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1. 按照从小到大的顺序，在50以内的数中找出6的倍数，9的倍数和它们的公倍数，并用“□”框出最小公倍数。
答案
6，12，24，
30，42，48
$\boxed{18}$，
36
9，27，45
30，42，48
$\boxed{18}$，
36
9，27，45
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照以下思路进行：
1. 明确倍数的定义：一个数的倍数是这个数与正整数的乘积，我们可以用列举法，分别计算6和9与1、2、3……的乘积，找出50以内的结果，得到各自的倍数。
2. 公倍数是同时是6和9的倍数的数，所以从刚才找出的两组倍数中，筛选出重复出现的数，就是它们的公倍数。
3. 在公倍数中找出最小的那个数，就是6和9的最小公倍数，用“□”框出。
【解析】
1. 找50以内6的倍数：
依次计算6×1=6，6×2=12，6×3=18，6×4=24，6×5=30，6×6=36，6×7=42，6×8=48，6×9=54（超过50，停止），所以50以内6的倍数为：6，12，18，24，30，36，42，48。
2. 找50以内9的倍数：
依次计算9×1=9，9×2=18，9×3=27，9×4=36，9×5=45，9×6=54（超过50，停止），所以50以内9的倍数为：9，18，27，36，45。
3. 筛选公倍数：对比两组倍数，重复出现的数是18、36，这就是6和9的公倍数，其中最小的是18，用“□”框出。
4. 对应韦恩图填写：
左侧“6的倍数”椭圆（不含交集）：6，12，24，30，42，48
中间交集“6和9的公倍数”：$\boxed{18}$，36
右侧“9的倍数”椭圆（不含交集）：9，27，45
【答案】
6，12，24，30，42，48
$\boxed{18}$，36
9，27，45
【知识点】
倍数的概念，公倍数与最小公倍数
【点评】
本题通过列举法考查倍数、公倍数和最小公倍数的相关知识，需要熟练掌握找一个数倍数的方法，通过有序列举避免遗漏，同时理解公倍数是两个数倍数的公共部分，最小公倍数是公倍数中最小的数，有助于夯实数论的基础概念。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以按照以下思路进行：
1. 明确倍数的定义：一个数的倍数是这个数与正整数的乘积，我们可以用列举法，分别计算6和9与1、2、3……的乘积，找出50以内的结果，得到各自的倍数。
2. 公倍数是同时是6和9的倍数的数，所以从刚才找出的两组倍数中，筛选出重复出现的数，就是它们的公倍数。
3. 在公倍数中找出最小的那个数，就是6和9的最小公倍数，用“□”框出。
【解析】
1. 找50以内6的倍数：
依次计算6×1=6，6×2=12，6×3=18，6×4=24，6×5=30，6×6=36，6×7=42，6×8=48，6×9=54（超过50，停止），所以50以内6的倍数为：6，12，18，24，30，36，42，48。
2. 找50以内9的倍数：
依次计算9×1=9，9×2=18，9×3=27，9×4=36，9×5=45，9×6=54（超过50，停止），所以50以内9的倍数为：9，18，27，36，45。
3. 筛选公倍数：对比两组倍数，重复出现的数是18、36，这就是6和9的公倍数，其中最小的是18，用“□”框出。
4. 对应韦恩图填写：
左侧“6的倍数”椭圆（不含交集）：6，12，24，30，42，48
中间交集“6和9的公倍数”：$\boxed{18}$，36
右侧“9的倍数”椭圆（不含交集）：9，27，45
【答案】
6，12，24，30，42，48
$\boxed{18}$，36
9，27，45
【知识点】
倍数的概念，公倍数与最小公倍数
【点评】
本题通过列举法考查倍数、公倍数和最小公倍数的相关知识，需要熟练掌握找一个数倍数的方法，通过有序列举避免遗漏，同时理解公倍数是两个数倍数的公共部分，最小公倍数是公倍数中最小的数，有助于夯实数论的基础概念。
