$D$为端点，截取线段$DA = \frac{1}{2}a$，得到点$A$；
4. 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【知识点】
尺规作图；等腰三角形性质；垂直平分线作法
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考察对等腰三角形性质的应用和线段垂直平分线的作图能力，解题关键是通过等腰三角形的特征快速定位顶点的位置，是几何作图模块需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
要构造符合要求的等腰三角形，首先利用等腰三角形“三线合一”的性质：等腰三角形底边上的高与底边的垂直平分线重合，因此顶点A必然在底边BC的垂直平分线上，且高的垂足D是BC的中点。我们可以先确定长度为a的底边BC，再作出BC的垂直平分线找到中点D，接着在垂直平分线上截取长度为$\frac{1}{2}a$的高DA确定顶点A的位置，最后连接AB、AC即可得到目标三角形。
【解析】
按照尺规作图的规范步骤操作：
1. 先用直尺画出线段$BC = a$，确定等腰三角形的底边；
2. 作BC的垂直平分线：分别以B、C为圆心，取大于$\frac{1}{2}a$的长度为半径画弧，两弧交于上下两个点，过这两个点画直线，这条直线就是BC的垂直平分线，它和BC的交点即为BC的中点D；
3. 以D为端点，在BC的垂直平分线上截取线段$DA=\frac{1}{2}a$，得到顶点A；
4. 用直尺连接AB、AC，完成三角形作图。
【答案】
作法：
1. 作线段$BC = a$；
2. 分别以点$B$、$C$为圆心，大于$\frac{1}{2}a$的长为半径画弧，两弧分别交于两点，过这两点作直线，该直线为$BC$的垂直平分线，交$BC$于点$D$；
3. 在$BC$的垂直平分线上，以点$D$为端点，截取线段$DA = \frac{1}{2}a$，得到点$A$；
4. 连接$AB$、$AC$。
则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形。
【知识点】
尺规作图；等腰三角形性质；垂直平分线作法
【点评】
本题属于基础尺规作图题，核心考察对等腰三角形性质的应用和线段垂直平分线的作图能力，解题关键是通过等腰三角形的特征快速定位顶点的位置，是几何作图模块需要熟练掌握的基础题型。
【难度系数】
0.8
举一反三 如图,已知线段a,b,求作等腰三角形ABC,使腰长为b,底边上的高为$a(a＜b)$.
BC相交于点D.
(3)在DM上取一点A,使$DA = BD=\frac{1}{2}a$.
(4)连接AB,AC,则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形.
BC相交于点D.
(3)在DM上取一点A,使$DA = BD=\frac{1}{2}a$.
(4)连接AB,AC,则$△ ABC$就是所求作的等腰三角形.
答案
2. 作法:如图.
(1)在平面内画一条水平直线 $MN$,以直线外一点为圆心画弧,交 $MN$ 于 $P$,Q两点,作线段 $PQ$ 的垂直平分线 $EF$,交 $MN$ 于点 $D$.
(2)在射线 $DE$ 上取一点 $C$,使 $DC=a$.
(3)以点 $C$ 为圆心,$b$ 为半径画弧交 $MN$ 于点 $A,B$.
(4)连接 $AC,BC$,则$△ ABC$ 就是所求作的等腰三角形.
解析
【分析】
要作腰长为b、底边上的高为a的等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质推导作图逻辑：底边上的高同时是底边的垂直平分线，因此先确定底边所在直线，再作出该直线的垂直平分线作为高的所在直线；之后在垂直平分线上截取长度为a的线段得到等腰三角形的顶点C，最后以C为圆心、腰长b为半径画弧，与底边所在直线交于A、B两点，即可得到符合要求的等腰三角形。
【解析】
作图步骤及原理如下：
1. 画水平直线MN，作弧交MN于P、Q两点，再作线段PQ的垂直平分线EF，EF与MN交于点D，此时EF即为底边的垂直平分线，也是底边上高的所在直线；
2. 在射线DE上截取DC=a，得到等腰三角形的顶点C，此时DC的长度符合底边上高为a的要求；
3. 以点C为圆心、长度b为半径画弧，弧与MN的交点即为等腰三角形底边的两个端点A、B，此时AC=BC=b，符合腰长为b的要求；
4. 连接AC、BC，得到的△ABC即为所求。
【答案】
作法:如图.
(1)在平面内画一条水平直线 $MN$,以直线外一点为圆心画弧,交 $MN$ 于 $P$,Q两点,作线段 $PQ$ 的垂直平分线 $EF$,交 $MN$ 于点 $D$.
(2)在射线 $DE$ 上取一点 $C$,使 $DC=a$.
(3)以点 $C$ 为圆心,$b$ 为半径画弧交 $MN$ 于点 $A,B$.
(4)连接 $AC,BC$,则$△ ABC$ 就是所求作的等腰三角形.
【知识点】
等腰三角形三线合一；尺规作垂直平分线；尺规作等长线段
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题核心是利用等腰三角形的性质确定作图顺序，要求熟练掌握作垂直平分线、截取等长线段等基本尺规作图操作，主要考察几何作图的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
要作腰长为b、底边上的高为a的等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质推导作图逻辑：底边上的高同时是底边的垂直平分线，因此先确定底边所在直线，再作出该直线的垂直平分线作为高的所在直线；之后在垂直平分线上截取长度为a的线段得到等腰三角形的顶点C，最后以C为圆心、腰长b为半径画弧，与底边所在直线交于A、B两点，即可得到符合要求的等腰三角形。
【解析】
作图步骤及原理如下：
1. 画水平直线MN，作弧交MN于P、Q两点，再作线段PQ的垂直平分线EF，EF与MN交于点D，此时EF即为底边的垂直平分线，也是底边上高的所在直线；
2. 在射线DE上截取DC=a，得到等腰三角形的顶点C，此时DC的长度符合底边上高为a的要求；
3. 以点C为圆心、长度b为半径画弧，弧与MN的交点即为等腰三角形底边的两个端点A、B，此时AC=BC=b，符合腰长为b的要求；
4. 连接AC、BC，得到的△ABC即为所求。
【答案】
作法:如图.
(1)在平面内画一条水平直线 $MN$,以直线外一点为圆心画弧,交 $MN$ 于 $P$,Q两点,作线段 $PQ$ 的垂直平分线 $EF$,交 $MN$ 于点 $D$.
(2)在射线 $DE$ 上取一点 $C$,使 $DC=a$.
(3)以点 $C$ 为圆心,$b$ 为半径画弧交 $MN$ 于点 $A,B$.
(4)连接 $AC,BC$,则$△ ABC$ 就是所求作的等腰三角形.
【知识点】
等腰三角形三线合一；尺规作垂直平分线；尺规作等长线段
【点评】
本题属于基础尺规作图题，解题核心是利用等腰三角形的性质确定作图顺序，要求熟练掌握作垂直平分线、截取等长线段等基本尺规作图操作，主要考察几何作图的基础应用能力。
【难度系数】
0.8
