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典例1 
，在每个正方形边长都为1的3×3方格纸中，3个白色小正方形已被剪掉，现需在编号为①～⑥的小正方形中，再剪掉一个小正方形，从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体盒，则需要再剪掉的小正方形可能是
，在每个正方形边长都为1的3×3方格纸中，3个白色小正方形已被剪掉，现需在编号为①～⑥的小正方形中，再剪掉一个小正方形，从而使余下的5个小正方形恰好能折成一个棱长为1的无盖正方体盒，则需要再剪掉的小正方形可能是①或②或③
.(请填写所有可能的小正方形的编号)答案
典例1 答案 ①或②或③
解析
【分析】
解题时首先要明确无盖正方体展开图的核心特征：由5个正方形组成，不存在“田”字形组合，折叠后不会出现面重叠、面缺失的情况。观察图形可知，现有阴影正方形共6个（①~⑥），其中①②③④恰好构成“田”字格，而“田”字格结构无法折成正方体类的展开图，因此必须从这4个正方形中去掉1个来破坏田字格结构。接下来逐一验证去掉各正方形的情况：去掉④时剩余的图形折叠会出现面重叠，不符合要求；去掉⑤或⑥时仍保留田字格结构，无法折叠；只有去掉①、②、③时，剩余的5个正方形均符合无盖正方体展开图的要求。
【解析】
要使余下的5个小正方形能折成棱长为1的无盖正方体盒，需满足展开图无“田”字格结构、折叠后无面重叠：
1. 观察图形可知①②③④构成“田”字格，该结构无法折叠为正方体相关展开图，因此需剪掉①②③④中的一个破坏该结构；
2. 逐一验证：
剪掉①：剩余②③④⑤⑥，无田字格结构，可顺利折叠为无盖正方体，符合要求；
剪掉②：剩余①③④⑤⑥，无田字格结构，可顺利折叠为无盖正方体，符合要求；
剪掉③：剩余①②④⑤⑥，无田字格结构，可顺利折叠为无盖正方体，符合要求；
剪掉④：剩余①②③⑤⑥，折叠时会出现面重叠，无法构成无盖正方体，不符合要求；
剪掉⑤或⑥：剩余图形仍包含①②③④组成的田字格，无法折叠，不符合要求。
综上，需剪掉的小正方形编号为①或②或③。
【答案】
①或②或③
【知识点】
正方体展开图识别；图形折叠
【点评】
本题重点考查正方体展开图特征的应用，解题的关键是牢记“田”字格结构的展开图无法折叠为正方体，再结合空间想象逐一验证即可，有助于锻炼空间思维能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确无盖正方体展开图的核心特征：由5个正方形组成，不存在“田”字形组合，折叠后不会出现面重叠、面缺失的情况。观察图形可知，现有阴影正方形共6个（①~⑥），其中①②③④恰好构成“田”字格，而“田”字格结构无法折成正方体类的展开图，因此必须从这4个正方形中去掉1个来破坏田字格结构。接下来逐一验证去掉各正方形的情况：去掉④时剩余的图形折叠会出现面重叠，不符合要求；去掉⑤或⑥时仍保留田字格结构，无法折叠；只有去掉①、②、③时，剩余的5个正方形均符合无盖正方体展开图的要求。
【解析】
要使余下的5个小正方形能折成棱长为1的无盖正方体盒，需满足展开图无“田”字格结构、折叠后无面重叠：
1. 观察图形可知①②③④构成“田”字格，该结构无法折叠为正方体相关展开图，因此需剪掉①②③④中的一个破坏该结构；
2. 逐一验证：
剪掉①：剩余②③④⑤⑥，无田字格结构，可顺利折叠为无盖正方体，符合要求；
剪掉②：剩余①③④⑤⑥，无田字格结构，可顺利折叠为无盖正方体，符合要求；
剪掉③：剩余①②④⑤⑥，无田字格结构，可顺利折叠为无盖正方体，符合要求；
剪掉④：剩余①②③⑤⑥，折叠时会出现面重叠，无法构成无盖正方体，不符合要求；
剪掉⑤或⑥：剩余图形仍包含①②③④组成的田字格，无法折叠，不符合要求。
综上，需剪掉的小正方形编号为①或②或③。
【答案】
①或②或③
【知识点】
正方体展开图识别；图形折叠
【点评】
本题重点考查正方体展开图特征的应用，解题的关键是牢记“田”字格结构的展开图无法折叠为正方体，再结合空间想象逐一验证即可，有助于锻炼空间思维能力。
【难度系数】
0.6
典例2 如图，已知线段AB，CD，线段AB在线段CD上(点C，A在点B的左侧，点D在点C的右侧)，M，N分别为AC，BD的中点.
(1)若线段$AB=6$，$CD=14$，求$MN$的长.
