典例3 数学实验课上，同学们探究角度之间的关系.
将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中$∠ CPD = 90°$，$∠ APB = 45°$，作$PM$平分$∠ APC$，$PN$平分$∠ BPD$.当$∠ APC$分别为$20°$和$30°$时，求$∠ MPN$的度数.

典例3 解 因为∠ CPD=90°,∠ APB=45°,
所以∠ APC + ∠ BPD=90° - 45°=45°。
因为PM平分∠ APC,PN平分∠ BPD,
所以∠ APM=1/2∠ APC,∠ BPN=1/2∠ BPD。
当∠ APC=20°时,∠ BPD=45° - 20°=25°,
则∠ APM=1/2∠ APC=10°,∠ BPN=1/2∠ BPD=12.5°。
所以∠ MPN=∠ APB + (∠ APM + ∠ BPN)=45°+(10°+12.5°)=67.5°。
当∠ APC=30°时,∠ BPD=45° - 30°=15°,
则∠ APM=1/2∠ APC=15°,∠ BPN=1/2∠ BPD=7.5°。
所以∠ MPN=∠ APB + (∠ APM + ∠ BPN)=45°+(15°+7.5°)=67.5°。

【分析】
解题时首先观察图形中各角的位置关系：已知∠CPD=90°，∠APB=45°，因此可先求出∠APC与∠BPD的和；再结合角平分线的定义，得到被平分后的两个小角与原角的数量关系；最后分析∠MPN的组成，它由∠APB、∠APM、∠BPN三部分构成，代入对应数值分别计算两种情况即可得到结果。
【解析】
解：因为∠CPD=90°，∠APB=45°，
所以$∠ APC + ∠ BPD=∠ CPD - ∠ APB=90° - 45°=45°$。
因为PM平分∠APC，PN平分∠BPD，
所以$∠ APM=\frac{1}{2}∠ APC$，$∠ BPN=\frac{1}{2}∠ BPD$。
当$∠ APC=20°$时，$∠ BPD=45° - 20°=25°$，
则$∠ APM=\frac{1}{2}∠ APC=10°$，$∠ BPN=\frac{1}{2}∠ BPD=12.5°$，
所以$∠ MPN=∠ APB + ∠ APM + ∠ BPN=45°+(10°+12.5°)=67.5°$。
当$∠ APC=30°$时，$∠ BPD=45° - 30°=15°$，
则$∠ APM=\frac{1}{2}∠ APC=15°$，$∠ BPN=\frac{1}{2}∠ BPD=7.5°$，
所以$∠ MPN=∠ APB + ∠ APM + ∠ BPN=45°+(15°+7.5°)=67.5°$。
【答案】
当∠APC为20°时，∠MPN的度数为67.5°；当∠APC为30°时，∠MPN的度数为67.5°。
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算
【点评】
本题重点考查角的运算与角平分线性质的应用，解题的核心是理清不同角之间的数量关系，通过本题还可延伸探究：在题设条件下，∠MPN的度数为定值，与∠APC的度数无关。
【难度系数】
0.7

典例4【观察思考】
在表中空白处画出图形；

【模型构建】
如果线段上有$n(n＞1$，且$n$是正整数$)$个点(包括线段的两个端点)，那么该线段上共有多少条线段？
【拓展应用】
请将下面问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题：
海南环岛高铁是世界首创，其中某趟列车在东段的三亚站、陵水站、万宁站、琼海站、文昌站和海口东站6个站之间运行，那么该趟列车需要安排种不同的车票，有种票价。

典例4
【观察思考】$A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{B}$;
$A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{B}$;$A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{E}\stackrel{——}{B}$;
$A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{E}\stackrel{——}{F}\stackrel{——}{B}$;
$A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{E}\stackrel{——}{F}\stackrel{——}{G}\stackrel{——}{B}$。
【模型构建】解 $1+2+3+4+\dots+(n-2)+(n-1)=\frac{[1+(n-1)]×(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$,所以该线段上共有$\frac{n(n-1)}{2}$条线段。
【拓展应用】30 15 解析 因为$6×(6-1)=30,30÷2=15$,
所以该趟列车需要安排30种不同的车票,有15种票价。

【分析】
1. 观察思考：根据线段上的点数n，除端点A、B外，剩余n-2个点按C、D、E、F、G的顺序依次标注在AB线段上，即可画出对应图例。
2. 模型构建：观察表格中线段总条数的规律，n个点时，每个点可与其余n-1个点连接形成线段，且每条线段被重复计算2次，或直接观察总条数是从1到n-1的连续整数和，用求和公式推导即可得到通用公式。
3. 拓展应用：将6个站点看作线段上的6个点，票价仅和两个站点的组合有关（无方向），对应线段总条数；车票需区分出发和到达站点（有方向），数量为线段总条数的2倍，代入公式计算即可。
【解析】
观察思考
n=3时，线段上除A、B外有1个点，图例：$\boldsymbol{A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{B}}$
n=4时，线段上除A、B外有2个点，图例：$\boldsymbol{A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{B}}$
n=5时，线段上除A、B外有3个点，图例：$\boldsymbol{A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{E}\stackrel{——}{B}}$
n=6时，线段上除A、B外有4个点，图例：$\boldsymbol{A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{E}\stackrel{——}{F}\stackrel{——}{B}}$
n=7时，线段上除A、B外有5个点，图例：$\boldsymbol{A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{E}\stackrel{——}{F}\stackrel{——}{G}\stackrel{——}{B}}$
模型构建
当线段上有n个点时，从第一个点出发可连(n-1)条不重复线段，第二个点出发可连(n-2)条不重复线段，……，倒数第二个点出发可连1条线段，因此总线段数：
$N=1+2+3+\dots+(n-1)$
根据等差数列求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2，代入得：
$N=\frac{[1+(n-1)]×(n-1)}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$
拓展应用
6个站点对应线段上n=6个点：
1. 票价：往返两个站点票价相同，无方向要求，总票价数等于线段总条数：$\frac{6×(6-1)}{2}=15$种。
2. 车票：往返两个站点的车票不同，有方向要求，总车票数等于线段总条数的2倍：$6×(6-1)=30$种。
【答案】
【观察思考】依次为$A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{B}$；$A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{B}$；$A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{E}\stackrel{——}{B}$；$A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{E}\stackrel{——}{F}\stackrel{——}{B}$；$A\stackrel{——}{C}\stackrel{——}{D}\stackrel{——}{E}\stackrel{——}{F}\stackrel{——}{G}\stackrel{——}{B}$
【模型构建】共有$\frac{n(n-1)}{2}$条线段
【拓展应用】30；15
【知识点】
线段计数，规律探究，等差数列求和
【点评】
本题从具体的线段计数入手，引导学生总结通用规律，再结合生活实际应用规律，需要注意区分“有方向”和“无方向”两种计数场景的差异，能很好地锻炼学生的归纳总结能力和知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7