21. （14分）暑假期间，某研学社组织学生到某地研学，研学社报价为每人收费$400$元。当研学人数超过$50$人时，研学社给出两种优惠方案：
方案一，研学团队预交$1600$元定金，每人收费$320$元；
方案二，$5$人免费，其余每人打九折。
设参加研学的总人数是$x(x ＞ 50)$。
（1）请用含$x$的代数式分别表示方案一和方案二的收费。
（2）当参加研学的总人数是$90$人时，采用哪种方案更省钱？请说明理由。
（3）当参加研学的总人数是多少时，两种方案的收费是一样的？

21. 解：(1)方案一的收费为 $ ( 1600 + 320 x ) $ 元。
方案二的收费为
$ 400 × 0.9 ( x - 5 ) = ( 360 x - 1800 ) $ 元。
(2)采用方案一更省钱。理由如下：
当 $ x = 90 $ 时，
$ 1600 + 320 x = 1600 + 320 × 90 = 30400 $（元），
$ 360 x - 1800 = 360 × 90 - 1800 = 30600 $（元）。
因为 $ 30400 ＜ 30600 $，
所以采用方案一更省钱。
(3)由题意得 $ 1600 + 320 x = 360 x - 1800 $。
解得 $ x = 85 $。
所以当参加研学的总人数是 $ 85 $ 人时，两种方案的收费是一样的。

【分析】
本题是研学收费方案的实际应用问题，解题思路如下：（1）根据两种方案的优惠规则，分别明确总收费的组成，用含x的代数式表示；（2）将x=90代入两个方案的代数式计算费用，比较大小判断哪种更省钱；（3）令两个方案的收费代数式相等，解一元一次方程得到收费相同时的人数。
【解析】
（1）方案一：总收费包含1600元定金和每人320元的费用，因此收费为$(1600 + 320x)$元；方案二：5人免费，收费人数为$(x-5)$，每人打九折后单价为$400×0.9=360$元，因此收费为$360(x-5)=(360x - 1800)$元。
（2）当$x=90$时，方案一费用：$1600 + 320×90 = 1600 + 28800 = 30400$元；方案二费用：$360×90 - 1800 = 32400 - 1800 = 30600$元；因为$30400＜30600$，所以方案一更省钱。
（3）令两种方案收费相等，列方程：$1600 + 320x = 360x - 1800$，移项得$360x - 320x = 1600 + 1800$，即$40x = 3400$，解得$x=85$。
【答案】
21. 解：(1)方案一的收费为 $( 1600 + 320 x ) $ 元。方案二的收费为 $ 400 × 0.9 ( x - 5 ) = ( 360 x - 1800 ) $ 元。(2)采用方案一更省钱。理由如下：当 $ x = 90 $ 时，$ 1600 + 320 x = 1600 + 320 × 90 = 30400 $（元），$ 360 x - 1800 = 360 × 90 - 1800 = 30600 $（元）。因为 $ 30400 ＜ 30600 $，所以采用方案一更省钱。(3)由题意得 $ 1600 + 320 x = 360 x - 1800 $。解得 $ x = 85 $。所以当参加研学的总人数是 $ 85 $ 人时，两种方案的收费是一样的。
【知识点】
一次函数的应用、代数式求值、一元一次方程的应用
【点评】
本题结合实际研学收费场景，考查列代数式、代数式求值及一元一次方程的应用，关键是准确理解两种优惠方案的计算逻辑，步骤清晰，难度适中，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.7

22. (14分)甲、乙两车沿相同的路线从$A$城出发匀速行驶至$B$城。在整个行驶过程中，甲、乙两车离$A$城的距离$s$(单位：km)与甲车行驶的时间$t$(单位：h)之间的关系如图所示，根据图象回答下列问题：
(1)甲车的速度是。
(2)乙车用了h到达$B$城。
(3)乙车出发后多长时间追上甲车？
(4)乙车出发后多长时间两车相距$50$km？

