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2.在一张长是8 cm、宽是4 cm的长方形纸上，最多能剪(
A.8
B.10
C.16
D.32
A
)个半径为1 cm的圆。A.8
B.10
C.16
D.32
答案
2. A
解析
【分析】
要解决在长方形纸上剪最多圆的问题，不能直接用长方形面积除以单个圆的面积计算，因为裁剪时会产生无法利用的边角料。首先要明确：半径1cm的圆，它所占的最小正方形边长等于圆的直径，因此先算出圆的直径，再分别计算长方形的长、宽分别能容纳几个直径的长度，最后将两个方向的数量相乘，就能得到最多能剪的圆的个数。
【解析】
第一步：计算圆的直径
已知圆的半径r=1cm，根据直径和半径的关系：$d=2r$，可得$d=2×1=2cm$。
第二步：计算长方形长方向可剪的圆的数量
长方形长为8cm，$8÷2=4$（个），即长方向最多可以放4个圆。
第三步：计算长方形宽方向可剪的圆的数量
长方形宽为4cm，$4÷2=2$（个），即宽方向最多可以放2个圆。
第四步：计算总数量
总个数=长方向数量×宽方向数量，即$4×2=8$（个）。
所以选A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆的半径与直径的关系；图形裁剪问题
【点评】
本题的易错点是容易直接通过面积相除计算圆的个数，忽略了裁剪过程中边角料不可复用的实际情况，解题时需结合长方形的长、宽和圆的直径的匹配关系计算才正确。
【难度系数】
0.7
要解决在长方形纸上剪最多圆的问题，不能直接用长方形面积除以单个圆的面积计算，因为裁剪时会产生无法利用的边角料。首先要明确：半径1cm的圆，它所占的最小正方形边长等于圆的直径，因此先算出圆的直径，再分别计算长方形的长、宽分别能容纳几个直径的长度，最后将两个方向的数量相乘，就能得到最多能剪的圆的个数。
【解析】
第一步：计算圆的直径
已知圆的半径r=1cm，根据直径和半径的关系：$d=2r$，可得$d=2×1=2cm$。
第二步：计算长方形长方向可剪的圆的数量
长方形长为8cm，$8÷2=4$（个），即长方向最多可以放4个圆。
第三步：计算长方形宽方向可剪的圆的数量
长方形宽为4cm，$4÷2=2$（个），即宽方向最多可以放2个圆。
第四步：计算总数量
总个数=长方向数量×宽方向数量，即$4×2=8$（个）。
所以选A选项。
【答案】
A
【知识点】
圆的半径与直径的关系；图形裁剪问题
【点评】
本题的易错点是容易直接通过面积相除计算圆的个数，忽略了裁剪过程中边角料不可复用的实际情况，解题时需结合长方形的长、宽和圆的直径的匹配关系计算才正确。
【难度系数】
0.7
3.在一个正方形内画一个最大的圆,这个圆的面积是正方形面积的(
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{π}{4}$
D.$\frac{4}{π}$
C
)。A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{π}{4}$
D.$\frac{4}{π}$
答案
3. C
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先明确正方形内画最大圆的核心特征：这个圆的直径等于正方形的边长，这是解题的前提条件；第二步，因为求的是两个图形面积的比值，比值不会随边长大小变化，因此可以用设数法给正方形边长设一个方便计算的数值，分别算出正方形和圆的面积；第三步，用圆的面积除以正方形的面积，得到占比后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 明确特征：正方形内最大的圆的直径等于正方形的边长。
2. 设数简化计算：假设正方形的边长为2，则圆的半径$r=2÷2=1$。
3. 计算正方形面积：$S_{\mathrm{正}}=边长×边长=2×2=4$
4. 计算圆的面积：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π$
5. 计算占比：圆的面积占正方形面积的比例为$S_{\mathrm{圆}}÷ S_{\mathrm{正}}=π÷4=\frac{π}{4}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形内接最大圆特征、正方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
这道题是几何面积类的基础常见题型，核心是抓住正方形内最大圆的直径等于正方形边长这一关键条件，使用设数法可以有效简化计算过程，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
解题思路可分为三步：第一步，先明确正方形内画最大圆的核心特征：这个圆的直径等于正方形的边长，这是解题的前提条件；第二步，因为求的是两个图形面积的比值，比值不会随边长大小变化，因此可以用设数法给正方形边长设一个方便计算的数值，分别算出正方形和圆的面积；第三步，用圆的面积除以正方形的面积，得到占比后匹配对应选项即可。
