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1. 负整数指数幂
典例1 已知$a=-0.2,b=-2^{-1},c=(-\dfrac{1}{2})^{-2}$，则$a,b,c$的大小关系是(
A.$a＜b＜c$
B.$b＜c＜a$
C.$a＜c＜b$
D.$b＜a＜c$
典例1 已知$a=-0.2,b=-2^{-1},c=(-\dfrac{1}{2})^{-2}$，则$a,b,c$的大小关系是(
D
).A.$a＜b＜c$
B.$b＜c＜a$
C.$a＜c＜b$
D.$b＜a＜c$
答案
1. D 解析 $a=-0.2, b=-2^{-1}=-\frac{1}{2}=-0.5, c=(-\frac{1}{2})^{-2}=4$,
$\because -0.5＜-0.2＜4, \therefore b＜a＜c$, 故选 D.
$\because -0.5＜-0.2＜4, \therefore b＜a＜c$, 故选 D.
解析
【分析】
要比较a、b、c的大小，首先需利用负整数指数幂的运算法则，将含有负指数幂的b、c化简为具体数值，再将三个数统一为小数形式，按照有理数大小比较的规则（正数大于所有负数，两个负数比较时绝对值大的数更小）排序，即可得到三者的大小关系。
【解析】
第一步：分别计算a、b、c的数值：
1. 已知$a=-0.2$；
2. 根据负整数指数幂运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），计算$b=-2^{-1}=-\frac{1}{2^1}=-\frac{1}{2}=-0.5$；
3. 计算$c=(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$。
第二步：比较三个数的大小：
正数4大于所有负数，两个负数中$\vert -0.5\vert=0.5＞\vert -0.2\vert=0.2$，因此$-0.5＜-0.2$，可得大小关系为$-0.5 ＜ -0.2 ＜ 4$，即$b ＜ a ＜ c$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则，运算时要注意区分负号在指数位置和底数位置的区别，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
要比较a、b、c的大小，首先需利用负整数指数幂的运算法则，将含有负指数幂的b、c化简为具体数值，再将三个数统一为小数形式，按照有理数大小比较的规则（正数大于所有负数，两个负数比较时绝对值大的数更小）排序，即可得到三者的大小关系。
【解析】
第一步：分别计算a、b、c的数值：
1. 已知$a=-0.2$；
2. 根据负整数指数幂运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），计算$b=-2^{-1}=-\frac{1}{2^1}=-\frac{1}{2}=-0.5$；
3. 计算$c=(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$。
第二步：比较三个数的大小：
正数4大于所有负数，两个负数中$\vert -0.5\vert=0.5＞\vert -0.2\vert=0.2$，因此$-0.5＜-0.2$，可得大小关系为$-0.5 ＜ -0.2 ＜ 4$，即$b ＜ a ＜ c$。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
负整数指数幂运算；有理数大小比较
【点评】
本题属于基础题，解题关键是熟练掌握负整数指数幂的运算法则，运算时要注意区分负号在指数位置和底数位置的区别，避免符号计算错误。
【难度系数】
0.8
举一反三 $-4^{-2}$等于(
A.8
B.$-16$
C.$\frac{1}{16}$
D.$-\frac{1}{16}$
D
).A.8
B.$-16$
C.$\frac{1}{16}$
D.$-\frac{1}{16}$
答案
1. D
解析
【分析】
解题时首先要明确运算顺序和负整数指数幂的运算规则：①先区分式子中负号的位置，本题中负号在乘方运算的外面，底数是4而非-4；②根据负整数指数幂的法则先计算4的-2次方，再给结果加上负号即可得到最终答案。
【解析】
根据负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
首先计算$4^{-2}$：$4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$，
原式的负号在乘方运算外，因此$-4^{-2}=-\frac{1}{16}$。
【答案】
D
【知识点】
1.负整数指数幂运算
2.乘方运算顺序
【点评】
本题易出现两种错误：一是误将底数当成-4，计算得到$\frac{1}{16}$错选C；二是对负指数幂的规则理解错误，算成-16错选B。解题时要先明确底数范围，再按规则运算。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确运算顺序和负整数指数幂的运算规则：①先区分式子中负号的位置，本题中负号在乘方运算的外面，底数是4而非-4；②根据负整数指数幂的法则先计算4的-2次方，再给结果加上负号即可得到最终答案。
【解析】
根据负整数指数幂的运算规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），
首先计算$4^{-2}$：$4^{-2}=\frac{1}{4^2}=\frac{1}{16}$，
