10. （★★）如图，在四边形ABCD中，AB= AD，CB=CD，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE//CD交AC于点E.
(1) 求证：四边形 BCDE是菱形；
(2) 若 $ A B=\sqrt{1 0} $ ，E为AC的中点，当BC的长为_______时，四边形BCDE是正方形.

10. (1)$\because AB=AD,CB=CD,$
$\therefore AC$为$BD$的垂直平分线,即$AC⊥BD,OB=OD.$
$\because BE// CD,$
$\therefore ∠EBO=∠CDO.$
在$△ EOB$和$△ COD$中,
$\{\begin{array}{l} ∠EBO=∠CDO,\\ OB=OD,\\ ∠BOE=∠DOC,\end{array} $
$\therefore △ EOB≌ △ COD(ASA).$
$\therefore EO=CO.$
$\therefore$ 四边形$BCDE$为平行四边形.
$\because CB=CD,$
$\therefore □ BCDE$是菱形,即四边形$BCDE$是菱形.
(2)$\sqrt{2}$ 提示:设$OB=x.$
$\because$ 四边形$BCDE$是菱形,
$\therefore$ 当$OE=OB=x(x＞0)$时,四边形$BCDE$是正方形.
此时$BC=\sqrt{2}x.$
$\because E$为$AC$的中点,
$\therefore AE=CE=2x.$
$\therefore OA=3x.$
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,
$\because OB^{2}+OA^{2}=AB^{2},$
$\therefore x^{2}+(3x)^{2}=10.$
解得$x=1$(负值已舍去).
$\therefore BC=\sqrt{2}×1=\sqrt{2}.$

11. （★★）如图，在 $ \Box ABCD $中，下列结论错误的是 【 】 

A.当 AB=BC时，$ \Box ABCD $是菱形
B.当 OA=OB时，$ \Box ABCD $是矩形
C.当 AC 平分 $ ∠ B A D $时， $ \Box A B C D $是菱形
 
D.当AC=BD时， $ \Box A B C D $是正方形

11. D

 12. （★★）如图，在 $ \Box ABCD $中，对角线 AC与 BD相交于点 O. 小乐同学欲添加两个条件使得四边形 ABCD是正方形，现有三个条件可供选择： $ \textcircled{1} $ AC $ \bot $ BD； $ \textcircled{2} $ AC=BD； $ \textcircled{3} $ $ ∠ ADC= 90° $ . 则正确的组合可以是_______（填序号）.

12. ①②或①③

 13. （★★）如图，已知菱形 ABCD，E，F是对角线 BD所在直线上的两点，且 $ ∠ A E D= 4 5°, D F=B E=3 $ ，连接 CE，AF，CF，得四边形 AECF.
(1) 求证：四边形 AECF是正方形；
(2) 若 BD=4，则菱形 ABCD的面积为 ___.

13. (1)如图,连接$AC$,交$BD$于点$O.$

$\because$ 四边形$ABCD$为菱形,
$\therefore AO=CO,BO=DO,AC⊥BD.$
$\because BE=DF,$
$\therefore BE+BO=DF+DO$,即$FO=EO.$
$\therefore$ 四边形$AECF$是平行四边形.
$\because AC⊥EF,$
$\therefore$ 四边形$AECF$是菱形.
$\therefore AF=AE.$
$\therefore ∠AFE=∠AED=45°.$
$\therefore ∠EAF=90°.$
$\therefore$ 菱形$AECF$为正方形,即四边形$AECF$是正方形.
(2)20