【解析】
1. 明确特征：正方形内最大的圆的直径等于正方形的边长。
2. 设数简化计算：假设正方形的边长为2，则圆的半径$r=2÷2=1$。
3. 计算正方形面积：$S_{\mathrm{正}}=边长×边长=2×2=4$
4. 计算圆的面积：$S_{\mathrm{圆}}=π r^2=π×1^2=π$
5. 计算占比：圆的面积占正方形面积的比例为$S_{\mathrm{圆}}÷ S_{\mathrm{正}}=π÷4=\frac{π}{4}$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正方形内接最大圆特征、正方形面积计算、圆的面积计算
【点评】
这道题是几何面积类的基础常见题型，核心是抓住正方形内最大圆的直径等于正方形边长这一关键条件，使用设数法可以有效简化计算过程，降低解题难度。
【难度系数】
0.8
4.将一个圆沿半径剪开，拼成一个近似的长方形(如下图)，圆的面积是(
A.28.26
B.12.56
C.18.84
D.15.7
A
)cm²。A.28.26
B.12.56
C.18.84
D.15.7
答案
4. A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确圆剪拼成近似长方形的对应关系：拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。我们可以先根据给出的长方形的长求出圆的半径，再利用圆的面积公式计算圆的面积，最后对应选项选择即可。
【解析】
1. 明确拼接对应关系：近似长方形的长 = 圆周长的一半，即$π r = 9.42\mathrm{cm}$（$π$取3.14）。
2. 计算圆的半径：$r = 9.42÷3.14 = 3\mathrm{cm}$。
3. 计算圆的面积：根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入得$S = 3.14×3^2 = 3.14×9 = 28.26\mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
圆面积推导过程、圆周长计算、圆面积计算
【点评】
本题核心是考查圆剪拼为近似长方形的各部分对应关系，只要掌握“长方形长对应圆周长的一半、宽对应圆半径”这一关键点，结合圆的相关公式就能快速解题，是圆面积相关的基础典型题。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确圆剪拼成近似长方形的对应关系：拼成的近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。我们可以先根据给出的长方形的长求出圆的半径，再利用圆的面积公式计算圆的面积，最后对应选项选择即可。
【解析】
1. 明确拼接对应关系：近似长方形的长 = 圆周长的一半，即$π r = 9.42\mathrm{cm}$（$π$取3.14）。
2. 计算圆的半径：$r = 9.42÷3.14 = 3\mathrm{cm}$。
3. 计算圆的面积：根据圆的面积公式$S=π r^2$，代入得$S = 3.14×3^2 = 3.14×9 = 28.26\mathrm{cm}^2$。
【答案】
A
【知识点】
圆面积推导过程、圆周长计算、圆面积计算
【点评】
本题核心是考查圆剪拼为近似长方形的各部分对应关系，只要掌握“长方形长对应圆周长的一半、宽对应圆半径”这一关键点，结合圆的相关公式就能快速解题，是圆面积相关的基础典型题。
【难度系数】
0.7
5. 下图中，直角三角形的面积是20平方厘米，圆的面积是(
A.80
B.62.8
C.125.6
D.40
C
)平方厘米。A.80
B.62.8
C.125.6
D.40
答案
5. C
解析
【分析】
首先观察图形可知，阴影直角三角形的两条直角边长度均等于圆的半径r。我们已知直角三角形的面积计算公式为“直角边长度×直角边长度÷2”，结合题目给出的三角形面积为20平方厘米，可先求出r²的数值，再将r²整体代入圆的面积公式S=πr²，就能计算得到圆的面积。
【解析】
设圆的半径为r厘米。
阴影直角三角形的两条直角边都为r，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × r × r = 20$
计算得：$r^2 = 20 × 2 = 40$
根据圆的面积公式$S=π r^2$（通常π取3.14），将$r^2=40$代入：
$S=3.14 × 40 = 125.6$（平方厘米）
所以选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算，圆的面积计算，整体代入计算
【点评】