【难度系数】
0.8
2. 在括号里写出下面每组数的最小公倍数。
26和13(
45和60(
26和13(
26
) 12和18(36
) 20和30(60
)45和60(
180
) 15和30(30
) 1和14(14
)答案
26
36
60
180
30
14
36
60
180
30
14
解析
【分析】
要解决这组求最小公倍数的题目，我们可以根据每组数的关系选择合适的方法：
1. 若两个数是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数；
2. 若两个数是互质关系（公因数只有1），它们的乘积就是最小公倍数；
3. 若两个数既不是倍数关系也不是互质关系，可通过分解质因数或短除法，将公有的质因数和各自独有的质因数相乘得到最小公倍数。
接下来逐个分析每组数：
26和13：26是13的2倍，属于倍数关系；
12和18：既不是倍数也不是互质，用分解质因数法求解；
20和30：属于一般关系，用分解质因数法求解；
45和60：属于一般关系，用分解质因数法求解；
15和30：30是15的2倍，属于倍数关系；
1和14：公因数只有1，属于互质关系。
【解析】
1. 26和13：
因为26是13的倍数，根据“两个数成倍数关系时，较大数为最小公倍数”，所以最小公倍数是26。
2. 12和18：
分解质因数：$12=2×2×3$，$18=2×3×3$，
最小公倍数为公有质因数与各自独有质因数的乘积：$2×3×2×3=36$。
3. 20和30：
分解质因数：$20=2×2×5$，$30=2×3×5$，
最小公倍数为$2×5×2×3=60$。
4. 45和60：
分解质因数：$45=3×3×5$，$60=2×2×3×5$，
最小公倍数为$3×5×3×2×2=180$。
5. 15和30：
30是15的倍数，所以最小公倍数是30。
6. 1和14：
1和14是互质数，互质数的最小公倍数是它们的乘积，即$1×14=14$。
【答案】
26；36；60；180；30；14
【知识点】
最小公倍数的求法；倍数关系的数；互质关系的数
【点评】
本题考查不同数量关系下最小公倍数的计算，涵盖了倍数关系、互质关系和一般关系三种常见情况，需要学生熟练掌握对应的求解方法，通过分解质因数或利用数的特性快速得出结果，是对公倍数知识点的基础巩固练习。
【难度系数】
0.8
要解决这组求最小公倍数的题目，我们可以根据每组数的关系选择合适的方法：
1. 若两个数是倍数关系，较大数就是它们的最小公倍数；
2. 若两个数是互质关系（公因数只有1），它们的乘积就是最小公倍数；
3. 若两个数既不是倍数关系也不是互质关系，可通过分解质因数或短除法，将公有的质因数和各自独有的质因数相乘得到最小公倍数。
接下来逐个分析每组数：
26和13：26是13的2倍，属于倍数关系；
12和18：既不是倍数也不是互质，用分解质因数法求解；
20和30：属于一般关系，用分解质因数法求解；
45和60：属于一般关系，用分解质因数法求解；
15和30：30是15的2倍，属于倍数关系；
1和14：公因数只有1，属于互质关系。
【解析】
1. 26和13：
因为26是13的倍数，根据“两个数成倍数关系时，较大数为最小公倍数”，所以最小公倍数是26。
2. 12和18：
分解质因数：$12=2×2×3$，$18=2×3×3$，
最小公倍数为公有质因数与各自独有质因数的乘积：$2×3×2×3=36$。
3. 20和30：
分解质因数：$20=2×2×5$，$30=2×3×5$，
最小公倍数为$2×5×2×3=60$。
4. 45和60：
分解质因数：$45=3×3×5$，$60=2×2×3×5$，
最小公倍数为$3×5×3×2×2=180$。
5. 15和30：
30是15的倍数，所以最小公倍数是30。
6. 1和14：
1和14是互质数，互质数的最小公倍数是它们的乘积，即$1×14=14$。
【答案】
26；36；60；180；30；14
【知识点】
最小公倍数的求法；倍数关系的数；互质关系的数
【点评】
