4. 如图,四边形ABCD是正方形,点E,F分别在直线AB,AD上,且∠ECF=45°,连结EF.


(1)当点E,F分别在边AB,AD上时,如图1. 请探究线段EF,BE,DF之间的数量关系,并写出证明过程；
(2)当点E,F分别在BA,AD的延长线上时,如图2. 试探究线段EF,BE,DF之间的数量关系,并证明.

(1)$EF=BE+DF$. 证明如下：
如图 1,延长 AB 使得 BG=DF,连结 CG.
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ ∠BCD=∠D=∠CBG=90°,CD=CB.
在△CDF 和△CBG 中,$\begin{cases} CD=CB, \\ ∠D=∠CBG, \\ DF=BG, \end{cases}$
∴ △CDF≌△CBG(SAS).
∴ ∠DCF=∠BCG,CF=CG.
∵ ∠ECF=45°,
∴ ∠BCE+∠DCF=45°.
∴ ∠ECG=∠BCG+∠BCE=45°=∠ECF.
在△CFE 和△CGE 中,$\begin{cases} CF=CG, \\ ∠ECF=∠ECG, \\ CE=CE, \end{cases}$
∴ △CFE≌△CGE(SAS).
∴ EF=EG.
∵ EG=BE+BG=BE+DF,
∴ EF=BE+DF.

(2)$EF=BE-DF$. 证明如下：
如图 2,把△CDF 绕点 C 逆时针旋转 90°后,得到△CBG.
由旋转可得 BG=DF,CF=CG,∠BCG=∠DCF,点 A,G,B 在同一条直线上.
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴ ∠BCD=90°.
∵ ∠ECF=45°,
∴ ∠DCE+∠DCF=45°.
∴ ∠DCE+∠BCG=45°.
∴ ∠ECG=∠BCD-(∠DCE+∠BCG)=90°-45°=45°.
∴ ∠ECF=∠ECG.
在△CEF 和△CEG 中,$\begin{cases} CE=CE, \\ ∠ECF=∠ECG, \\ CF=CG, \end{cases}$
∴ △CEF≌△CEG(SAS).
∴ EF=EG.
∵ EG=BE-BG=BE-DF,
∴ EF=BE-DF.