本题不需要单独求解半径r的具体数值，通过三角形面积求出半径平方后直接整体代入圆的面积公式即可，考察了几何计算中的整体代换思想，避免了不必要的开方计算。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知，阴影直角三角形的两条直角边长度均等于圆的半径r。我们已知直角三角形的面积计算公式为“直角边长度×直角边长度÷2”，结合题目给出的三角形面积为20平方厘米，可先求出r²的数值，再将r²整体代入圆的面积公式S=πr²，就能计算得到圆的面积。
【解析】
设圆的半径为r厘米。
阴影直角三角形的两条直角边都为r，根据三角形面积公式：
$\frac{1}{2} × r × r = 20$
计算得：$r^2 = 20 × 2 = 40$
根据圆的面积公式$S=π r^2$（通常π取3.14），将$r^2=40$代入：
$S=3.14 × 40 = 125.6$（平方厘米）
所以选C。
【答案】
C
【知识点】
三角形面积计算，圆的面积计算，整体代入计算
【点评】
本题不需要单独求解半径r的具体数值，通过三角形面积求出半径平方后直接整体代入圆的面积公式即可，考察了几何计算中的整体代换思想，避免了不必要的开方计算。
【难度系数】
0.7
6.【推理意识】甲和乙是两个面积相等的正方形，甲中涂色部分是4个等圆，乙中涂色部分是9个等圆。甲和乙中涂色部分的面积相比较，(
A.甲＞乙
B.甲＜乙
C.甲=乙
D.无法比较
C
)。A.甲＞乙
B.甲＜乙
C.甲=乙
D.无法比较
答案
6. C
解析
【分析】
要比较甲、乙涂色部分的面积，本质是比较两个图中所有圆的总面积。已知两个正方形面积相等，我们可以采用假设法，先给正方形的边长设定一个便于计算的数值，再分别算出甲、乙两图中所有圆的总面积，最后对比数值大小即可得出结论。
【解析】
假设两个面积相等的正方形边长为12（取任意数值都不影响最终结果）：
1. 计算甲图涂色部分面积：
甲图一行摆2个等圆，因此每个圆的直径=12÷2=6，半径=6÷2=3。
单个圆的面积=πr²=π×3²=9π
4个圆的总面积=4×9π=36π
2. 计算乙图涂色部分面积：
乙图一行摆3个等圆，因此每个圆的直径=12÷3=4，半径=4÷2=2。
单个圆的面积=πr²=π×2²=4π
9个圆的总面积=9×4π=36π
3. 对比结果：36π=36π，因此甲和乙的涂色部分面积相等。
【答案】
C
【知识点】
圆的面积计算，假设法解题，正方形的性质
【点评】
本题通过合理假设数值可以简化计算过程，解题核心是找准圆的直径与正方形边长的对应关系，能有效锻炼逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
要比较甲、乙涂色部分的面积，本质是比较两个图中所有圆的总面积。已知两个正方形面积相等，我们可以采用假设法，先给正方形的边长设定一个便于计算的数值，再分别算出甲、乙两图中所有圆的总面积，最后对比数值大小即可得出结论。
【解析】
假设两个面积相等的正方形边长为12（取任意数值都不影响最终结果）：
1. 计算甲图涂色部分面积：
甲图一行摆2个等圆，因此每个圆的直径=12÷2=6，半径=6÷2=3。
单个圆的面积=πr²=π×3²=9π
4个圆的总面积=4×9π=36π
2. 计算乙图涂色部分面积：
乙图一行摆3个等圆，因此每个圆的直径=12÷3=4，半径=4÷2=2。
单个圆的面积=πr²=π×2²=4π
9个圆的总面积=9×4π=36π
3. 对比结果：36π=36π，因此甲和乙的涂色部分面积相等。
【答案】
C
【知识点】
圆的面积计算，假设法解题，正方形的性质
【点评】
本题通过合理假设数值可以简化计算过程，解题核心是找准圆的直径与正方形边长的对应关系，能有效锻炼逻辑推理能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
四、计算。（33分）
1.求图中涂色部分的周长。（单位：cm）（9分）
(1)
(2)
(3)
1.求图中涂色部分的周长。（单位：cm）（9分）
(1)
(2)
(3)
答案
1. (1) 3.14×6+6×4=42.84(cm)
(2) 2×3.14×8×$\frac{1}{4}$ +8×2=28.56(cm)
(3) 3.14×(4×2)÷2=12.56(cm)
3.14×(3×2)÷2=9.42(cm)
4+(3×2-4)=4+2=6(cm)
周长:12.56+9.42+6=27.98(cm)
(2) 2×3.14×8×$\frac{1}{4}$ +8×2=28.56(cm)
(3) 3.14×(4×2)÷2=12.56(cm)
3.14×(3×2)÷2=9.42(cm)
4+(3×2-4)=4+2=6(cm)
周长:12.56+9.42+6=27.98(cm)
解析
【分析】
解决这类求涂色部分周长的问题，核心思路是先拆分：明确涂色部分的周长由哪些曲线、线段组成，千万不要把图形内部的边或者不属于涂色部分轮廓的边算进去，再分别计算各部分长度，最后相加得到总周长。
(1) 第(1)题的周长由1个直径为6cm的整圆的周长，加4条长度为6cm的正方形边长组成，分别计算两部分长度再求和即可。
(2) 第(2)题的周长由半径为8cm的圆的四分之一圆弧长，加2条长度为8cm的线段组成，先算圆弧长度，再加线段总长度即可。