22. 解：(1)甲车的速度是 $ 300 ÷ 5 = 60 ( km / h ) $。
(2)乙车用了 $ 3 h $ 到达 $ B $ 城。
(3)乙车的速度为 $ 300 ÷ 3 = 100 ( km / h ) $。
设乙车出发后 $ x h $ 追上甲车。
由题意得 $ 100 x = 60 ( x + 1 ) $。
解得 $ x = 1.5 $。
所以乙车出发后 $ 1.5 h $ 追上甲车。
(4)设甲车出发后 $ y h $ 两车相距 $ 50 km $。
由题意得 $ 60 y = 50 $，或 $ 60 y - 100 ( y - 1 ) = 50 $，
或 $ 100 ( y - 1 ) - 60 y = 50 $，或 $ 60 y = 300 - 50 $。
解得 $ y = \dfrac { 5 } { 6 } $ 或 $ \dfrac { 5 } { 4 } $ 或 $ \dfrac { 15 } { 4 } $ 或 $ \dfrac { 25 } { 6 } $。
因为乙车比甲车晚出发 $ 1 h $，
所以 $ y = \dfrac { 5 } { 6 } $ 不合题意，
所以此时乙车行驶的时间为 $ \dfrac { 1 } { 4 } h $ 或 $ \dfrac { 11 } { 4 } h $ 或 $ \dfrac { 19 } { 6 } h $。
所以乙车出发 $ \dfrac { 1 } { 4 } h $ 或 $ \dfrac { 11 } { 4 } h $ 或 $ \dfrac { 19 } { 6 } h $ 后两车相距 $ 50 km $。

【分析】
本题结合s-t图像考查行程问题，需明确图像中横坐标t代表甲车行驶时间、纵坐标s代表两车离A城的距离。解题时利用“速度=路程÷时间”计算速度，再根据两车行驶的时间、路程关系列方程；对于两车相距50km的情况，需分阶段讨论两车位置，避免漏解。
【解析】
(1) 由图像可知，甲车行驶300km用时5h，根据速度公式：
甲车速度 = 总路程÷总时间 = $300 ÷ 5 = 60(km/h)$。
(2) 乙车在$t=1h$时出发，$t=4h$时到达B城，乙车行驶时间为：$4 - 1 = 3(h)$。
(3) 先求乙车速度：乙车行驶300km用时3h，速度 = $300 ÷ 3 = 100(km/h)$。
设乙车出发后$x h$追上甲车，此时甲车行驶时间为$(x+1)h$，两车路程相等，列方程：
$100x = 60(x + 1)$
解得：$x = 1.5$。
(4) 设甲车出发后$y h$两车相距50km，分情况讨论：
① $60y = 50$，解得$y=\frac{5}{6}$，此时乙车未出发，不符合“乙车出发后”的要求，舍去；
② $60y - 100(y - 1) = 50$，解得$y=\frac{5}{4}$，乙车行驶时间为$\frac{5}{4} -1 = \frac{1}{4}(h)$；
③ $100(y - 1) - 60y = 50$，解得$y=\frac{15}{4}$，乙车行驶时间为$\frac{15}{4} -1 = \frac{11}{4}(h)$；
④ $60y = 300 - 50$，解得$y=\frac{25}{6}$，乙车行驶时间为$\frac{25}{6} -1 = \frac{19}{6}(h)$。
综上，乙车出发后$\frac{1}{4}h$、$\frac{11}{4}h$、$\frac{19}{6}h$时两车相距50km。
【答案】
(1) $60\ km/h$；(2) $3$；(3) $1.5\ h$；(4) $\frac{1}{4}\ h$、$\frac{11}{4}\ h$、$\frac{19}{6}\ h$
【知识点】
一次函数应用、行程问题、s-t图像
【点评】
本题结合s-t图像考查行程问题，需理解图像的物理意义，利用路程、速度、时间的关系建立方程，第四问需分情况讨论两车相距的不同阶段，避免漏解，是一道综合性的基础应用题。
【难度系数】
0.5