(2)试说明$MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$.
(1)若线段$AB=6$，$CD=14$，求$MN$的长.
(2)试说明$MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$.
答案
典例2 解 (1)因为AB=6,CD=14,
所以AC+BD=CD-AB=8。
因为M,N分别为AC,BD的中点,
所以AM=1/2AC,BN=1/2BD。
所以MN = AM + AB + BN = 1/2(AC+BD)+AB=1/2×8+6=10。
(2)因为点M,N分别为AC,BD的中点,
所以AM=1/2AC,BN=1/2BD。
因为AC+BD=CD-AB,
所以AM + BN = 1/2(AC+BD)=1/2(CD-AB)。
所以MN = AM + AB + BN = 1/2(CD-AB)+AB=1/2(AB+CD)。
所以AC+BD=CD-AB=8。
因为M,N分别为AC,BD的中点,
所以AM=1/2AC,BN=1/2BD。
所以MN = AM + AB + BN = 1/2(AC+BD)+AB=1/2×8+6=10。
(2)因为点M,N分别为AC,BD的中点,
所以AM=1/2AC,BN=1/2BD。
因为AC+BD=CD-AB,
所以AM + BN = 1/2(AC+BD)=1/2(CD-AB)。
所以MN = AM + AB + BN = 1/2(CD-AB)+AB=1/2(AB+CD)。
解析
【分析】
(1) 求MN的长度时，先观察线段MN的组成：MN可拆分为AM、AB、BN三段之和。已知AB的长度，因此只需要求出AM+BN的长度即可。根据CD和AB的长度可先算出AC+BD的总长度，再结合M、N是AC、BD中点的性质，就能得到AM+BN和AC+BD的数量关系，代入数值计算即可得到MN的长度。
(2) 推导MN和AB、CD的数量关系时，沿用第一问的思路，将AC+BD替换为CD-AB，代入MN的线段和表达式中化简，即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 已知$AB=6$，$CD=14$，
$\therefore AC+BD=CD-AB=14-6=8$，
$\because$ M、N分别为AC、BD的中点，
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC$，$BN=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore MN=AM+AB+BN=\frac{1}{2}(AC+BD)+AB=\frac{1}{2}×8+6=10$。
(2) 证明：
$\because$ 点M、N分别为AC、BD的中点，
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC$，$BN=\frac{1}{2}BD$，
$\because AC+BD=CD-AB$，
$\therefore AM+BN=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}(CD-AB)$，
又$\because MN=AM+AB+BN$，
$\therefore MN=\frac{1}{2}(CD-AB)+AB=\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+CD)$，结论得证。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$，证明如上。
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，线段关系推导
【点评】
本题是线段计算类的典型题型，解题核心是将所求线段合理拆分为多个线段的和，结合中点性质转化未知线段，即可快速建立所求线段和已知线段的数量关系，该方法是解决同类线段问题的常用思路。
【难度系数】
0.75
(1) 求MN的长度时，先观察线段MN的组成：MN可拆分为AM、AB、BN三段之和。已知AB的长度，因此只需要求出AM+BN的长度即可。根据CD和AB的长度可先算出AC+BD的总长度，再结合M、N是AC、BD中点的性质，就能得到AM+BN和AC+BD的数量关系，代入数值计算即可得到MN的长度。
(2) 推导MN和AB、CD的数量关系时，沿用第一问的思路，将AC+BD替换为CD-AB，代入MN的线段和表达式中化简，即可得到要证明的结论。
【解析】
(1) 已知$AB=6$，$CD=14$，
$\therefore AC+BD=CD-AB=14-6=8$，
$\because$ M、N分别为AC、BD的中点，
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC$，$BN=\frac{1}{2}BD$，
$\therefore MN=AM+AB+BN=\frac{1}{2}(AC+BD)+AB=\frac{1}{2}×8+6=10$。
(2) 证明：
$\because$ 点M、N分别为AC、BD的中点，
$\therefore AM=\frac{1}{2}AC$，$BN=\frac{1}{2}BD$，
$\because AC+BD=CD-AB$，
$\therefore AM+BN=\frac{1}{2}(AC+BD)=\frac{1}{2}(CD-AB)$，
又$\because MN=AM+AB+BN$，
$\therefore MN=\frac{1}{2}(CD-AB)+AB=\frac{1}{2}CD+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AB+CD)$，结论得证。
【答案】
(1) $\boxed{10}$
(2) $MN=\frac{1}{2}(AB+CD)$，证明如上。
【知识点】
线段中点性质，线段和差计算，线段关系推导
【点评】
本题是线段计算类的典型题型，解题核心是将所求线段合理拆分为多个线段的和，结合中点性质转化未知线段，即可快速建立所求线段和已知线段的数量关系，该方法是解决同类线段问题的常用思路。
【难度系数】
0.75