原式的负号在乘方运算外，因此$-4^{-2}=-\frac{1}{16}$。
【答案】
D
【知识点】
1.负整数指数幂运算
2.乘方运算顺序
【点评】
本题易出现两种错误：一是误将底数当成-4，计算得到$\frac{1}{16}$错选C；二是对负指数幂的规则理解错误，算成-16错选B。解题时要先明确底数范围，再按规则运算。
【难度系数】
0.7
典例2 计算：
(1)$(3x^2y^2z^{-1})^{-2} · (5xy^{-2}z^3)^2$；
(2)$(4x^2yz^{-1})^2 · (2xyz)^{-4} ÷ (yz^3)^{-2}$。
规律方法 (1)指数取值扩大到全体整数时，原来学习的正整数指数幂的运算法则仍然适用；
(2)整数指数幂的运算结果一般用正整数指数幂来表示，如运算结果为$-3a^{-1}b^2c^{-3}$，则写成$-\dfrac{3b^2}{ac^3}$的形式。
举一反三 计算：
(1)$(3^{-1}x^3y^{-2})^{-2} · (x^{-3}y^2)^{-3}$；
(2)$6x^2yz ÷ (-2xy^{-2}z^{-1})$。
(1)$(3x^2y^2z^{-1})^{-2} · (5xy^{-2}z^3)^2$；
(2)$(4x^2yz^{-1})^2 · (2xyz)^{-4} ÷ (yz^3)^{-2}$。
规律方法 (1)指数取值扩大到全体整数时，原来学习的正整数指数幂的运算法则仍然适用；
(2)整数指数幂的运算结果一般用正整数指数幂来表示，如运算结果为$-3a^{-1}b^2c^{-3}$，则写成$-\dfrac{3b^2}{ac^3}$的形式。
举一反三 计算：
(1)$(3^{-1}x^3y^{-2})^{-2} · (x^{-3}y^2)^{-3}$；
(2)$6x^2yz ÷ (-2xy^{-2}z^{-1})$。
答案
1. 解 (1) $(3x^2y^2z^{-1})^{-2} · (5xy^{-2}z^3)^2 = (\frac{3x^2y^2}{z})^{-2} · (\frac{5xz^3}{y^2})^2 = \frac{z^2}{9x^4y^4} · \frac{25x^2z^6}{y^4} = \frac{25z^8}{9x^2y^8}.$
(2) $(4x^2yz^{-1})^2 · (2xyz)^{-4} ÷ (yz^3)^{-2}$
$=\frac{16x^4y^2}{z^2} · \frac{1}{16x^4y^4z^4} ÷ \frac{1}{y^2z^6}$
$=\frac{1}{z^6y^2} · y^2z^6 = 1.$
2. 【举一反三】解 (1) 原式 = $(\dfrac{x^3}{3y^2})^{-2} · (\dfrac{y^2}{x^3})^{-3}$
$=\dfrac{9y^4}{x^6} · \dfrac{x^9}{y^6}$
$=\dfrac{9x^3}{y^2}.$
(2)原式=$6x^2yz ÷ (\dfrac{-2x}{y^2z})$
$=6x^2yz · \dfrac{-y^2z}{2x}$
$=-3xy^3z^2.$
(2) $(4x^2yz^{-1})^2 · (2xyz)^{-4} ÷ (yz^3)^{-2}$
$=\frac{16x^4y^2}{z^2} · \frac{1}{16x^4y^4z^4} ÷ \frac{1}{y^2z^6}$
$=\frac{1}{z^6y^2} · y^2z^6 = 1.$
2. 【举一反三】解 (1) 原式 = $(\dfrac{x^3}{3y^2})^{-2} · (\dfrac{y^2}{x^3})^{-3}$
$=\dfrac{9y^4}{x^6} · \dfrac{x^9}{y^6}$
$=\dfrac{9x^3}{y^2}.$
(2)原式=$6x^2yz ÷ (\dfrac{-2x}{y^2z})$
$=6x^2yz · \dfrac{-y^2z}{2x}$
$=-3xy^3z^2.$
解析
【分析】
解决整数指数幂的运算问题，遵循"先乘方、再乘除"的运算顺序：①处理乘方运算时，先运用积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$将每个因式分别乘方，再用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$计算每个因式的指数；②乘除运算时，系数单独计算，同底数幂分别按照$a^m·a^n=a^{m+n}$、$a^m÷a^n=a^{m-n}$的规则计算指数；③最后根据负整数指数幂的意义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，将结果全部转化为正整数指数幂的形式，同时注意符号不要出错。
【解析】
典例2
(1) 先计算两个乘方项，再计算乘法：
$\begin{aligned}(3x^2y^2z^{-1})^{-2} · (5xy^{-2}z^3)^2 &= (\frac{3x^2y^2}{z})^{-2} · (\frac{5xz^3}{y^2})^2 \\&= \frac{z^2}{9x^4y^4} · \frac{25x^2z^6}{y^4} \\&= \frac{25z^{2+6}}{9x^{4-2}y^{4+4}} \\&= \frac{25z^8}{9x^2y^8}.\end{aligned}$
(2) 先计算所有乘方项，再依次计算乘除：
