题组 勾股定理的逆定理在实际问题中的应用

解：根据题意，计算两艘轮船航行的距离：
“远航”号航行的距离：$16×1.5=24$（海里）
“海天”号航行的距离：$12×1.5=18$（海里）
设港口为点$P$，“远航”号到达点$Q$，“海天”号到达点$R$，则$PQ=24$海里，$PR=18$海里，$QR=30$海里。
$\because 24^2+18^2=576+324=900$，$30^2=900$
$\therefore PQ^2+PR^2=QR^2$
根据勾股定理的逆定理，可得$△ PQR$是直角三角形，且$∠ QPR=90°$。
$\because$“远航”号沿东北方向航行，即$∠ QPN=45°$（$N$表示正北方向）
$\therefore ∠ RPN=∠ QPR-∠ QPN=90°-45°=45°$
$\therefore$“海天”号沿西北方向航行。
答：“海天”号沿西北方向航行。

1. 某超市购物车的侧面简化示意图如图所示，测得支架 $ A C=8 0 \mathrm{~ c m} $ $ C B=6 0 \mathrm{~ c m} $两轮中心的距离 $ A B=1 0 0 \mathrm{~ c m} $ ，则点 C到 AB的距离是_______cm.

1. 48

2. 小亮每天和爸爸一起沿着公园的绿道晨跑，他们跑步的路线如图所示，已知从点 A到点 D有两条路线，分别是 $ A\to B\to D $和 $ A\to C\to D $ .已知 $ AB=160 \mathrm{~m} $ ， $ AC= 2 0 0 \mathrm{~m} $ ，点 C在点 B的正东方120m处，点 D在点 C的正北方50m处.
(1) 试判断 AB与 BC的位置关系；
(2) 如果小亮沿着 $ A\to C\to D $的路线跑，爸爸沿着 $ A\to B\to D $的路线跑，请你通过计算比较谁跑的路线更短.

2. 解（1）由题意可知$AB=160\ \mathrm{m}$，$AC=200\ \mathrm{m}$，点$C$在点$B$的正东方$120\ \mathrm{m}$处，即$BC=120\ \mathrm{m}$。
因为$AB^{2}+BC^{2}=160^{2}+120^{2}=200^{2}=AC^{2}$，
所以$△ ABC$是直角三角形，
且$∠ ABC=90°$。
所以$AB⊥ BC$。
（2）由题意可知$BC⊥ CD$，$CD=50\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，
由勾股定理，得$BD=\sqrt{BC^{2}+CD^{2}}=\sqrt{120^{2}+50^{2}}=130\ (\mathrm{m})$。
所以$AB+BD=160+130=290\ (\mathrm{m})$，
$AC+CD=200+50=250\ (\mathrm{m})$。
因为$290＞250$，
所以$AB+BD＞AC+CD$。
所以小亮跑的路线更短。

3. 如图，A，B两块试验田相距200m，C为水源地， $ AC=160\mathrm{m} $ $ BC=120\mathrm{m} $为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠.
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A，B.乙方案：过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A，B进行修筑.
(1) 请判断 $ △ ABC $的形状(要求写出推理过程)；
(2) 两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.

3. 解（1）$△ ABC$是直角三角形。理由如下：
因为$AC^{2}+BC^{2}=160^{2}+120^{2}=40\ 000$，
$AB^{2}=200^{2}=40\ 000$，
所以$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
所以$△ ABC$是直角三角形，
且$∠ ACB=90°$。
（2）甲方案所修的水渠较短。理由如下：
因为$△ ABC$是直角三角形，
所以$△ ABC$的面积$=\dfrac{1}{2}AB· CH=\dfrac{1}{2}AC· BC$。
所以$CH=\dfrac{AC· BC}{AB}=\dfrac{160×120}{200}=96\ (\mathrm{m})$。
因为$AC+BC=160+120=280\ (\mathrm{m})$，
$CH+AH+BH=CH+AB=96+200=296\ (\mathrm{m})$，
所以$AC+BC＜CH+AH+BH$。
所以甲方案所修的水渠较短。