登录
7. 顺次连接四边形各边中点所得的四边形是
平行四边形
。答案
7. 平行四边形
解析
【分析】
要判断顺次连接四边形各边中点所得四边形的形状，我们可以通过构造辅助线转化为三角形问题分析：首先连接原四边形的一条对角线，此时各边中点的连线就成为对应三角形的中位线，利用三角形中位线定理得到新四边形对边的位置和数量关系，再结合平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
设任意四边形ABCD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC。
在△ABC中，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：EF//AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC。
同理，在△ADC中，
∵G是CD的中点，H是AD的中点，
∴HG是△ADC的中位线，可得：HG//AC，且HG=$\frac{1}{2}$AC。
∴EF//HG，且EF=HG，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形EFGH是平行四边形。
【答案】
平行四边形
【知识点】
1.三角形中位线定理 2.平行四边形的判定
【点评】
本题是中点四边形的基础题型，解题关键是通过连接对角线将四边形问题转化为三角形中位线的问题，体现了转化的数学思想，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要判断顺次连接四边形各边中点所得四边形的形状，我们可以通过构造辅助线转化为三角形问题分析：首先连接原四边形的一条对角线，此时各边中点的连线就成为对应三角形的中位线，利用三角形中位线定理得到新四边形对边的位置和数量关系，再结合平行四边形的判定定理即可得出结论。
【解析】
设任意四边形ABCD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，连接AC。
在△ABC中，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得：EF//AC，且EF=$\frac{1}{2}$AC。
同理，在△ADC中，
∵G是CD的中点，H是AD的中点，
∴HG是△ADC的中位线，可得：HG//AC，且HG=$\frac{1}{2}$AC。
∴EF//HG，且EF=HG，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形EFGH是平行四边形。
【答案】
平行四边形
【知识点】
1.三角形中位线定理 2.平行四边形的判定
【点评】
本题是中点四边形的基础题型，解题关键是通过连接对角线将四边形问题转化为三角形中位线的问题，体现了转化的数学思想，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8. 在$△ ABC$中，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，若$△ ABC$的周长为36 cm，面积为54 cm²，则$△ DEF$的周长为
18 cm
，面积为13.5 cm²
。答案
8. 18 cm 13.5 cm²
解析
【分析】
看到题目中给出三角形三边的中点，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。由此可先推导△DEF的各边与△ABC各边的长度关系，进而算出△DEF的周长；再根据中位线的平行关系可判断△DEF与△ABC相似，相似比为1:2，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△DEF的面积。
【解析】
解：
∵D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，
∴DE、EF、FD均是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$FD=\frac{1}{2}BC$，
∴△DEF的周长$=DE+EF+FD=\frac{1}{2}(AC+AB+BC)$，
已知△ABC的周长为36 cm，
∴△DEF的周长$=\frac{1}{2}×36=18\ \mathrm{cm}$；
∵中位线平行于第三边，可得△DEF与△ABC的三组对应角分别相等，
∴$△ DEF ∽ △ CAB$，相似比为$\frac{1}{2}$，
根据相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
已知△ABC的面积为$54\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ DEF}=54×\frac{1}{4}=13.5\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
18 cm；13.5 cm²
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查三角形中位线定理和相似三角形性质的综合应用，掌握中点连线构成的三角形与原三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键。
【难度系数】
0.8
看到题目中给出三角形三边的中点，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。由此可先推导△DEF的各边与△ABC各边的长度关系，进而算出△DEF的周长；再根据中位线的平行关系可判断△DEF与△ABC相似，相似比为1:2，结合相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出△DEF的面积。
【解析】
解：
∵D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，
∴DE、EF、FD均是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：
$DE=\frac{1}{2}AC$，$EF=\frac{1}{2}AB$，$FD=\frac{1}{2}BC$，