$\begin{aligned}(4x^2yz^{-1})^2 · (2xyz)^{-4} ÷ (yz^3)^{-2} &= \frac{16x^4y^2}{z^2} · \frac{1}{16x^4y^4z^4} ÷ \frac{1}{y^2z^6} \\&= \frac{16x^4y^2}{z^2} · \frac{1}{16x^4y^4z^4} · y^2z^6 \\&= x^{4-4}y^{2-4+2}z^{-2-4+6} \\&= 1.\end{aligned}$
举一反三
(1) 先计算乘方，再计算乘法：
$\begin{aligned}(3^{-1}x^3y^{-2})^{-2} · (x^{-3}y^2)^{-3} &= (\frac{x^3}{3y^2})^{-2} · (\frac{y^2}{x^3})^{-3} \\&= \frac{9y^4}{x^6} · \frac{x^9}{y^6} \\&= 9x^{9-6}y^{4-6} \\&= \frac{9x^3}{y^2}.\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，再计算：
$\begin{aligned}6x^2yz ÷ (-2xy^{-2}z^{-1}) &= 6x^2yz ÷ (\frac{-2x}{y^2z}) \\&= 6x^2yz · \frac{-y^2z}{2x} \\&= -3x^{2-1}y^{1+2}z^{1+1} \\&= -3xy^3z^2.\end{aligned}$
【答案】
典例2 (1)$\boldsymbol{\dfrac{25z^8}{9x^2y^8}}$；(2)$\boldsymbol{1}$
举一反三 (1)$\boldsymbol{\dfrac{9x^3}{y^2}}$；(2)$\boldsymbol{-3xy^3z^2}$
【知识点】
1. 整数指数幂运算法则
2. 负整数指数幂的意义
3. 同底数幂的乘除运算
【点评】
本题核心考察整数指数幂的运算规则，正整数指数幂的运算性质对整数指数幂仍然适用，运算时要注意系数、同底数幂、指数分开处理，最终结果需化为正整数指数幂的形式，计算时要注意负系数、负指数的符号问题，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
解决整数指数幂的运算问题，遵循"先乘方、再乘除"的运算顺序：①处理乘方运算时，先运用积的乘方法则$(ab)^n=a^nb^n$将每个因式分别乘方，再用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$计算每个因式的指数；②乘除运算时，系数单独计算，同底数幂分别按照$a^m·a^n=a^{m+n}$、$a^m÷a^n=a^{m-n}$的规则计算指数；③最后根据负整数指数幂的意义$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0)$，将结果全部转化为正整数指数幂的形式，同时注意符号不要出错。
【解析】
典例2
(1) 先计算两个乘方项，再计算乘法：
$\begin{aligned}(3x^2y^2z^{-1})^{-2} · (5xy^{-2}z^3)^2 &= (\frac{3x^2y^2}{z})^{-2} · (\frac{5xz^3}{y^2})^2 \\&= \frac{z^2}{9x^4y^4} · \frac{25x^2z^6}{y^4} \\&= \frac{25z^{2+6}}{9x^{4-2}y^{4+4}} \\&= \frac{25z^8}{9x^2y^8}.\end{aligned}$
(2) 先计算所有乘方项，再依次计算乘除：
$\begin{aligned}(4x^2yz^{-1})^2 · (2xyz)^{-4} ÷ (yz^3)^{-2} &= \frac{16x^4y^2}{z^2} · \frac{1}{16x^4y^4z^4} ÷ \frac{1}{y^2z^6} \\&= \frac{16x^4y^2}{z^2} · \frac{1}{16x^4y^4z^4} · y^2z^6 \\&= x^{4-4}y^{2-4+2}z^{-2-4+6} \\&= 1.\end{aligned}$
举一反三
(1) 先计算乘方，再计算乘法：
$\begin{aligned}(3^{-1}x^3y^{-2})^{-2} · (x^{-3}y^2)^{-3} &= (\frac{x^3}{3y^2})^{-2} · (\frac{y^2}{x^3})^{-3} \\&= \frac{9y^4}{x^6} · \frac{x^9}{y^6} \\&= 9x^{9-6}y^{4-6} \\&= \frac{9x^3}{y^2}.\end{aligned}$
(2) 先将除法转化为乘法，再计算：
$\begin{aligned}6x^2yz ÷ (-2xy^{-2}z^{-1}) &= 6x^2yz ÷ (\frac{-2x}{y^2z}) \\&= 6x^2yz · \frac{-y^2z}{2x} \\&= -3x^{2-1}y^{1+2}z^{1+1} \\&= -3xy^3z^2.\end{aligned}$
【答案】
典例2 (1)$\boldsymbol{\dfrac{25z^8}{9x^2y^8}}$；(2)$\boldsymbol{1}$
举一反三 (1)$\boldsymbol{\dfrac{9x^3}{y^2}}$；(2)$\boldsymbol{-3xy^3z^2}$
【知识点】
1. 整数指数幂运算法则
2. 负整数指数幂的意义
3. 同底数幂的乘除运算
【点评】
本题核心考察整数指数幂的运算规则，正整数指数幂的运算性质对整数指数幂仍然适用，运算时要注意系数、同底数幂、指数分开处理，最终结果需化为正整数指数幂的形式，计算时要注意负系数、负指数的符号问题，避免运算失误。
【难度系数】
0.7