本题考查不同数量关系下最小公倍数的计算，涵盖了倍数关系、互质关系和一般关系三种常见情况，需要学生熟练掌握对应的求解方法，通过分解质因数或利用数的特性快速得出结果，是对公倍数知识点的基础巩固练习。
【难度系数】
0.8
3. 在括号里写出下面每组数的最小公倍数，并说一说你的发现。
(1)8和9(
我发现：当两个数的最大公因数是1时，这两个数的最小公倍数是(
(2)12和24(
我发现：当两个数成倍数关系时，这两个数的最小公倍数是(
(3)根据你的发现，快速写出下面每组数的最小公倍数。
3和7(
(1)8和9(
72
) 7和10(70
) 11和3(33
) 5和9(45
)我发现：当两个数的最大公因数是1时，这两个数的最小公倍数是(
它们的乘积
)。(2)12和24(
24
) 36和108(108
) 5和15(15
) 13和39(39
)我发现：当两个数成倍数关系时，这两个数的最小公倍数是(
较大数
)。(3)根据你的发现，快速写出下面每组数的最小公倍数。
3和7(
21
) 4和16(16
) 8和1(8
) 6和18(18
)答案
72
70
33
45
它们的乘积
24
108
15
39
较大数
21
16
8
18
70
33
45
它们的乘积
24
108
15
39
较大数
21
16
8
18
解析
【分析】
我们可以分三步思考：
1. 先看第一组的数，观察发现每组数的最大公因数都是1（即互质数），对于互质数，它们的最小公倍数就是两数的乘积，直接计算每组数的乘积就能得到最小公倍数，进而总结出对应规律。
2. 再看第二组的数，每组中较大数都是较小数的倍数，这种情况下，较大数本身就是两个数的最小公倍数，直接取较大数即可，总结出相应规律。
3. 第三组运用前面总结的规律快速计算：先判断每组数是互质关系还是倍数关系，再分别用对应的方法求出最小公倍数。
【解析】
(1) 计算每组数的最小公倍数：
8和9：8和9的最大公因数是1（互质），最小公倍数为 $8×9=72$；
7和10：7和10互质，最小公倍数为 $7×10=70$；
11和3：11和3互质，最小公倍数为 $11×3=33$；
5和9：5和9互质，最小公倍数为 $5×9=45$；
发现：当两个数的最大公因数是1时，这两个数的最小公倍数是它们的乘积。
(2) 计算每组数的最小公倍数：
12和24：24是12的倍数，最小公倍数为较大数24；
36和108：108是36的倍数，最小公倍数为较大数108；
5和15：15是5的倍数，最小公倍数为较大数15；
13和39：39是13的倍数，最小公倍数为较大数39；
发现：当两个数成倍数关系时，这两个数的最小公倍数是较大数。
(3) 运用规律计算：
3和7互质，最小公倍数为 $3×7=21$；
4和16成倍数关系，最小公倍数为16；
8和1互质，最小公倍数为 $8×1=8$；
6和18成倍数关系，最小公倍数为18。
【答案】
72；70；33；45；它们的乘积
24；108；15；39；较大数
21；16；8；18
【知识点】
互质数的最小公倍数、倍数关系数的最小公倍数
【点评】
本题通过三组不同类型的数引导学生探究最小公倍数的特殊规律，帮助学生快速掌握互质关系和倍数关系的两个数的最小公倍数求法，既巩固了最小公倍数的概念，又提升了学生的归纳总结能力和解题效率。
【难度系数】
0.8
我们可以分三步思考：
1. 先看第一组的数，观察发现每组数的最大公因数都是1（即互质数），对于互质数，它们的最小公倍数就是两数的乘积，直接计算每组数的乘积就能得到最小公倍数，进而总结出对应规律。
2. 再看第二组的数，每组中较大数都是较小数的倍数，这种情况下，较大数本身就是两个数的最小公倍数，直接取较大数即可，总结出相应规律。
3. 第三组运用前面总结的规律快速计算：先判断每组数是互质关系还是倍数关系，再分别用对应的方法求出最小公倍数。
【解析】
(1) 计算每组数的最小公倍数：
8和9：8和9的最大公因数是1（互质），最小公倍数为 $8×9=72$；
7和10：7和10互质，最小公倍数为 $7×10=70$；
11和3：11和3互质，最小公倍数为 $11×3=33$；