∴△DEF的周长$=DE+EF+FD=\frac{1}{2}(AC+AB+BC)$，
已知△ABC的周长为36 cm，
∴△DEF的周长$=\frac{1}{2}×36=18\ \mathrm{cm}$；
∵中位线平行于第三边，可得△DEF与△ABC的三组对应角分别相等，
∴$△ DEF ∽ △ CAB$，相似比为$\frac{1}{2}$，
根据相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方，
∴$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ ABC}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$，
已知△ABC的面积为$54\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△ DEF}=54×\frac{1}{4}=13.5\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
18 cm；13.5 cm²
【知识点】
三角形中位线定理；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查三角形中位线定理和相似三角形性质的综合应用，掌握中点连线构成的三角形与原三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键。
【难度系数】
0.8
9. 梯形的上、下底的长分别是16 cm，23 cm，一腰长为20 cm，另一腰长为x cm，则x的取值范围为
13＜x＜27
。答案
9.13＜x＜27
解析
【分析】
解决梯形中腰长取值范围的问题，核心思路是通过平移腰的辅助线作法，将梯形转化为熟悉的平行四边形和三角形，把两条腰、上下底的差整合到同一个三角形中，再利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”计算未知腰长的范围。具体步骤：先计算梯形上下底的长度差，再平移已知腰得到含未知腰的三角形，最后代入三边关系列式求解即可。
【解析】
解：过梯形上底的一个端点作长为20cm的腰的平行线，与下底相交，可将梯形分为1个平行四边形和1个三角形。
根据平行四边形对边相等的性质，所得三角形的两条边分别为20cm、上下底的差：$23-16=7\mathrm{cm}$，三角形的第三条边就是未知腰长$x\mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系：两边之差$＜$第三边$＜$两边之和，可得：
$20-7 ＜ x ＜ 20+7$
计算得：$13 ＜ x ＜ 27$
【答案】
$13＜x＜27$
【知识点】
梯形辅助线作法，三角形三边关系，平行四边形的性质
【点评】
本题是梯形边长求解的典型题型，解题关键是运用转化思想，将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题处理，能有效考查学生的图形转化能力和对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
解决梯形中腰长取值范围的问题，核心思路是通过平移腰的辅助线作法，将梯形转化为熟悉的平行四边形和三角形，把两条腰、上下底的差整合到同一个三角形中，再利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”计算未知腰长的范围。具体步骤：先计算梯形上下底的长度差，再平移已知腰得到含未知腰的三角形，最后代入三边关系列式求解即可。
【解析】
解：过梯形上底的一个端点作长为20cm的腰的平行线，与下底相交，可将梯形分为1个平行四边形和1个三角形。
根据平行四边形对边相等的性质，所得三角形的两条边分别为20cm、上下底的差：$23-16=7\mathrm{cm}$，三角形的第三条边就是未知腰长$x\mathrm{cm}$。
根据三角形三边关系：两边之差$＜$第三边$＜$两边之和，可得：
$20-7 ＜ x ＜ 20+7$
计算得：$13 ＜ x ＜ 27$
【答案】
$13＜x＜27$
【知识点】
梯形辅助线作法，三角形三边关系，平行四边形的性质
【点评】
本题是梯形边长求解的典型题型，解题关键是运用转化思想，将梯形问题转化为三角形和平行四边形的问题处理，能有效考查学生的图形转化能力和对基础几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10. 如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE. 证明：DF=DC.
10. 如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE. 证明：DF=DC.
答案
10. 证明：$\because DF⊥ AE$于点F，$\therefore ∠ DFE=90°$. 在矩形ABCD中，$∠ C=90°$，$\therefore ∠ DFE=∠ C$.
在矩形ABCD中，$AD// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ DEC$，又$AE=AD$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，$\therefore ∠ AED=∠ DEC$. 又$\because ∠ DFE=∠ C=90°$，DE是公共边，$\therefore △ DFE≌△ DCE$（AAS），$\therefore DF=DC$.
在矩形ABCD中，$AD// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ DEC$，又$AE=AD$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，$\therefore ∠ AED=∠ DEC$. 又$\because ∠ DFE=∠ C=90°$，DE是公共边，$\therefore △ DFE≌△ DCE$（AAS），$\therefore DF=DC$.