(3) 第(3)题的周长由半径4cm的半圆弧长、半径3cm的半圆弧长，加底部的两条线段的长度和组成，分别计算三部分长度再求和即可。
【解析】
(1) 圆的周长公式为$C=π d$（$d$为直径），正方形周长=边长×4：
圆的周长：$3.14×6=18.84(\mathrm{cm})$
正方形周长：$6×4=24(\mathrm{cm})$
总周长：$18.84+24=42.84(\mathrm{cm})$
(2) 四分之一圆弧长是对应整圆周长的$\frac{1}{4}$，圆的周长公式为$C=2π r$（$r$为半径）：
四分之一圆弧长：$2×3.14×8×\frac{1}{4}=12.56(\mathrm{cm})$
两条线段总长度：$8×2=16(\mathrm{cm})$
总周长：$12.56+16=28.56(\mathrm{cm})$
(3) 半圆弧长是对应整圆周长的$\frac{1}{2}$：
半径4cm的半圆弧长：$3.14×(4×2)÷2=12.56(\mathrm{cm})$
半径3cm的半圆弧长：$3.14×(3×2)÷2=9.42(\mathrm{cm})$
底部线段总长度：$4+(3×2-4)=6(\mathrm{cm})$
总周长：$12.56+9.42+6=27.98(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $3.14×6+6×4=42.84(\mathrm{cm})$
(2) $2×3.14×8×\frac{1}{4} +8×2=28.56(\mathrm{cm})$
(3) $3.14×(4×2)÷2=12.56(\mathrm{cm})$
$3.14×(3×2)÷2=9.42(\mathrm{cm})$
$4+(3×2-4)=6(\mathrm{cm})$
周长:$12.56+9.42+6=27.98(\mathrm{cm})$
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 组合图形周长计算
3. 周长的认识
【点评】
本题核心考察对图形周长的理解和组合图形的拆分能力，解题时要注意区分周长是图形外围轮廓的长度总和，避免多算内部的边，只要准确拆分各组成部分，结合圆的周长公式计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.6
解决这类求涂色部分周长的问题，核心思路是先拆分：明确涂色部分的周长由哪些曲线、线段组成，千万不要把图形内部的边或者不属于涂色部分轮廓的边算进去，再分别计算各部分长度，最后相加得到总周长。
(1) 第(1)题的周长由1个直径为6cm的整圆的周长，加4条长度为6cm的正方形边长组成，分别计算两部分长度再求和即可。
(2) 第(2)题的周长由半径为8cm的圆的四分之一圆弧长，加2条长度为8cm的线段组成，先算圆弧长度，再加线段总长度即可。
(3) 第(3)题的周长由半径4cm的半圆弧长、半径3cm的半圆弧长，加底部的两条线段的长度和组成，分别计算三部分长度再求和即可。
【解析】
(1) 圆的周长公式为$C=π d$（$d$为直径），正方形周长=边长×4：
圆的周长：$3.14×6=18.84(\mathrm{cm})$
正方形周长：$6×4=24(\mathrm{cm})$
总周长：$18.84+24=42.84(\mathrm{cm})$
(2) 四分之一圆弧长是对应整圆周长的$\frac{1}{4}$，圆的周长公式为$C=2π r$（$r$为半径）：
四分之一圆弧长：$2×3.14×8×\frac{1}{4}=12.56(\mathrm{cm})$
两条线段总长度：$8×2=16(\mathrm{cm})$
总周长：$12.56+16=28.56(\mathrm{cm})$
(3) 半圆弧长是对应整圆周长的$\frac{1}{2}$：
半径4cm的半圆弧长：$3.14×(4×2)÷2=12.56(\mathrm{cm})$
半径3cm的半圆弧长：$3.14×(3×2)÷2=9.42(\mathrm{cm})$
底部线段总长度：$4+(3×2-4)=6(\mathrm{cm})$
总周长：$12.56+9.42+6=27.98(\mathrm{cm})$
【答案】
(1) $3.14×6+6×4=42.84(\mathrm{cm})$
(2) $2×3.14×8×\frac{1}{4} +8×2=28.56(\mathrm{cm})$
(3) $3.14×(4×2)÷2=12.56(\mathrm{cm})$
$3.14×(3×2)÷2=9.42(\mathrm{cm})$
$4+(3×2-4)=6(\mathrm{cm})$
周长:$12.56+9.42+6=27.98(\mathrm{cm})$
【知识点】
1. 圆的周长计算
2. 组合图形周长计算
3. 周长的认识
【点评】
本题核心考察对图形周长的理解和组合图形的拆分能力，解题时要注意区分周长是图形外围轮廓的长度总和，避免多算内部的边，只要准确拆分各组成部分，结合圆的周长公式计算就能得出正确结果。
【难度系数】
0.6