5和9：5和9互质，最小公倍数为 $5×9=45$；
发现：当两个数的最大公因数是1时，这两个数的最小公倍数是它们的乘积。
(2) 计算每组数的最小公倍数：
12和24：24是12的倍数，最小公倍数为较大数24；
36和108：108是36的倍数，最小公倍数为较大数108；
5和15：15是5的倍数，最小公倍数为较大数15；
13和39：39是13的倍数，最小公倍数为较大数39；
发现：当两个数成倍数关系时，这两个数的最小公倍数是较大数。
(3) 运用规律计算：
3和7互质，最小公倍数为 $3×7=21$；
4和16成倍数关系，最小公倍数为16；
8和1互质，最小公倍数为 $8×1=8$；
6和18成倍数关系，最小公倍数为18。
【答案】
72；70；33；45；它们的乘积
24；108；15；39；较大数
21；16；8；18
【知识点】
互质数的最小公倍数、倍数关系数的最小公倍数
【点评】
本题通过三组不同类型的数引导学生探究最小公倍数的特殊规律，帮助学生快速掌握互质关系和倍数关系的两个数的最小公倍数求法，既巩固了最小公倍数的概念，又提升了学生的归纳总结能力和解题效率。
【难度系数】
0.8
4. 两根一样长的木材，把其中一根锯成10dm长的小段，另一根锯成18dm长的小段，两根木材都正好用完。锯得的两种不同规格的小段至少共有多少段?
答案
10和18的最小公倍数是90，木材至少长90 dm
90÷10+90÷18=14(段)
答:锯得的两种不同规格的小段至少共有14段。
90÷10+90÷18=14(段)
答:锯得的两种不同规格的小段至少共有14段。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确：两根木材长度相同，且分别锯成10dm、18dm的小段都正好用完，说明木材的长度是10和18的公倍数。要求两种规格的小段至少共有多少段，就需要先找到10和18的最小公倍数（因为木材长度越短，总段数越少），再分别计算两根木材各自能锯成的段数，最后将段数相加即可得到总段数。
【解析】
1. 求10和18的最小公倍数：
分解质因数可得，10=2×5，18=2×3×3，
所以10和18的最小公倍数为2×3×3×5=90，即木材至少长90dm。
2. 计算每根木材锯成的段数：
第一根木材锯成10dm小段的段数：90÷10=9（段）
第二根木材锯成18dm小段的段数：90÷18=5（段）
3. 计算总段数：9+5=14（段）
【答案】
14段
【知识点】
最小公倍数的应用、整数除法运算
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题核心是抓住“木材长度是10和18的公倍数”这一关键信息，通过求最小公倍数确定木材的最短长度，进而计算总段数，锻炼学生将数学概念转化为实际问题解决方案的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确：两根木材长度相同，且分别锯成10dm、18dm的小段都正好用完，说明木材的长度是10和18的公倍数。要求两种规格的小段至少共有多少段，就需要先找到10和18的最小公倍数（因为木材长度越短，总段数越少），再分别计算两根木材各自能锯成的段数，最后将段数相加即可得到总段数。
【解析】
1. 求10和18的最小公倍数：
分解质因数可得，10=2×5，18=2×3×3，
所以10和18的最小公倍数为2×3×3×5=90，即木材至少长90dm。
2. 计算每根木材锯成的段数：
第一根木材锯成10dm小段的段数：90÷10=9（段）
第二根木材锯成18dm小段的段数：90÷18=5（段）
3. 计算总段数：9+5=14（段）
【答案】
14段
【知识点】
最小公倍数的应用、整数除法运算
【点评】
本题考查最小公倍数在实际生活中的应用，解题核心是抓住“木材长度是10和18的公倍数”这一关键信息，通过求最小公倍数确定木材的最短长度，进而计算总段数，锻炼学生将数学概念转化为实际问题解决方案的能力。
【难度系数】
0.6
5. 【提优挑战】48可能是哪两个数的最小公倍数? 你能找出几组?