解析
【分析】
要证明两条线段相等，通常可通过证明线段所在的三角形全等实现。观察待证的DF和DC，分别属于△DFE和△DCE，我们逐步推导全等所需条件：首先结合DF⊥AE和矩形的性质，可得∠DFE=∠C=90°；再由AE=AD可得等腰△ADE中∠ADE=∠AED，结合矩形AD//BC的性质，可得内错角∠ADE=∠DEC，进而推出∠AED=∠DEC；最后两个三角形有公共边DE，即可通过AAS判定△DFE≌△DCE，由全等对应边相等即可得证。
【解析】
证明：
$\because DF⊥ AE$于点F，$\therefore ∠ DFE=90°$。
在矩形ABCD中，$∠ C=90°$，$\therefore ∠ DFE=∠ C$。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ DEC$。
又$\because AE=AD$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，$\therefore ∠ AED=∠ DEC$。
在$△ DFE$和$△ DCE$中：
$\begin{cases}∠ DFE=∠ C \\∠ AED=∠ DEC \\DE=DE\end{cases}$
$\therefore △ DFE≌△ DCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF=DC$。
【答案】
$DF=DC$，原命题得证。
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合考查了常见几何图形的性质，解题的关键是通过角的等量代换得到全等三角形的判定条件，熟练掌握各类几何图形的基本性质可以快速梳理出证明思路。
【难度系数】
0.8
要证明两条线段相等，通常可通过证明线段所在的三角形全等实现。观察待证的DF和DC，分别属于△DFE和△DCE，我们逐步推导全等所需条件：首先结合DF⊥AE和矩形的性质，可得∠DFE=∠C=90°；再由AE=AD可得等腰△ADE中∠ADE=∠AED，结合矩形AD//BC的性质，可得内错角∠ADE=∠DEC，进而推出∠AED=∠DEC；最后两个三角形有公共边DE，即可通过AAS判定△DFE≌△DCE，由全等对应边相等即可得证。
【解析】
证明：
$\because DF⊥ AE$于点F，$\therefore ∠ DFE=90°$。
在矩形ABCD中，$∠ C=90°$，$\therefore ∠ DFE=∠ C$。
$\because$ 四边形ABCD是矩形，$\therefore AD// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ DEC$。
又$\because AE=AD$，$\therefore ∠ ADE=∠ AED$，$\therefore ∠ AED=∠ DEC$。
在$△ DFE$和$△ DCE$中：
$\begin{cases}∠ DFE=∠ C \\∠ AED=∠ DEC \\DE=DE\end{cases}$
$\therefore △ DFE≌△ DCE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore DF=DC$。
【答案】
$DF=DC$，原命题得证。
【知识点】
矩形的性质；等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于几何基础证明题，综合考查了常见几何图形的性质，解题的关键是通过角的等量代换得到全等三角形的判定条件，熟练掌握各类几何图形的基本性质可以快速梳理出证明思路。
【难度系数】
0.8
11. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，BE的延长线与CD的延长线相交于点F.
（1）求证：$△ ABE ≌ △ DFE$；
（2）试连接BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论.
（1）求证：$△ ABE ≌ △ DFE$；
（2）试连接BD，AF，判断四边形ABDF的形状，并证明你的结论.
答案
11. 证明：（1）$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，$\therefore AB// FC$. $\therefore ∠ ABE=∠ DFE$，$∠ EAB=∠ EDF$. $\because E$是AD的中点，$\therefore AE=DE$. $\therefore △ ABE≌△ DFE$. （2）四边形ABDF是平行四边形. $\because △ ABE≌△ DFE$，$\therefore AB=DF$. 又$\because AB// FD$，$\therefore$ 四边形ABDF是平行四边形.
解析
【分析】
（1）要证明△ABE≌△DFE，首先利用平行四边形对边平行的性质，得到AB//CF，进而推出两组内错角相等；再结合E是AD中点的条件得到AE=DE，即可通过AAS判定定理证明两三角形全等。
（2）判断四边形ABDF的形状时，可借助（1）的全等结论得到AB=DF，结合已知AB//DF的条件，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可判定其形状。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//FC，
∴ ∠ABE=∠DFE，∠EAB=∠EDF。
∵ E是AD的中点，
∴ AE=DE。
在△ABE和△DFE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠DFE \\∠EAB=∠EDF \\AE=DE\end{array} $
∴ △ABE≌△DFE（AAS）。
（2）四边形ABDF是平行四边形，证明如下：
∵ △ABE≌△DFE，
∴ AB=DF。
又
∵ AB//FD，
∴ 四边形ABDF是平行四边形。
【答案】
（1）△ABE≌△DFE，得证；
（2）四边形ABDF是平行四边形，得证。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形判定与平行四边形的性质、判定结合考察，解题时紧扣已知条件，结合图形性质逐步推导即可，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
（1）要证明△ABE≌△DFE，首先利用平行四边形对边平行的性质，得到AB//CF，进而推出两组内错角相等；再结合E是AD中点的条件得到AE=DE，即可通过AAS判定定理证明两三角形全等。
（2）判断四边形ABDF的形状时，可借助（1）的全等结论得到AB=DF，结合已知AB//DF的条件，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可判定其形状。
【解析】
（1）证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//FC，
∴ ∠ABE=∠DFE，∠EAB=∠EDF。
∵ E是AD的中点，
∴ AE=DE。
在△ABE和△DFE中，
$\{\begin{array}{l}∠ABE=∠DFE \\∠EAB=∠EDF \\AE=DE\end{array} $
∴ △ABE≌△DFE（AAS）。
（2）四边形ABDF是平行四边形，证明如下：
∵ △ABE≌△DFE，
∴ AB=DF。
又
∵ AB//FD，
∴ 四边形ABDF是平行四边形。
【答案】
（1）△ABE≌△DFE，得证；
（2）四边形ABDF是平行四边形，得证。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行四边形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，将全等三角形判定与平行四边形的性质、判定结合考察，解题时紧扣已知条件，结合图形性质逐步推导即可，是对基础知识点掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.8
12. 在四边形ABCD中，AD//BC，且AD＞BC，BC=6 cm，P，Q分别从A，C同时出发，P以1 cm/s的速度由A向D运动，Q以2 cm/s的速度由C出发向B运动，几秒后四边形ABQP是平行四边形？
答案
12. 解：设t s后，四边形APQB为平行四边形，则$AP=t$，$QC=2t$，$BQ=6-2t$. 因为$AD// BC$，所以$AP// BQ$，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知：$AP=BQ$，即$t=6-2t$，解得$t=2$，当$t=2$时，$AP=BQ=2＜BC＜AD$，符合条件. 综上所述，2 s后四边形ABQP是平行四边形.
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。本题中已知$AD// BC$，因此AP（在AD上）天然平行于BQ（在BC上），要使四边形ABQP是平行四边形，仅需满足$AP=BQ$即可。接下来我们设运动时间为t秒，结合P、Q的运动速度，用含t的代数式分别表示出AP和BQ的长度，再根据$AP=BQ$列方程求解，最后验证结果符合题中$AD＞BC$的限制条件即可。
【解析】
解：设t s后，四边形ABQP为平行四边形。
根据P、Q的运动速度可得：$AP=1× t=t$，$QC=2× t=2t$，因此$BQ=BC-QC=6-2t$。
因为$AD// BC$，所以$AP// BQ$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，要使四边形ABQP为平行四边形，需满足$AP=BQ$，即：
$t=6-2t$
移项合并得$3t=6$，解得$t=2$。
验证：当$t=2$时，$AP=BQ=2\ \mathrm{cm}＜BC=6\ \mathrm{cm}＜AD$，符合题目的前提条件。
综上，2 s后四边形ABQP是平行四边形。
【答案】
2 s
【知识点】
平行四边形的判定、一元一次方程的应用、动点问题求解
【点评】
本题是几何动点与代数方程结合的基础题型，解题核心是抓住平行四边形的判定条件，将动点的运动路程转化为对应线段的长度，建立等量关系列方程求解，注意最后要检验结果是否符合题目的限定要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。本题中已知$AD// BC$，因此AP（在AD上）天然平行于BQ（在BC上），要使四边形ABQP是平行四边形，仅需满足$AP=BQ$即可。接下来我们设运动时间为t秒，结合P、Q的运动速度，用含t的代数式分别表示出AP和BQ的长度，再根据$AP=BQ$列方程求解，最后验证结果符合题中$AD＞BC$的限制条件即可。
【解析】
解：设t s后，四边形ABQP为平行四边形。
根据P、Q的运动速度可得：$AP=1× t=t$，$QC=2× t=2t$，因此$BQ=BC-QC=6-2t$。
因为$AD// BC$，所以$AP// BQ$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，要使四边形ABQP为平行四边形，需满足$AP=BQ$，即：
$t=6-2t$
移项合并得$3t=6$，解得$t=2$。
验证：当$t=2$时，$AP=BQ=2\ \mathrm{cm}＜BC=6\ \mathrm{cm}＜AD$，符合题目的前提条件。
综上，2 s后四边形ABQP是平行四边形。
【答案】
2 s
【知识点】
平行四边形的判定、一元一次方程的应用、动点问题求解
【点评】
本题是几何动点与代数方程结合的基础题型，解题核心是抓住平行四边形的判定条件，将动点的运动路程转化为对应线段的长度，建立等量关系列方程求解，注意最后要检验结果是否符合题目的限定要求。
【难度系数】
0.7