答案
最小公倍数是48的两个数可以是：(1,48),(2,48),(3,48),(4,48),(6,48),(8,48),(12,48),(16,48),(24,48)，共9组；
还可以是(3,16),(12,16),(16,24),(6,16)，共4组。
答：综上，共能找出13组。
还可以是(3,16),(12,16),(16,24),(6,16)，共4组。
答：综上，共能找出13组。
解析
【分析】
要找出最小公倍数是48的两个数，可分两类思考：
1. 若两个数是倍数关系：当较大数为48时，较小数只要是48的因数即可，因为倍数关系的两个数，最小公倍数是较大数。先找出48的所有因数，再和48配对（排除重复的相同数）。
2. 若两个数非倍数关系：先将48分解质因数为$48=2^4×3^1$，这两个数的质因数只能是2和3，且它们的质因数最高次幂的乘积需为48，通过分析质因数的组合，找出满足条件的数对。最后将两类数对的数量相加得到总组数。
【解析】
步骤1：找出48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
步骤2：第一类（倍数关系）：以48为较大数，搭配其因数（除48外），得到数对：$(1,48),(2,48),(3,48),(4,48),(6,48),(8,48),(12,48),(16,48),(24,48)$，共9组。
步骤3：第二类（非倍数关系）：通过质因数组合分析，找出最小公倍数为48的数对：$(3,16),(12,16),(16,24),(6,16)$，共4组。
步骤4：计算总组数：$9+4=13$组。
【答案】
共能找出13组，分别是$(1,48),(2,48),(3,48),(4,48),(6,48),(8,48),(12,48),(16,48),(24,48),(3,16),(12,16),(16,24),(6,16)$。
【知识点】
最小公倍数判定、因数应用、质因数分解
【点评】
本题考查对最小公倍数概念的灵活运用，需通过分类讨论避免遗漏。既考查倍数关系下最小公倍数的特征，又要求学生能利用质因数分解分析非倍数关系的数对，培养全面思考的能力。
【难度系数】
0.3
要找出最小公倍数是48的两个数，可分两类思考：
1. 若两个数是倍数关系：当较大数为48时，较小数只要是48的因数即可，因为倍数关系的两个数，最小公倍数是较大数。先找出48的所有因数，再和48配对（排除重复的相同数）。
2. 若两个数非倍数关系：先将48分解质因数为$48=2^4×3^1$，这两个数的质因数只能是2和3，且它们的质因数最高次幂的乘积需为48，通过分析质因数的组合，找出满足条件的数对。最后将两类数对的数量相加得到总组数。
【解析】
步骤1：找出48的所有因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48。
步骤2：第一类（倍数关系）：以48为较大数，搭配其因数（除48外），得到数对：$(1,48),(2,48),(3,48),(4,48),(6,48),(8,48),(12,48),(16,48),(24,48)$，共9组。
步骤3：第二类（非倍数关系）：通过质因数组合分析，找出最小公倍数为48的数对：$(3,16),(12,16),(16,24),(6,16)$，共4组。
步骤4：计算总组数：$9+4=13$组。
【答案】
共能找出13组，分别是$(1,48),(2,48),(3,48),(4,48),(6,48),(8,48),(12,48),(16,48),(24,48),(3,16),(12,16),(16,24),(6,16)$。
【知识点】
最小公倍数判定、因数应用、质因数分解
【点评】
本题考查对最小公倍数概念的灵活运用，需通过分类讨论避免遗漏。既考查倍数关系下最小公倍数的特征，又要求学生能利用质因数分解分析非倍数关系的数对，培养全面思考的能力。
【难度系数】
0.3
